Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 28
Текст из файла (страница 28)
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 199 Отсюда следует, в частности, что !!РлИ !! х !! (1) Так как, далее, по первому следствию из теоремы Банака— Хана для каждого х существует линейный функционал ге с нормой. равной единице. такой. что уе(х)=!!х!!. и для такого функционала ! Р (Я! = !Уе(х)! = !! х !!. или, что все равно, !Р.Че)! = !!~е!!!! х!! !!Р,!!) !!х!!.
то мы инеем (2) Сравнивая (1) и (2), заключаем, что !! Р„!!=!! х!!. (3) Легко также видеть, что Рл, ьх, Ч) = Р», И+ Рл, (Л Р.,(Л = ЛР. (У). Таким образом. всякому хЕЕ естественным образом ставится в соответствие вполне определенный функционал Р ~Е, причем вто соответствие между пространством Е и множеством !Р„! г=Е нзоморфно и изометрично (взаимная однозначность соответствия между Е и (Р„! следует из (3)), т. е. Ес=Е'*.
В случае, когда при таком соответствии Е =Е . пространство Е называется рефлексивным. П р н и е р ы. 1. л-мерное езклкдозо пространство рефлексивно. В самок деле, если Е есть л-мерное евклнлово пространство, то Е'также л-мерное евклндово пространство, следовательно, в Е" есть л-мерное евклидово пространство. Но если одно л-мерное Нетрудно видеть, что Р— линейный функционал и. следовательно, Р ~Е', В самом деле. Р,(г1+/а) = (г1+Я(х) = у1(х)+)а(х) = Р,Цг)+Р,(Я и !Р (У)! = !У(х)! ~(!!х!!!!/!!. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. 1Ч пространство является частью другого, то они совпадают.
Поэтому из ЕтЕ следует Е = Е'*. 2. Пространство Ел[0, ц (р > 1) рефлексивно. В самом деле, Е", [О. Ц = [Е'„[О, Ц)' = (Е, [О, Ц)' = Е, [О, Ц. 3. Пространство 1р (р > 1) рефлексивно; это получается аналогично предыдущему. 4. Пространство С[0, Ц нерефлексивно. Доказательство поведем от противного. Предположим, что С[0, Ц рефлексивно. Тогда любой линейный функционал Р (У), определенный на пространстве функций с ограниченным изменением, должен иметь вид Рл (у)=у (х) при подходяще выбранном элементе х~С[0, Ц.
Принимая во внимание общий вид линейных функционалов у (х), определенных на С[0, Ц, получаем, что любои линейный функционал Р(у) имеет вид 1 Р (У) = Р(х) = / . (П лУ (1) (4) о (через /(Г) мы обозначили функцию с ограниченным изменением, соответствующую фуинционалу У (х) из С" [О, Ц ). Рассмотрим функционал е,(у) =у(т,+о) — у(1,— о), который каждой функции у(Г) с ограниченным изменением ставит в соответствие скачок втой функции в точке ЕФ Алдитивность этого функционала очевидна. Далее, 1 [е, (у)] =]у(г,+о) — у((,— о)] <')у [у] =[]у]].
э Следовательно, Р (Д ограничен и имеет норму, не превосхолящую единицы. Кроме того, очевидно, что Р (у) на О. В самом деле, достаточно рассмотреть Е (г1), где О, дла 0(Г< 1Ф Л(() = -(. 1, для Г, (Г (1. В силу (4) должна существовать неперерывав функция х,(Г) такая, что 1 Е„,(У) = ~ х. (Г).У(Г). (б) э рассмотрим теперь функцию уз (Г) = ~ хэ (т) Вт. в сОпРяженные пРОстРАнствл Имеем Е,(Уо)=0, ибо У (1) непРеРывна на [О, Ц. Но, С дРУгой стороны, из Е (у) ~ О следует хо (1) Ф 0 и 1 1 Е„(уо) = ~ х, (1) уо (Г) = ~ х, я(1) дг ) О.
о о Итак, мы получили противоречие. Это противоречие возникло в силу предположения, что всякий линейный фувкционаа ЕС С'*[О, Ц имеет вид Е„, т. е. что пространство С [О, 1] рефлексивно. Следовательно, пространство С [О, Ц нерефлексивно. А. И. Плеснер доказал, что при естественном соответствии либо Е = Е**, либо все пространства последовательности Е, Е', Е , Е*л",... рззличны. Подробнее об этом см.[!0]. Сопряженные операторы. Рассмотрим линейный ограниченный оператор у=Ах, отображающий линейное нормированное пространство Е в линейное нормированное пространство Е .
Пусть 1р(у) — линейный функционал, определенный на Е„. Тогда ф(у) определен для у=Ах, где х — любой элемент из Е„н мы имеем для у = Ах !р (у) = — 1р (Ах) = У (х), где У(х) — функционал, определенный на Е». Очевидно, что у (х) линеек. Тем самым мы получили, что каждому функционалу 1Р~Е ставится в соответствие функционал УСЕ,. Таким образом, построен некоторый оператор, определенный на Ег, с областью значений, расположенной в Е . Этот оператор обозначается через А* и называется оператором.
сояряхгеяяыла с оператором А. Равенство 1р(у) = У (х) записывается в виде Примеры. 1. Рассмотрим л-мерное пространство Е и оператор А из (Е-ь Е). Тогда оператор А определяется матряцей и-го порядка (а11) и равенство у=Ах, «=[с! $1 ° ' $л) У= [0!. чл, ч,), записывается в виде л ч1 = ~ а11сд Рассмотрим линейный функционал усе'. имеем /=1 л /=(У! Ун " Ул). У(х) = 2'.
У1с1. (гл. тк линииныи езнкциоиллы Поэтому у (Ах) = ~ч ', у!т) = ~яр ~у' ~ а!Д 1=1 с=! л л л ( л л ~~~', а!)у!ц = и', ~ ч', а!!у!) "я = и.", д'4 ! 1/=! у! 1! т! где ку ла'.! а!ту!' Е=! ВектоР к (б'! й'т, ", Пл) есть элемент пРостРанства Ел и полУ- чен из вектора / (у„уь ..., ул) того же пространства линейным преобразованием а = Алр; где А' порождается матрицей, транспонированной к матрице А. Следовательно, переход к сопряженному оператору в и-мерном пространстве означает переход к транспоннрованной матрице.
2. Рассмотрим в От[О, Ц оператор ! Ах= у (М) ~ К(г, а) х(з) !та, 0 где К(й з) — непрерывное ядро. Произвольный линейный фуннционал у(у) в ь! [О, Ц имеет внд У(у)-(у у) =~у(!)1(!) й, у(!)Е1- [О.!1. о Поэтому ! 1 !!л >-!"!л! )ки, ! !*!а[ля е ! 1 (л ! Кл !ул)л~ е о х (3) д'(3) сгз, о где а (!) - [ К (8, !) У (а) Кз.
о СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Таким образом, переход к сопряженному оператору в данном случае означает перестановку переменных в ядре (ядро К(е, г) называется транспонированным по отношению к ядру К(й е)). Теорема 1. Оператор А*, сопряженный с линейным ограниченным оператором А, отображающим линейное нормированное пространство Е„в линейное нормированное пространство Е, есть танже линейный ограниченный оператор, и !! А* !! = !! А !!. Прежде всего очевидно, что оператор А* адднтивен. Далее, !(А*ф)(х)! = !у(х)! = !ф(Ах)! <!!ф!(/! Ах!! <!!ф!!!! А!/!!х!!, откуда !!А"ф!! <!!А!!!!ф!!. Следовательно, А* — ограниченный оператор, причем !! 4'!! <!! 4!!.
(6) Пусть хе — какой-нибудь элемент из Е . По первому следствию из теоремы Банаха — Хана существует такой функпионал ф ЕЕ' с нормой !!ф !!=1, что фз(Ахе)=!!Ахв!!. Отсюда получаем, что !!Ахе!!=фо(Ахо) =Уе(хо) (!!Уо!!!! хо!! = =!!А 'ро!!!!хз!! < !! А'!!!!срв!!!!хо!! =!!А !! !! хо!!. Следовательно, (7) !!А!! <!!А*!!. Из (6) и (7) следует, что )! А'!! = !! А !!, и теорема доказана.
Понятие сопряженного оператора можно ввести и в том случае, когда исходный оператор А является линейным неограниченным оператором, определенным на линейном многообразии Е, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е, со значениями в пространстве Е . Пусть А— такой оператор и фСЕ . Рассмотрим ф(Ах) = уз(х), х С 7.„. ЛИИЕЛНЫВ ФУИКБИОИАЛЫ (гл. Иг Тогда у (х), очевидно, аддитивный и однородный функционал, определенный на Е . Для произвольного функционала Ф из Е* функционал У не будет вообще ограниченным.
Но У если для некоторого Ф~Е* функционал у ограничен, то его У можно продолжить по непрерывности до линейного функционала у. определенного на всем Е„. Мы получаем. таким образом, что на некотором многообразии 1. с Е, определен оператор А, ставящий в соответствие линейным функционалам ф ~ 1.„ линейные функционалы г ц Е». Этот оператор и называется оператором. сопряженным с линейным неограниченным оператором А.
Нетрудно проверить, что Ет †линейн многообразие и что А' — линейный оператор на этом многообразии, вообще не ограниченный на нем. Пример. В пространстве ).ч(0), где 0 — ограниченная измеримая область на плоскости, рассмотрим оператор дифференцирования д1 А- —, 1, +1з-*1. дх' дуб опред".ленный на линейном многообразии бт с= Ьт (О) 1 раз непрерывют днфференцируемых функций, обращающихся в нуль в некоторой граничной полосе области О.
Многообразие Ьз всюду плотно в 1.т(0) и оператор А на нем дистрибутивен и не ограничен. Значения оператора будем считать принадлежащими тому же пространству йа(0). 11 1 Пусть для некоторой функции и(х, у)~у.р(0) ~ — + — 1) ч имеет место равенство о(х, у)дхду / / Аиоахду= / / июдхду 1' д~и(х, у) ,1 дед и о о прн любой функции и(х. у) ~бы где ю(х, у) ~1..
Функционал у (и) = ~ ~ и (х„у) щ (х, у) дх ду о как функционал, определенный на ья<- ьт(0), очевидно, дистри- бутнвем н, кроме того, ограничен. так как СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 3! в мы можем продолжить его иа все Сд(6). Тем самым мы получаем оператор А*, Аио = ю. Матричная форма оператора в пространстве с базисом. Пусть в баиадовом пространстве Е с базисом задан линейный ограниченный оператор А, отображающий Е в это же пространство. Возьмем хЕЕ. Тогда х=!них, л' л где хл = ~ч'., $!е!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
