Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пусть Р(Л») = т» на >е» вЂ”вЂ” [Л», р„), л = 1. 2, ..., и, причем л 0 >Л = [л> М + е). »=! Полагаем по определению Мле л 1 Р(Л) <ГЕ» = ~~„ат»Е(>] ). Легко видеть, что имеем также равенство М>е Р Р(Л) >]Е>.= ~ ч»Е(Л„), л> »=! где >] — любые частичные полуинтервалы, на которых Р(Л) постоянна и которые в сумме дают [л>, М+е).
Оператор 342 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЫЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. и! и+е Р(Л)с!ЕА обозначим Р(А) и назовем функцией опера«!ора А, соответствующей функции Р(Л) вещественной переменной Л. Мы получаем, таким образом, соответствие между ступенчатыми функциями вещественной переменной и функциями оператора А.
Это соответствие обладает следующими свойствами: 1) если Р(Л) =аР, (Л)+РР~(Л), Р (А) = аР, (А) + [)Р, (А) то (аддитнвность соответствия); 2) если Р (Л) = Р', (Л) Рт (Л). то Р (А) = Р, (А) Рз (А) Р(Л) = аР, (Л)+ [1РТ(Л) имеем Р(А) = ~ (ас1ег!+[1с!Атг)Е(О ) = е=! = а ~з с! "Е(!Ле)+ [1 ~з~ с!„'>Е [Ое) =- аР, (А)+ 3Р, (А), «=! е=! а для Р(А) =Р!(Л) Ра(Л) вследствие ортогональности Е(!Ае) (мультиплнкативность соответствия); 3) Р (А) = [Р (А)[', где черта над функцией означает переход к комплексно сопряженной функции; 4) [/Р(А)[[~( тах[Р(Л)[; 5) для любого ограниченного линейного оператора В из АВ=ВА следует Р(А)В=ВР(А).
Для доказательства свойств 1) и 2) разобьем полуинтервал [ле, М+ е) на части !Ле, на которых обе функции, Р,(Л) и Рз(Л), постоянны. Тогда для РАзложенг!е сАмосОНРЯженнОГО ОпеРАтОРА 3А3 и Е(Л,) при я ~ ! имеем л Р(А) = ~, сГ "сГЛЕ~~Л ) =- Ф Ф ГА/ ( Е,д л(ьа) ( т л лГла) =л, (АГл!А!. Далее (Р(А) х, у)= ~~'.~ с„Е(ЛА) х, у !А=! л х, ~~ ~сАЕ (ЛА) у = (х, Р(А) у), Ф=! откуда следует, что [Р (А))' = Р (А). Наконец, у л )(Р(А)х, х)! = ~ ~ слЕ(ЛА) х, х) < ,Ф=! < ~~ (с / (Е(Л,') х, х) (!пах (Р(Л)! (х, х). А=! Отсюда !! Р (А) (! = з яр ! (Р (А) х, х) ) ~( п1 ах / Р () ) /. !Гл1=1 Свойство 5) очевидно. Из определения Р(А) следует, в частности, что Е(Л) =- =- )(А (А), где уд ().) — характеристическая функция полуинтервала Л.
Пусть теперь Р():.) — произвольная непрерывная на (лг, М) функция. Продолжим ее на полуинтервал (т, М+е), полагая Р().) = Р(М) для ЛЕ(М, М+е). Существует последовательность ступенчатых функциИ Рл ().) равномерно на (и, М+е) сходящаяся к Р(Л). Рассмотрим соответствующие функции от оператора Рл(А). Инеем () Р„(А) — Р (А) ~! ~( !пах ( Р„().) — Р,„().) ! — э 0 ПРН Л, ЛГ-ЭОЗ.
1гл. нп СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В силу полноты пространства операторов существует опе- ратор В=!1ш Ее(А) и Положим но определению м+е В = ~ Е(Л)йЕл Будем в дальнейшем обозначать В также через р(А) и на- зывать функцией от оператора А соответствующей не- прерывной функции Е(Л) вещественной переменной Л. Легко убедиться в том, что определение Р(А) не зависит от выбора последовательности (Е„(Л)), сходящейся к Е(Л), и что свой- ства 1) — 5) сохраняются н для случая непрерывных функ- ций. В частности, имееи мее .4" = ~ Л" ВЕю я=О, 1, 2, ... и Револьвентв, Полученное соответствие между функциями вещественной переменной и функциями от операторов может быть широко использовано для выяснения ряда свойств само- сонряженного оператора, в частности спектральных свойств.
Мы ограничимся здесь следующими тремя теоремами. Теорема 4. Для того чтобы для данного Ле суще- ствовала резольвента Ял,=(А — Л Е) достаточно выполнения одного из следующих условий: 1) Ле не вещественно; 2) Ле лежит вне отрезка 1т, М1; 3) если ЛеЕ(т, М), то существует полуинтервал 1а, Р), а < Ле < Р, внутри которого Ел постоянно. Во всех зтих случаях мее Г '%, Е~=,! л л, В самом деле, в первых двух случаях функция У(Л)=Л 'л, % б! РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 345 непрерывна в [ле, М+ е) при достаточно малом е.
Поэтому М+е Мее Лее е Л вЂ” Л [ (Л Ло)б(ЕА= / ж =Е, "ее и так как / (Л вЂ” Ло) Г1ЕЛ = А — ЛоЕ ее то У л — л. В третьем случае разобьем полуинтервал [т, М+ е) иа три полуинтервала [ле, а). [а, [)) и [Р, М+ е). Пусть ф(Л)= „на [ле, а) и [[1. М+е) и линейна на [а, р), 1 Л вЂ” Л причем ф(а)= Л .
ф([))= [1 1 1 В силу постоянства Ел в полуинтервале [а, р) ~ ф(Л)е(ЕЕ=О а для люоой функции ф(Л). Поэтому беоя<но записать ч~е ф(Л) е(ЕА= ~ т ее Следовательно, Мле М+е Отсюда вытекает, что есее существует и равна Мее л — л ее СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чы Теорема 5. Если для вещественного )ьа сущест« вует Л~, то )з лежит внутри некоторого полуинтервили [а, (1), ).з Ф а, в конеороле ЕА постоянна. Возьмем для произвольного х ~ Н равенство мэе (А — )'еЕ) х = ~ () — Хе) дЕАх и применим к обеим частям его оператор Й~.,Е(Ь), где Ь = (а, (1) — некоторый полуинтервал, содержащий внутри себя точку ),з.
Получим е(е) =е Ца — лене 'ее Отсюда Но, как легко проверить, в Х(Л вЂ” Ло) ФЕЕХ < с ((Е(Л) х((, а где с = пшх(() — Ае, Аз — а). Следовательно, ((Е(Л) х(( ~(с ((йл,((((Е(Л) х((. Выберем теперь полуинтервал (а, ()) настолько малым, чтобы с,(йы(( < †. Получим (;Е(Л) х!( < 1 ((Е(Л) Но это возможно, лишь если Е(Ь) х = — О, и так как х — любой элемент из Н, то Е(Л)=0. Тем более Е(Л)=0 для любого полуинтервала Ле=Л, а это означает, что ЕА постоянно в (а, ()). Из теоремы 4 непосредственно вытекает, что множество регулярных точек самосопряженного оператора А есть открытое множество, а следовательно, спектр самосопряженного оператора А представляет собой замкнутое множество, рас- $51 РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 347 положенное на вещественной прямой (замкнутость спектра произвольного ограниченного линейного оператора в вещественном банаховом пространстве была установлена в гл.
Ш). Собственные значения самосопряжениого оператора. Теорема 6. Для того чтоды Л было собственным значением самосолряженного оператора Л, необходимо и достаточно, чтобы Ло было точкой разрыва для Ел. Необходимость. Пусть для некоторого хоть 0 Лхо Лохо = О. Тогда ((Л вЂ” ) оЕ)т хо хо) = О и, следовательно, льле / (Л вЂ” Ло)'д(Елхо, хо)=0. П! Так как полынтегральная функция неотрицательна, а инте- грирующая функция монотонно возрастает, то и )л (Л Ло)ад(Елхо хо)=0 о для любого полуинтервала [а, р). В частности, для любого е) 0 мче ~ (Л вЂ” Ло)т д(Елхо хо) = О л,+е и так как на интервале интегрирования (Л вЂ” Ло)т )~ ет.
то тем более Мле ег / д (Ел хо, хо) = ег ((хо, хо) — (Ел,+ехо, хо)1 = О. Следовательно, (х,, хо) — (Е>.,+,хо, хо)=0, т, е. Ел,~око = хо. (7) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !гл. чп Аналогично ле-е (Л вЂ” ) о)Я И (Елхо ха) = О ее откуда с учетом того, что Е =О, получаем Ел,-ехо — — О. (8) Из (7) и (8) следует (Ел,+е Ел,-е) Ао = хо и так как е произвольно, то (Ел,+о — Ел,) хо = хо. Следовательно, Ло есть действительно точка разрыва для Ею причем собственный элемент хо принадлежит надпространству, соответствующему проекционному оператору Еъ,+о †Е~ .
Лостаточность. Пусть Ее,+очьЕП и хо — любой элемент из ноднространства, соответствующего' оператору Ем+о — Ел,. Тогда (Ел,.ьо — Ел,) хо — — хо, т. е. хо принадлежит ортогональному дополнению пространства Ле в Пространстве Ле„ +о. Поэтому Е~ ч.охо = хо. Ер хо = О. Тем более Елхо = хо для Л ) Ло, и, следовательно, Е(Ь) хо — — хо для Л = (Ло Ло+е). Но тогда л,ее Ахо= АЕ(Ь) хо — — ~ ЛегЕА хо. л„ л,+е Лохо=ЛоЕ(А)хо= / Ло~ГЕлхо ле и, следовательно, Ле+е "хо Лоха= / (Л вЂ” Ло) е7Елхо.
л, $61 НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛГОРЫ 349 Отсюда ))Ахо )охо)) (е))Е(1»)хо)) (е))хо)) ° и так как е произвольно, то ))Ахо )"охо)) = б Попутно получено, что все надпространство, на которое проектирует оператор Е» чо — Е», состоит из собственных влементов оператора А, соответствующих собственному значению Хо. ф 6. Неограниченные линейные операторы. Основные понятия и определения В предыдуших параграфах мы рассматривали линейные ограниченные операторы, определенные на всем гильберто- вом пространстве Н. Однако целый ряд весьма важных ли- нейных операторов не удовлетворяет этим условиям.
Таков, например, оператор дифференцирования д А= —, иг ' который определен лишь на всюду плотном в Ег[ — и, и) множестве функций, имеющих производную, суммируемую с квалратом. Оператор дифференцирования не ограничен на этом множестве, так как для х„(г) =з!ппг имеем )) А х„)) = и )) х „)) . Если линейный оператор А определен на всюду плотном множестве пространства Н и ограничен на нем, то А равномерно непрерывен на этом множестве и его можно одновначно продолжить по непрерывности на все пространство. Для некоторого класса операторов имеет место и обратное утверждение.
Теорема 1. Если линейный оператор А определен на всем пространстве Н и для всех х и у иэ Н справедливо равенство (Ах, у)=(х, Ау), то он ограничен и, следовательно, непрерывен. Предположим противное. Тогла существует послеловательность [х„) с-Н такая, что ))х„)) = 1 н ))Ах„)1 -+ОО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
