Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 43
Текст из файла (страница 43)
о (7) Пусть (.) =-,— ',„, (й [ф( — '„) Х())+Д.ф(-'„) Х(.) ~, С (а) = / У ( Л [ф (Т) Х(г)1+Лиф (у) Х(г) 1яй с(Ч. а где Можно доказать, что С(А) прп й-ьО стремится к конечному пределт С,. Из свойств функции ф(!) следует, что Ь а) ()л(г) ==-О при г~~ д и при г ( — (так как в этом послед(г! нем случае ф ( — ) = — ! н (,л! Д [ф Я Х (г) ~ + Д~ф ( у) Х (г! = ЛХ (г) + ) Х (г) = О), б) ()а(г) имеет непрерывные производные всек порядков.
Возьмеи ()а(г) в качестве усредняющего ядра. Фориулу (7) можно написать в виде С(Л) ) ) СМ(С, Ч)йа(г)(СЛЧ=С(Ь,) ) ) Фа(С Ч)()а(г)вяЯтЪ а о Следовательно, ь (х, у) равна нулю внутри круга г = р, п вне круга г р,. Поэтому если р, меньше расстояния от точки Р(х, у) до границы области О, то ь(х, у) есть непрерывно дифференцируемая любое число раз функция, обращающаяся в нуль в некоторой граничной полосе области О. Подставим эту функцию в формулу (6) и используем второе определение обобщенной производной, получим ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ. Р! и она приводит тогда к равенству между средними функциями С (а1) (Ро)а, = С (ао) (фо)а, или С (ай (фо)а, г (й ) (фо)а, показывающему, что две разлвчные средние функции отличаются лишь числовым множителем.
Но тогда и ф, (х, у), являвшаяся пределом средних функций, отлвчается от них лишь числовым множителем с (а) то(х у) = — (фо(х у))а. Так как средние функции имеют непрерывные производные всех порядков, то ф,(х, у) также имеет непрерывные производные всех порядков. После этого равенство (6) можно переписать в виде )( (твр,-(-)ор )аа. П) лало)=О.
о так как а (й, т)) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль в граничной полосе, то из основной леммы вариационного исчисления следует, что йро+ До~ро = О внутри 6. функция оро принадлежиг классу ят~зп, определенному выше. Можно показать, что для случая двух независимых переменных отсюда следует, что ро (г — — О. ГЛАВА Н1! ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ САМОСОПРЯЖЕИИЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В 1.
Самосопряженные операторы Если мы будем рассматривать линейные операторы, определенные в гильбертовом пространстве, то благодаря самосопряженности этого пространства и наличию в нем скалярного произведения элементов можно выделить класс операторов, обладающих особым свойством симметрии или самосопряженности, и изучить операторы этого класса глубже, чем произвольные линейные операторы в произвольном банаховом пространстве. Эти операторы играют особо важную роль в анализе и теоретической физике, и нх теории посвящена обширная литература. Сопряженный оператор. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство и А — ограниченный линейный оператор, определенный на Н, с областью значений в том же пространстве.
Рассмотрим линейный функционал г" (х) =(Ах. у). Как линейный функционал в гильбертовом пространстве, ~„(х) имеет вид: у„(х) =(х, у'), где у' — некоторый элемент пространства Н, однозначно определяемый функционалом у . Очевидно, что с изменением у меняется функционал Гг, а тем самыи и элемент у*, и мы получаем оператор у*= А*у, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. Ч[Г определенный на Н, с областью значений в том же пространстве. Этот оператор А' связан с оператором А равенством (Ах, у) =(х, А*у) (2) н называется оператором, сопряженным с оператором А. Оператор А' однозначно определяется формулой (2). В самом деле, если для всех х и у имеют место равенства (Ах, у) = (х, А'у) = (х, А'у).
то отсюда следует, что А'у = А,*у для всех у, а это и означает, что А" = А*. 1 Легко видеть, что проведенное вдесь определение сопря« женного оператора формально совпадает с Определением. данным в гж 11[ для случая банаховых пространств, ио там мы предполагали банахово пространство вещественным, в то время как гильбертово пространство комплексное. Однако легко убедиться, что в комплекснык пространствах остаются справедливыми теоремы о сопряженных операторах. доказанные в гл. 1Н. В частности, А' — ограниченный оператор, причем [[А'[[=[[А ~(. (3) Найдем оператор, сопряженный с А'[ обозначим его А В силу равенства (2) имеем для любых х, у~)т' (А*х, у) = (у.
А'х) = (Ау, х) = (х, Ау,.', откуда следует, что А'"=А. Аналогично А '= А" и т. д. Легко видеть, что (А + В)* = А*+ В", (ХА)* = ).А', (АВ)' = В'А". Самосопряженные операторы. Линейный ограниченный оператор А называется ограниченным салгосолряженным (или эр.аитозыл[) оператором, если А*= А. ОАА!осопРяженные ОпеРАТОРы Примеры. 1. В и-мерном унитарном пространстве, которое можно рассматривать как конечномериый аналог гильбертова, линейные операторы можно отождествлять с матрицами (ага), элементами которых служат коиплексиые числа. Оператором, сопряженным с (ага), служит (аы).
Самосопряжеиный оператор есть врмятова матрица, т. е. матрица, для которой аг„ = ааь В случае вещественной матрицы (ага) условие самосопряженности сводится к ее симметричности. 2. Лля оператора Фредгольма в Ет[О, Ц с ядром К (1, в) сопряженным оператором булет оператор Фредгольма с ядром К (ж г). Условие самосопряженности есть условие К (К в) = К (в, 1).
В случае вещественного ядра вто условие переходит в условие симметричности. 3. Рассмотрим в (.,[О, Ц оператор А, относящий каждой ф>нкцни х (1) ((., [О, Ц функцию Ах гх (Г) Е 1., [О, Ц. Легко убелиться в том, что этот оператор самосопряжеииый.
В дальнейшем слово «ограниченный» мы будем опускать. Из предыдущего следует, что если А — самосопряженный оператор и Х вЂ” вещественное число, то ХА — также само- сопряженный оператор, и если А и  — самосопряженные операторы, то А+ — самосопряженный, а А — самосопряженный оператор тогда и только тогда. когда операторы А и В перестановочны. Наконец, легко показать, что если А„-ь А в смысле сходимости по норме в пространстве операторов или в смысле точечной сходимости и все А„— самосопряженные операторы, то А — также самосопрянгенный оператор. Если мы рассмотрим (Ах, у), где А — самосопряженный оператор, как функционал и от х и от у, то этот функционал.
который мы обозначим А(х, у), как легко видеть, удовлетворяет условиям А (ах, + йхя, у) = ОА (х,, у) + ВА (хя, у), А(х, у) = А(у, х). Такой функционал мы будем называть билинейной врмигновой формой. Эта форма ограничена в том смысле, что [А(х, у)[ <Сл[]х[[[]у~[, где Сл — некоторая постоянная (в рассматриваемом случае С„[] А []). Таким образом, каждый самосопряженный оператор А порождает некоторую ограниченную билинейную зрмитову СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПРРАТОРОВ [ГЛ. ЧП форму А(х, у) =(Ах, у) =(х, Ау).
Обратно. если дана ограниченная билинейная эрмитова форма А(х, у), то она порождает некоторый самосопряжениый оператор А. удовлетворяющий равенству А(х, у)=(Ах, у). В самом деле, зафиксировав в форме А(х, у) элемент у, мы получим линейный функционал от х. Следовательно, А(х, у) =(х, у*), где элемент у" определяется однозначно. Таким образом, мы получаем оператор А. определяемый равенством Ау=у' и такой, что (х, Ау) — — А(х, у). Очевидно, А — линейный оператор.
Легко убедиться, что А— ограниченный оператор. В самом деле, ~(х, Ау)(=~А(х, у)~ (Сл)~х)~ йуй. Полагая х=Ау и сокращая на )(Ауц, находим ~!Ау~~ <С„Щ~. Покажем, что А — самосопряженный оператор. Для любых х и уЕИ имеем (х, Ау) = А (у, х) = (у. Ах) = (Ах, у), откуда и следует, что А=А' и А(х, у)=(Ах. у). Квадратичные формы. Возьмем билинейную эрмитову форму А(х, у) и положим в ней у =х.
Получим квадратичную форму А(х, х), прннииающую для всех х вещественные значения и такую, что А(ах+ру, ах+ ру)=ааА(х, х)+ + а3 (А (х, у) +- арА (у, х) + Щ) А (у, у). Такую форму А(х, х) будем называть квадратичной архиглоаой формой. соответствующей билинейной эрмитовой % и САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ где х,=х+у, х =х — у хз = х+ (у, х„= х — 1у. Нетрудно показать, что квадратичная эрмитова форма А(х, х) будет ограниченной, т.
е. ]А(х, х)] (Сд ]]х]]з, в том и только в том случае, когда соответствующая билинейная эрмитова форма ограничена. Пусть лт= 1п1 (Ах, х) и М= зпр (Ах, х). )ю!=! 1х! =! Числа и! и М называются нижней и верхней ераницами самосопряженного оператора А. Покажем, что ]]А)]=щах()гл], ]М])= зпр ](Ах. х)]. !Ее! =1 В самом деле, пусть ]]х~]=1. Тогда ](Ах, х)]~(]]Ах]! )]х]]~(]]А]]]]х]]а=]]А]] и, следовательно, Сд —— зпр ](Ах, х)] (]~А,'], )!и~ 1 (4) С другой стороны, для любого у~Н имеем (Ау, у) <Сд]]у]].
форме А (х, у). Если задана билинейная эрмитова форма А(х, у), то тем самым задана и соответствующая квадратичная эрмитова форма А(х, х). Верно и обратное: задание квадратичной формы А(х. х) однозначно определяет билинейную эрмитову форму А(х, у), соответствующую квадратичной форме А(х. х). Эта билинейная форма определяется равенством 1 А (х, У)= 4 ]]А!хо х!) — А (хз, х!)]+ + 1]А(хз хз) А(х и х!)]], а|о спектялльиля теовия опевлтоеов [гл.
ти Позтому если х — любо» влемент из Н. отличный от нуля. то. полагая ! будем иметь Ц Ах Ц~=(А() х). и)= 4 ((А().х+и), ).х+и)— — (А().х — и), ).х — «)) ( — С„( Ц),я+л Цг+Ц), и Цг) = — Сл ( Ц Хх Ц~+ Ц и Цг) = —, Сл ~ )„г Ц х Цг» 1 Ц Ах Цг~ = Сл Ц х Ц Ц Ах Ц, откуда и, следовательно. ЦАхЦ(С ЦхЦ, (Ах, х) =(Вх, х), то А =В. $2. Унитарные операторы. Проекционные операторы Мы рассмотрим здесь два специальных класса операторов в гильбертовом пространстве.
Линейный оператор У называется унитарным, если он отображает пространство Н на все Н с сохранением нормы. т. е. если ЦихЦ = ЦхЦ. Легко видеть, что это отображение взаимно однозначно. так как если ух, = ухг, то есть (г(х, — хз) =О, Цх,— х,Ц=Ци(х,— х)Ц=О то ЦАЦ~~Сл — — анр ~(Ах, х)~.
(5) !М-1 Из неравенств (4) и (5) получаем требуемое равенство. Из доказанного следует. в частности: если для самосопряженных операторов А и В при всех х ~ Н выполняется равенство $21 УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКПИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 311 и х, = ха. Поэтому существует обратный оператор и который также очевидно унитарен. Далее равенство (1) дает (их. их)=йихйт=йхйя=(х, х). откуда ((/*Ух, х) = (х, х) = (Ех, х), где через Е здесь и в дальнейшем в этой главе мы обозначаем единичный оператор. Так как квадратичные формы операторов У*У и Е равны, то эти операторы совпадают*) и*и =е, (2) Умножая это равенство слева на У и справа на У '. будем иметь ии' = е.
(3) Отсюда получаем, что (/ = У . Пз (2) также следует. что (их, иу)=(х, у). Обратно, нз условий (2) и (3) вытекает, что У вЂ” унитарный оператор, так как из них вытекает, что существует и = У и, следовательно, отображение Н на И взаимно однозначно и что 'й их)!2=(их, Ух)=(У'Ух. х) =(х, х)= 3 х 32, т.
е. что У сохраняет норму элемента. Примером унитарного оператора в координатном гильбертовом пространстве 12 может служить бесконечная унитарная л1атрица (и, ), т. е, такая, элементы которой удовлетворяют соотношениям ~л~~ пятка/ = 61/. ~'„п11и/1 — 51/. а=! 1=1 Пусть даны линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве, н унитарный оператор и. Оператор д= УАУ '= УА(/ (5) ') Отметим, что для любого линейного оператора А оператор А*А будет самосопряжеШ1ым. З)2 СПЕКТРАЛЬХАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ггл. Егт называют оператором, унитарно эквивалентным оператору А.
Из равенства (5) видно, что оператор, унитарно эквивалентный самосопряженному, также самосопряженный. Легко проверить, что нормы унитарно эквивалентнык операторов равны. Введем теперь важное для дальнейшего понятие проекционного оператора. Пусть Ь вЂ” надпространство пространства Н. Любой элемент х ~ Н однозначно представим в виде х=у+», х,=у,+», и ха=у,+»Р где УР УгЕЕ, а»Р»г 1 Е, то ах, +Рхг=(ОУ, +РУг)+(а», +-и»,). где аУ, + РУг с г., а», + Р»г ! Р (ах, + Рхг) = ау, + рут = ОРх, + РРх, отктда Далее.
!!х!!г=!!у+ !!г=(у+» у+ )=!!у!!г+!! !!' в силу ортогональности у и». Следовательно, !!у!! (!!х !!, т. е. !',Рх!! (!!х!! !!РЫ П для любого х. Отсюда где у ~ Е, » ! Ь. Полагая Рх =у, получим некоторый оператор, определенный на всем Н, область значений которого есть подпространство Ь. Этот оператор называется проекционным оператором, или оператором ортогонального проектирования на надпространство Ь, и обозначается также через Р . Докажем, что оператор Р есть самосопряженный оператор с нормой, равной единице, и удовлетворяет условию Рг = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
