Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Прежде всего Р— линейный оператор. В самом деле. если % 21 УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКПИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 313 Так как для хЕ А имеем Рх=х и, следовагельно, 11 Рх 11 = 1'1 х 11', 11Р11=1. то Покажем. что Р— самосопряженный оператор. Пусть х, и х2 — любые два элемента из Н, у, и ут — их проекции на Ь. Имеем (Рх,, х2) =(ун «2) =(ун уз). Аналогично (хн Рхт)=(»Р у2)=(ун ут). Следовательно. (Рх,, хз) =(хн Рх,), Наконец. РхРЬ для любого хЕН.
Поэтому Р'х = Р (Рх) = Рх для любого х~ Н, т. е. Р2 Р Покажем, что верно и обратное утверждение. а именно. что всякий самосопряженный оператор Р, удовлетворяющий условию Р'=Р, есть оператор ортогонального проектирования на некоторое пространство 2.. Рассмотрим множество С элементов вида у = Рх, где х пробегает все Н. В силу аддитивности и однородности оператора Р множество 2'.
есть линейное многообразие. Легко показать, что Ь замкнуто. В самом деле, пусть у„ — ь уе, у„ Е Е. Так как у„ Е Ь, то у„ = Рх„ для некоторго х„ ~ Н. Поэтому РУА = Р2хя = Рхп = Ую В силу непрерывности оператора Р из у„-ь уе следует Ру„-ь Руе. Учитывая равенство Ру„= у„, получаем УА — «РУе. Слеловательно, Уо — РУо н УоЕЬ. Из самосопряженности оператора Р н условия Рз= Р имеем (х — Рх, Рх) = (Рх — Рзх, х) = О, то есть х — Рх ) Рх. Теперь из самого определения подпространства Е следует, 314 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [гл. Рп что Р есть оператор проектирования на это подпространство.
и требуемое доказано. Заметим также, что Е состоит из тех и только тех ~очек хЕН, для которых Рх=х. Из доказанного, в частности, следует, что вместе с Р также У вЂ” Р— проекционный оператор. Укажем несколько простых свойств проекционных операторов. Два проекционных оперзтора Р, и Рг называются ортогональными, если Р,Рг=-Оь). Это условие равносильно условию Р~з, =О, ибо если Р,Ря=О, то (Р,Р,)" =РТР,=О и обратно.
Для того чтобы проекционные операторы Р, и Рг были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы были ортогональны соответствующие подпространства Ь, и Сг. В самом деле, если Р,Р, = О, то для х, Е Еп хг ~ Сг имеем (хп х,) = (Р,хп Ргхг) = (РгР,хо х,) = (О, хг) = О. Обратно, если Е, ) Ег, то Р,х ~ 1.г для любого х Е Н и, следовательно, Р,Р,х = О, то есть Р,РТ = О.
Лемма 1. Для того чтобы сумма двух проекционных операторов Рс, и Рс, была проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы зти операторы были ортогональны. Если это условие выполнено, то Рг, + Рг, = Рг,дан Необходимость. Пусть Р=Рс,+РС вЂ” проекционный оператор. Тогда (р,+-р~~г=р,+р Р откуда Рс,Рс, + Рг,Рг, = О. Умножая слева на Рсе получим ,Рг, +Р,РЕР,, = О; умножая теперь справа на Рсо будем иметь РЕ,Рс,РЕ, = О, *) Здесь н дальше О означает не только число О, но н нулевой оператор.
$21 УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКПИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 315 но тогда Р„Р,,=О. Достаточность. Пусть РсРс=Рс,РА,=О Тогда (Рс,+ Рс,)а=Рс,+Рс, Следовательно, Рс, + Рс, — проекционный оператор. В силу условия Рс,Рс=О подпространства гч и ьа ортогональны. Если х~Н, то Рх=Рс,х+Рс,х=х,+ха~1,+(ч.
(6) Если далее х=х, +хг — элемент из Е,+ Е~, то. учитывая равенства Рс,ха=О, Рс,х,=О, будем иметь х = хг + хг = Рс, х, + Рсха = = Рс,(х, +ха)+ Рс,(х, +ха) =(Рс+Рс,) х. (7) Из (6) и (7) следует, что Р есть оператор проектирования на (.,+ 7.г, и лемма полностью доказана. Лемма. 2. Для того чтобы произведение двух проекиионных операторов Рс, и РС было проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы Рс, и Рс были перестановочны.
Если зто условие выполнено. то РсР, =Рс Пс. Необходимость. Так как Р=РА,Рс — самосопряженный оператор, то Рс Рс1 = ((с,рсз) = Рс|РА, = Рс,рс и необходимость перестановочности доказана. Достаточность. Если РАРЫ=РСРсе то Р= = Рс,Рс,— самосопряженный оператор. Кроме того, (Рс,Рс ) = Рс,РАРс,Р~ —— Рс,рс, = Рс|РА, и, следовательно, Р— проекционный оператор. Пусть х — любой элемент из Н. Тогда Рх = Рс,Рых = Рс Рс,х принадлежит и 1., и Лг, т.
е. принадлежит Ег П1 . 316 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [гл. чы Пусть теперь у ~ Е, П Ц. Тогла Ру = Рс, (Рту! = Рцу = У Все это означает, что Р есть оператор проектирования нз !ч П Ц, и лемма доказана. ! !роекписнный оператор Р2 называется частью проекционного оператора Р,, если Р,РТ=РТ. Переходя к сопряженным операторам, убеждаемся, что зто определение равносильно определению РТР, = Ря. Из определения непосредственно следует, что оператор Рт„ является частью оператора Рс, тогда и только тогда. когда подпространство Ез есть часть подпространства Т.Р Для того чтобы проекционный оператор РЫ был частью проекционного оператора Рсе необходимо и достаточно. чтобы для всех х Ест выполнялось неравенство !!Рых!! (!!Рых !!.
В самом деле. из РОРцх=Рых следует !!Рых !! (!!Ры !! !!Рых !! (!!Рых !!. Обратно. если это условие выполнено, то для любого х~ Е2 имеем !!Рых!!) !!Рс х!!=!!х!! и так как верно также !!Рс,х!! (!!х!!. то !! Рс,х !! = !! х !!. Отсюда !!Рн сх!!2=!!х!!2 — !!Рсх!!2=0, и, следовательно. х ~ ЕР Поэтому Ртх ~ С1 для любого хЕН и. значит. РА,РЫх=РСх.
т. е. РЫРС=РЕР что и требовалось доказать. Л е м и а 3. Разность Р, — Ря двух проекционных операторов есть проекционный оператор тогда и только тогда. когда Ря есть часть Р,. Если вто условие выполнено, то Ер, р, есть ортогональное дополнение к Ьр, е Ер,. % 3! положительные Опепатопы Необхолим ость. Если Р,— Ра есть проекционный оператор, то Š— (Р, — Р ) =(Š— Р;)+Р также есть проекционный оператор. Но тогда в силу леммы ! имеем (Š— Р,)Р2=0 т е Р1Р2 = Р2.
Достаточность. Пусть Р, есть часть Р,. Тогда Š— Р, и Р, ортогональны и в силу леммы 1 оператор (Š— Р,) + Р, — проекционный и, следовательно, оператор Р, — Р, — также проекционный. Из условия Р,Р2 = Р2 следует, наконец, что Р, — Р, и Р, ортогональны. Но тогда в силу той же лепны 1 ~Р, = ЕР,-Р, + ВР, что и требовалось доказать. ф 3. Положительные операторы. Квадратный корень иэ положительного оператора Самосопряжениый оператор А называется иоложишель- ныж, А ) О, если он отличен от нулевого и его нижняя граница не отрицательна. т.
е. если (Ах. х)) 0 для любого х ~Н и (Ах, х) > 0 хотя бы для одного х Е Н. Говорят. что самосопряженный оператор А больше сало- сопрялсенного оператора В, А ) В, если А — В > О. В этом случае говорят также, что оператор В меньше оператора А. Легко проверить, что введенное в множестве самосопряжеп- ных операторов соотношение неравенства обладает следую- щими свойствами *): 1) из А) В и С> Р следует А+С) В+Р, 2) из А)~0 и а)~0 слелует пА) О, 3) нз А) В и В)~С следует А) С, 4) если А > 0 и А, сушествует. то А ) О.
Далее очевидно, что АА* и А'А — положительные опе- раторы для любого линейного оператора А, отличного от пулевого, В частности, Аа > 0 лля любого самосопряженного оператора А, А + О. Из послелнего следует, что примером ") !!еравепстзо А)В означает либо А > В, либо А =В. Згэ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1ГЛ. Т12 положительного оператора может служить оператор проектирования на подпространство положительной раамерности. Т е о р е и а 1. Произведение двух перестановочных положительных самосопрпженных операторов А и В есть также положительный оператор.
Положим А А1= —, Аг = А1 — А1 ... Аььг= Аь — Аь .. ° !! 41' Покажем, что для любого и 0(Аь (Е. (1) Для и=1 это очевидно. Пусть (1) верно для и =12. Тогда (Аг„(Š— А ) х, х) = ((Š— А„) А х, А х) > О. т. е. А,(Е Аь) >О. и аналогично Аь(Š— Аь)2~0. Поэтому Аь+1 = А21Š— Аь) + Аь((Š— Аь)г )~ 0 Š— Аььг= (Š— А„)+ Аь )~ О. Следовательно, (1) верно для и =й+1.
Лалее. имеем А1 = А1+ Аг = А1 + Агг+ Аг =... 2 2 ° ° ° = А1+ Аг+ ° ° ° + Аь + Аь11. г откуда ~ АА=А, — А„+, (А, 2 ь=1 (так как Аь+1)~ 0), т. е. ь ~(Аьх, Аьх) ((А,х, х). А=1 Следовательно, ряд ч~~~~ (~ А ьх ~2 Ь=г полОжительные ОпеРАТОРы 319 сходится и !!Аах!!-+О при й-+ОО. Поэтому л (~ Аа) х = А1х — Ал, 1х -+ А1х.
а-1 Так как В, очевидно, перестановочен со всеми А, то мы получаем л (АВх, х) = ~А!!(ВА,х, х) =) Л((!!щ ~(ВАах, х) = л а=1 л =~А()!!п1~~.",(ВАлх, Аах))~О. Л Л=1 Теорема доказана. Из нее легко следует, что если (А ) — монотонно возрастающая последовательность самосопряженных перестановочных между собой операторов, не превосходящих само- сопряженного перестановочного со всеми А„ оператора В— А! «( Аз «(... «4 А л -с„... ( В, — то последовательность !Ал1 сходится к самосопряженному оператору А и А «( В.
Аналогичное утверждение имеет место для монотонно убывающей последовательности. В самом деле. рассмотрим самосопряженные операторы Сл = — Ал. Эти операторы положительны, перестановочны и образуют монотонно убывающую последовательность. Следовательно.
для ги с. п операторы (С вЂ” Сл)С и Сл(С вЂ” Сл) также положительны, откуда (С„,х, х)> (С„,Слх, х) > (С~х, х) Монотонно убывающая положительная числовая последовательность ((С„х. х)) имеет предел. К этому же пределу в силу полученных неравенств стремится при и, щ-+ОО и (С Слх, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
