Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1=1 Следовательно, и у = Ах = А(!!ш хи) =!нп ~д с!Ае!. и 1=.1 Так как Ае, — снова элемент из Е, то он может быть разложен по элементам базиса ч! Аег= ~~ а„ге„; л=! тогда и у=.А и Хь Х '). л 1=1 ', Л=1 (8) Но у~Е и, следовательно, также может быть разложен по элементам базиса у = ~ т!леа. (9) а=1 сопряжеииый к оператору А, определенный иа некотором миожестзе функций о(х, у)~Ар(6), со зиачеииями в том же прострзистве. Вспоминая второе определение обобщенной производиой, дго мы видим, что А'о отличается от обобщенной производной— дх' ду" лишь множителем ( — 1)'.
Таким образом, операцию обобщенного дифференцирования можно рассматривать также как оператор сопряжеиный к оператору диффереицирозаиия, опредедепиому иа множестве ! раз пепрерывио диффереицируемых фуикций, обрашакнцился в нуль в граничной полосе области 6. ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ !ГЛ. 1Ч Пусть теперь 1Я вЂ” последовательность функционалов. биортогональная к последовательности 1е!). Тогда из (8) и (9) получаем Ч и = усе (у) =ИщУ,л и сю и сл = Ию хл з! ~л""! паЯ„(еа) = Ищ ~~,'! а,„Д, = ~ а Дн (10) и!! и! и1! с ! Равенство (10) показывает, что оператор А однозначно определяется бесконечной матрнцей (а,) (с помощью втой матрицы по компонентам элемента х однозначно определяются компоненты элемента у = Ах). Рассмотрим теперь сопряженный оператор А', отображаю!цнй Е" само в себя.
Пусть У'= А'ф, т. е. для любого х ЕБ ср(Ах)=У(х). Пусть, далее, сл !р= ~ с!у! ! ! .! = Х аь!'! Имеем !Р(Ах) = !Р ~х!! ~л аа!В! еа л /со Л /сл =Ищ!Р ~З~ ~~~";ааД!)еа)=!пп ~'.~ ~~ ааД! !Р(ел)= и!а!!!ли! и / ю лс 1с и =Ив ~~.", ~~ ааД!) е„= Ив ~ ( ~~~~ аюси В!. ив!!!и!1л! С другой стороны.
!р (Ах) = у' (х) = ~~!', !Г!Л (х) = ~ 113,. ! 1. ! 1 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следовательно, СО СО / И ~~'„дД, =11ш ~ ~ ~~'.~~ аь,сь $н г=ь иьь ьь (11) Полученное равенство показывает, что матрица. соответствующая сопряженному оператору. является транспонированной матрицей по отношению к матрице, соответствующей исходному оператору. Такое представление операторов и им сопряженных имеет место, например, в пространстве 1я. Из матричного представления операторов легко получаем, что 1) (А+В)*= А'+В', 2) (АВ)' = В'А*, 3) (А ) =(А) если А существует. Впрочем, эти формулы легко установить и без предположения, что пространство обладает базисом.
Скалярное произведение, ортогоиальиые элементы, биортогональные системы. Пусть х ~ Е и у — линейный функционал на Е, т. е. У ~ Е . Рассмотрим выражение (12) 1 (х) = (х, у') = (у', х). Это выражение при переменных х и г" является билинейным функционалом относительно обеих переменных, т. е. линейным относительно каждого переменного. Этот билинейный функционал для случая, когда Е есть гильбертово пространство и, значит, Е' = Е, превращается в скалярное произведение элементов х и г (см. формулу (20) э 2). Принято и в общем случае, когда Е*+Е, называть выражение (12) скалярным (или внутренним) произведением хСЕ и УЕВ". Элементы х~Е и у'ЕЕ* называются ортогональними, если (х, у) = (у. х) = О.
Пусть х=е, т. е. $ =1, $,=0, для 1Ф т. Тогда формула (11) дает и СО д = йш ~ч'., аь с = ~ аь си. и и лннаиные егнкционллы !гл. ш Теорема 2. Пусть Ха есть собственное значение линейного оператора А Е(Š— ьЕ). ха — соответствующий собственный элемент. Далее, пусть (»а — собственное значение сопряженного опврапьори А', уа — соответствующий собственный влсмент. Если Ханца, то собственные злеменлгы ха и Га ортогонильны. Эта теорема является обобщением теоремы об вртогональности собственных функций союзных интегральных уравнений. Пользуясь обозначением скалярного произведения, запишем связь между операторами А и А* в виде равенства (Ах, Г")=(х, А*Г), справедливого при любых х ~ Е. У ~Е'. Имеем по условиям теоремы А ха = )азха А*Уз = РаУа Отсюда и из вышеприведенного равенства получаем )а(ха Уа) = На(ха Уа) или ()а — ра)(ха Уа)=б.
Но по предположению Ха+)»а, следовательно, (ха. Уа) =О. Как мы уже говорили ранее, последовательности (х„), х„~Е и (Я, У„~Е* называются биортогональными, если (хо уу) =Ь! . (! 3) Тем самым х, и Г! ортогональны при !'Ф,г'. В й 6 предыдущей главы мы рассмотрели пример биортогональных последовательностей. Это элементы базиса е,, ег, ..., с„, ...
и функционалы Г!, Гг, ..., ую ..., определяемые равенством г» (х) = — $» для х= ~ с»е». »=1 В самосопряженном пространстве, например гильбертовом, обе биортогональные последовательности лежат в одном СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Х = ~ $ЬХР (14) Имеем у л л (х, Г») = !!ю ~ ~л 1;хи У»~ = !нп лЛ $! (хо у»). л .Ь=~ л С=1 При и)~й в силу равенства (13) ~л $, (хо г ) = а», ! 1 ибо в этой сумме все члены обращаются в нуль, кроме члена с»(х, г'»)= $». Отсюда (х, )'»)= С», и равенство (14) примет вид О х= ~» (х, Л) хо (15) ь =! Аналогично, если (16) то ь(.=(х. У).
Ряды (15) и (16) называются ряда.ки Фурье по соответствующим биортогональным последовательностям. Первые нетривиальные примеры биортогональных последовательностей функций были рассмотрены П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым в связи с задачамн интерполирования. Покажем, что для любой линейно независимой системы элементов (хо хю ..., х„)<= Е суцествует биортогональная ей система линейных функционалов !ДР ую ..., у'„) ~ Е".
Пусть Е, = Е(хю хз, ..., х,) — линейное многообразие, порожденное элементами хю хз, ..., хл.'Так как х, лежит и том же пространстве. Если у'„=хл, то биортогональность переходит в обычную ортогональность. Пусть последовательности !х„) и (Ул] биортогональны и элемент х представлен в виде ряла 210 лингпные екнкционллы !ГЛ. 1В на РасстоЯнии 12) 0 от 1ч (в силУ линейной независимости элементов хи х2, ..., х„и замкнутости Е,), то существует линейный функционал Л(х) такой, что Л(х)=О на Е1, в частности на элементах х2, хз, ..., х„, и Л (х1) = 1, Повторяя эту операцию для многообразия Е2 Е(Х1 Хз' ' Х ) и элемента х2 и т. д., получим требуемую систему функционалов.
Пусть, наоборот, дана система 1~,, у2... „ Я <= Е* линейно независимых линейных функционалов, т. е. таких, что из Л~1(х)+Л2Г2(х)+ ... +Л„у„(х) =0 для произвольных хцЕ следует Л! — — Л2= ... =Л„=О. Тогда существует система элементов (хи х2, ..., х„! г= Е, биортогональная этой системе функционалов. Пусть сперва и = 1. Так как Л (х) Чй О, то существует элемент хе такой. что у1(хе)= а Ф О.
Тогда элемент х, = — ' а обладает требуемым свойством. Предположим, что утверждение доказано для и — 1 линейно независимых функционалов. Докажем его для случая и функционалов. Пусть (х2, хз, ..., х„) — система элементов, биортогональная функционалам г2, гз, ..., у'„. Обозначим через М1 линейное многообразие, определяемое системой уравнений ~2 (х) = О, уз (х) = О, ..., г „(х) = О.
Для любого х ~Е элемент и = х — ~ с х1 где с, =г"1(х), 1=2 принадлежит этому многообразию. В М1 су1цествует элемент хе такой, что Л (хе) = а чь О. В противном случае у1(и) равнялось бы нулю для всех и: л У'1 (х) — ~~а„с, У1 (х,) = О, 1 2 211 Вз1 сОпРяженные пРостРАнствА и Л (х) = ~ Л (х,) Л (х) для любого х ЕЕ. Это означало бы, что у, есть линейная комбинация функционалов ут, /а, .... /и. что невозможно по условию. Итак, существует элемент хо такой, что Л(хо) = и + 0 Л(хо) =Уз(хо) = ° ° ° =Уи(хо) =0 Полагая х,= — ', получаем первый элемент биортогональхи а ной системы.
Повторяя то же рассуждение для многообразия Мз = (х: Л (х) = О, Уз (х) = О, ..., Уи (х) = О) н функционала уз, получим элемент хз и т. л. Сопряженное пространство к линейному комплексному пространству. Все понятия, введенные в этом параграфе, переносятся и на комплексные линейные пространства Е.
Сопряженным пространством Е* мы назовем совокупность линейных комплексных функционалов на Е. Скалярным произведением (х, у). гле х Е Е. у'Е Е", будем называть по-прежнему число у'(х), Для того чтобы сохранить при этом свойства внутреннего произведения в комплексном гильбертовом пространстве, следует считать (х, Г) линейным функционалом относительно х и сопряженно-линейным относительно Г; (х, Лу') = Л (х, г). Тем самым определяется умножение на комплексное число Л в Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
