Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 46
Текст из файла (страница 46)
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. УН З20 Поэтому ]] Ахл — Мх„!т = (Ах„— Мхл, Ахл — Мхл) = = ]]Ахл[т — 2М(Ахл хл)+ Май]хл]т ( .( М' — 2М (М вЂ” бл)+ М' = 2Мбл, или ]] Ахл — Мхл]] ( 'у' 2Мбл ° Следовательно. ~]Ахл — Мх„][-ьО, )]х„][ = 1, Остается использовать следствие теоремы 1. С лед ст в не. Каждый самосопряженный оператор имеет непустой спектр в).
Прин е р ы. 1. Если оператор А есть единичный оператор Е, то его спектр состоит из одного собственного значения 1, для ко- торого соответствующее пространство собственных элементов 1 Н, Н. Прн Х чь 1 оператор !гь †= В есть Ограниченный Л вЂ” 1 оператор. 2. Определим оператор А нз (ба[0, Ц-ьу.1 [0, 1]) следующим образом: Ах(Т) Тх(г), О~,Т(1. Очевидно, гл =О, М(1. Мы покажем, что все точки отрезка [О, 1] принадлежат спектру оператора А (откуда будет следовать, что М 1).
В самом деле, пусть 0(л ~;1. Рассмотрим отрезок [л, !1+с] (илн [Х вЂ” е, л]), лежащий в отрезке [О, 1]. Пусть 1 — при Ф~[Х, Х+е], х (т) ]г е 0 при г'(=[А, л+а]. Так как 1 Л+е х (г) г(Г У вЂ” 4(Т 1 то х (Т)Ела[О, 1], ]х ]) 1. А1х (У) = (Т вЂ” л) х (Г), Далее, *) В теории нормированных колец доказывается непустота спектра любого ограниченного оператора, определенного в произвольном баиаховом пространстве [7].
Ф 41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 327 откуда 1 с ел [( А> хс (1) [[т — ~ (г — Л) иг = —. л При е-+О имеем [[Алхс[[-ьо. Следовательно, Л есть точка спектра при О <А (1. В то же время оператор А ие имеет собственных значений.
В самом деле, А;х (Г) = (à — ).) х (Г). Если А х(1) =О, то(1 — Л) х(Г) =О почти всюду на [О, 1), а отсюда и х(1) почти всюду равно нулю. Инвариантные подпространства. Подпространство Л пространства Н называется инвариантным подпространством оператора А, если из х ~ Е следует Ах ~ Л. Приведем пример инвариантного подпространства. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А и )члл — совокупность собственных элементов, соответствуюпчих этому собственному значению, к которой присоединен нулевой элемент.
Нл — инвариантное подпространство, так как в си.чу равенства Ах = Лх нз х ЕМл слелует Ах ЕчЛГл. Если т'. — инвариантное подпространство оператора А, то говорят также, что Е ириводит А. Установим некоторые свойства инвариантпых подпространств салчосопрязсенных операторов. 1'. Из инвариантности Е следует инвариантность его ортогонального дополнения М = Н -- Л.
Пусть х ~ М. Это значит, что (х, у) = О для любого у ~ Л. Но Ау также принадлежит Л для у ~ Л и потому (х, Ау) =О. Отсюда в силу самосопряженности А получаем (Ах, у) = О для любого у С Л. Следовательно, Ах С М, и требуемое доказано. Обозначим через Ол область значений оператора Ал, т. е. совокупность элементов вида у = Ах — Лх, где Л вЂ” собственное значение. Легко проверить, что Н = 0л + гч'л В самом деле, если уЕ'Ол и ~Лгл, то (у, и)=(Ах — Лх. и) =(х, Аи — Ли) =(х, О) = — О.
328 СПЕЮП'АЛЬИАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. УП Следовательно, Ол ! Мл Если У~Ос и УЕ Ол. то У=1!гнул. л где у„~ Ол. Из равенства (ул, и) = О получаем (у и)=! гп(ул и)=О л Следовательно, Ол ! Мл. Пусть теперь (у, и) = О для любого у(: Ол. Для произвольного х ~ Н получаем О =(Ах — ).х, и)=(х, Аи — ).и), откуда Ли — ).и =О, т. е.
иЕ№. Следовательно, № = И вЂ” Ол = И вЂ” Ол. ч. т. д. Из свойства 1' и только что доказанного предложения следует; Ол является инвариантным подпространством само- сопряженного оператора А. Обозначим через М ортогональную сумму всех подпространств Мл, или, что то же самое, аамкнутую линейную оболочку всех собственных элементов оператора Л. Это— также инвариантное подпространство данного оператора. Если Н вЂ” сепарабельно, то в каждом Мл можно построить полную конечную нли счетную оргонормальную систему собственных элементов, Так как собственные элементы из различных № ортогональны. то.
Объединив эти системы, мы получим ортогональную систему собственных элеиентов !х„~. полную в пространстве М. Оператор Л определяет в инварнантном подпространстве Е оператор Ас из (Š— ь ь); именно. для х ~ л, Лсх = Ах. Иетрудно проверить, что Ас есть также самосопряженный оператор. 2'. Если инвариантные полпространства л и ТИ обраауют ортогональные дополнения друг к другу, то спектр оператора А есть теоретико-множественная сумма спектров операторов Лс и ЛАР !!усть ) есть точка спентра оператора Ас или ААР Тогла существует последовательность элементов (хл!<=.Ь (соответственно ТИ) такая, что ()х„!)= 1 !!Ас, лхл~(-ь О.
% и СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 329 Ио !!Ас,лх„!!=!!Алх„!!. поэтомУ Л пРинадлежит спектРУ оператора А. Пусть теперь Л не принадлежит ни спектру оператора Ас. ни спектру оператора А „. Тогда существует положительное число с такое, что для любых ус Л и г с М !! Алу !! = !! Ас, лу !! )~ с !! у !!, !! Алг !! )~ с'!! г !!. Но любой элемент х~Н имеет вид х=у+л ус~- зЕА) !!х!!'=!!у!!з+!! !!'. Отсюда 1 !! Алх !! = !! Алу+ Алг !! = ( !! Агу !!1+ !! Алз |!1)1 )~ 1 ) с (!! у !!а+ !! г !!1) Я = с !! х !1.
Итак, Л не есть точка спектра. Точечный и непрерывный спектры. Как мы видели. пространство Н представимо в виде ортогональной суммы двух пространств: пространства Н вЂ” замкнутой линейной оболочки множества всех собственных векторов самосопряженного оператора А и его ортогонального дополнения О. Пространство Н есть инвариантное подпространство оператора А; значит, спектр оператора А есть теоретико-множественная сумма спектров операторов А, и Ао. Спектр оператора АА1 называется точечным спектром") оператора А.
спектр оператора Ао — непрерывным спект ром оператора А. Если Н = Н, то непрерывный спектр отсутствует и оператор А имеет чисто точечный спектр; такой спектр, как мы видели в гл. Лгй имеют вполне непрерывные операторы. Если оператор не имеет собственных элементов, то подпространство М пусто, Н = 6 и спектр оператора А — чисто иепрерыенысл; примером может служить спектр оператора А в примере 2. Операторы с чисто точечным спектром. Пусть самосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр. Тогда Н = Н и, следовательно, в Н существует замкнутая ') Часто точечным спектром оператора А называют совокупность всех его собственных значений. Согласно наюему определению к точечному спектру оператора относятся и предельные точки множества его собственных значений.
СПЕКТРАЛЫ!ЛЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ <гл. Тп ортонормальная система собственных элементов (х„]: Ах„= ),„хл, значения я). представим рядом фурье х= ~'., с„хл, где ) „— собственные Каждый элемент х (6) где с„=(х, х„). Обозначим через Р„ равенством Р„х проекпионный оператор, определяемый = (х, х„) х„= с„х„ или, в операторной форме, Легко видеть, что Р Р =О, глав. В силу (5) и (6) Ах = ~ ).„с„х„= ~)РР„х (7) (8) (9) так как ))ь) ~(//А)), то сумма ~(Л„с„)т конечна вместе с ~~'., ст).
( Р В операторной форме (9) запишется в виде А = ~~Р ).„Р„. л Из (9) и (6) следует (Ах, х) = ~ Х„ст. Р (10) (11) Итак, мы привели квадратичную форму (Ах, х) к сумме квадратов. *) Предполагается, что 77 в сепарабельно. (Р„есть оператор проектирования на прямую 1х„, — ОО( ( Г (-+со). Формула (6) может быть записана в виде х =Ех =~~", Р„х $41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 331 Формулу (!1), как это следует из (9), можно записать в виде (Ах, х)=~Ли(Рлх, х). (! 2) Пусть теперь Л не входит в замыкание множества !Лл! собственных значений.
Существует постоянная д ) 0 такая, что !Л вЂ” Л,~ ) А Имеем Ахх = (А — ЛЕ) х = ~~.", (Лл — Л) Рлх. Отсюда с помошью (8) легко получаем йьх=АА х= т Рлх, л и (13) илн. так как Р„х = слхл, сл )САХ = Хл. и и Так как то 1 ли~~<-,'(а, .)'=-„' ~~*с и или РА!~ ( у. 1 Следовательно, Л не принадлежит спектру. Мы можем записать (13) в виде ~А=С!~А ' ЛР' и— л (14) Выведенные формулы совершенно аналогичны формулам для квадратичных форм и симметрических (и эрмитовых) матриц в л-мерном случае, отличаясь от них лишь тем, что конечные суммы заменены бесконечными рядами.
Д. Гильберт в своей работе [8! развил впервые обшую теорию самосопряженных оператороз и соответствующих форм (Ах, х), рассматривая последние как пределы квадратичных форм с и переменными при л -ь ОО. При 332 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. ч!1 неограниченном росте п конечные суммы, аналогичные только что выведенным, могут переходить как в бесконечные суммы, так и в интегральные выражения, которые будут даны ниже.
Этому отвечает появление точечного и непрерывного спектров. Разобранный случай чисто точечного спектра особенно прост в смысле его полной аналогии с конечномерным случаем. В этой же работе Гильберта был выделен важный класс операторов с чисто точечным спектром — класс вполне непрерывных операторов. Приведем здесь независимое от общих результатов гл. Н1 доказательство дискретности спектра вполне непрерывного оператора. Теорема 5.
Каждая отличная от нуля то~ко спектра самосопряженного вполне непрерывного оператора А есть его собственное значение. Если Х чь О есть точка спектра оператора Л, то существует последовательность элементов (хн( ~=Н такая, что (, 'Ан((= 1, ((А кн — Лх„((-«О, или, полагая Ах„— Хх„= у„, ((у„((-«О, имеем 1 х„= — (Ах„— у„).
Оператор А преобразует последовательность (х„( в компактную последовательность (Ах„(. Поэтому существует сходящаяся подпоследовательность (Лх„~); вместе с ней сходится и подпоследовательность 1 х„= — (Лх„— у„). Пусть х — х. Тогда Ах -«А.к; далее у «О, поэтому "ь нв лв из 115) следует х = —, Ах или Ах = ).х. 1 При этом ((х(( = Вщ((х„((=!. и Следовательно, х есть собственный элемент, а Х вЂ” собственное значение оператора А. Следствие 1. Каждый самосопряженный вполне непрерывный оператор имеет по крайней мере одно собственное значение. $51 РАзлОжение сАмосопРяжснного ОпеРАГОРА 333 Это предложение вытекает из только что доказанной теоремы и следствия теоремы 4. С л е д с т в и е 2.
Калсдое ненулевое инвариантное подпространство (. самосопрямсенного вполне непрерывного оператора А содержит его собственный влемент. В самом деле, вместе с А вполне непрерывным является и оператор Ас~(А — «Ь). Этот оператор в силу следствия 1 обладает собственным значением Х; следовательно, в ь сушествует собственный элемент оператора Ас, а тем самым и оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
