Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рассмотрим сепарабельный случай, когда индексы дефекта будут (Ив, ягв). Такой оператор допускает и максимальные и гипермаксимальные расширения. Пусть Т, — счетно- мерное надпространство дефектного пространства Ин Отображая изоморфно и изометрично Т, на И н иы приходим к максимальному оператору В с областью определения О(В) =В(А)+Т,+И, и индексами дефекта (т, 0), где т может быть в зависимости от выбора Т, любым конечным числом или бесконечностью. Отображая изоиорфно и нзоиетрично И, на все И придем к самосопряженноиу расширению В оператора А.
Итак, каждый симметрический, но не саиосопряженный оператор А допускает или максимальное, или саиосопряькепное, или и то и другое расширения. Существует континуум различных максимальных или самосопряженных расширений оператора А. Пример расширения симметрического оператора буды приведен ниже.
зто СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ~гл. ч!3 9 8. Спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора. функции самосопряженного оператора Интегральное представление, полученное выше для ограниченных самосопряженных операторов, обобщается и на неограниченные самосопряженные операторы.
Мы проведем это обобщение методом сведения неограниченного оператора к последовательности ограниченных операторов, предложенным Ф. Риссом и Э. Лорхом. Интегралы Стильтьеса. Пусть Ел, — сс < ). < + со— некоторое разлохсенле единицы, т. е. семейство проекционных операторов, зависящих от вещественного параметра Х и обладающих следующими свойствами: 1) Ел <ЕР при ), < р, 2) Ел-»=Ел. З)Е =ОЕ =Е.
Пусть, далее, у (А) — ограниченная или неограниченная коиплекснозпачная функция, определенная на интервале ( — со, со) и равномерно непрерывная на этом интервале. Разобъем ( — ОО, со) на частичные полуинтервалы Л» ††= (Х», р») и рассмотрим ряд $ (ч ) Е (Ь») х, А» < ч» < р„. (!) Этот ряд составлен из попарно ортогональных слагаемых, и для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд О СО /У(ч»)!э)/Е(лл»)хйа= ~ ~У(ч»)~»(Е(Л»)х, х). (2) Последний ряд представляет собой интегральную сумму для интеграла Стильтьеса ~ /У(А)!»~Х(Елх, х) и сходится при любом разбиении интервала ( — ОО, со) тогда и только тогда, когда сходится этот интеграл.
Обозначим з з! РАзлОжение неОГРАниченнОГО ОпеРАТОРА 371 через л)(7) множество тех элементов хЕН, для которых ряд (2) или. что все равно, интеграл (3) сходится. Пусть а — произвольное положительное число. Рассмотрим полуинтервал Л, = [ — а, а). На этом полуинтервале функция )г" (А)) ограничена и потому ) у (й) ) з с~ (Ехх, х) ( оо -а для любого х Е Н.
Но а СО ~ ) г" (Х))'г[(Елх, х) = ~ )Д()))'г[(ЕАЕ(Ла) х, Е(Ла) х). -а Таким образом, элементы вида Е(Ла)х, где а и х произвольны, принадлежат 7) (7). Так как Е(Ла) х-»х при а-»со, то множество [Е(Л,)х), а тем более 0(7), всюду плотно в Н. Легко видеть, что О Д) — линейное многообразие. Возьмем х ~ О(г) и рассмотрнлл сумллы (1), соответствующие двум разбиениям прямой ( — оо, оо) иа полуинтера валы ЛА и ЛА соответственно, причем гпах(р„' — Лл) (б и плах([л — Хл) (б.
Тогда, пользуясь свойством аддитивности и ортогональиостн Е (Л), легко подсчитать, что ! ~ (тл) Е (Л') х — л, У (тл) Е (Ла) х ( (олз ((Е х, х) — (Е х, х)) =оУ(х, х), (4) р ) У(7) — Х(р)) ~л-Р> жо Пусть дана последовательность измельчающихся разбиений интервала ( — со. Оо) такая, что Ь„= лпах) [НЮ вЂ” 1<а~)-»0, ) А А и пусть (а„) — последовательность сумм ряда (1), соответствующих этим разбиениям, В силу (4) последовательность )эа) 672 спгктРАльнАЯ теОРиЯ ОпеРАтОРОВ 1гл.
Т11 удовлетворяет условию Коши йа„— а„~!г ~(ГЕТ(Х, Х) — эО ПРИ и — ьОО, Р) О, и, следовательно. сходится к некоторому пределу а г. Н. Этот предел мы обозначим ) 7(Л)г)ЕАх и назовем интегралолг Стильтьеса от функции 7(Л) по семейству ЕА. Интеграл Стнльтьеса ~ у (Л) 1ТЕАх является, очевидно. некоторым линейным оператором Я, определенным на линейном многообразии Р(Я) = Р ((), с 8= ~ У(Л) 1(Елх. (6) Из формулы (б) следует также, что (Ях, у)= / У(Л)г((ЕАх, у) СО (7) (Ех, х) = ~ У (Л) 17 (Еьх.
х), СО и если 7' (Л) — вещественная функция, то (Ях, х) также вещественно, и потому интеграл Стильтьеса от вещественной функции определяет симметрический оператор. для любых х Е 0(Я) и любых уЕН. Легко видеть, что приведенное выше определение интеграла Стильтьеса распространяется на функции 7" (Л), кусочно равномерно непрерывные, т. е.
непрерывные всюду, за исключением конечного числа точек разрыва с конечным скачком, и равномерно непрерывные в интервалах непрерывности. Из формулы (7) получаем $8~ РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 373 Покажем, что Е даже самосопряженный оператор. Так как В(5)с=В(Е') в силу симметричности 8, то требуется дока- вать обратное включение. Пусть х — произвольный элемент Н и Лл = [ — и, и). Тогда хл = Е (Лл) х Е В (Я). Обозначим через 7.„подпространство, на которое проекти- рует Е(ЛР). Очевидно, 5 и Е(Лл) перестановочны. Тогда Юхл = БЕ (Лл) х = Е (Л„) Ях ~ У.„. Пусть теперь у — произвольный элемент из В(8*). Поскольку ул=Е(Л„) у~В(Ь) и В(5)<=В(Б*), то у„Е В(5л) и Еу„= = Яу„~ Е„.
Пусть вл = у — ул. Тогда г„~ В (8*) и гл ) 7.„. Если х„ — произвольный элемент из Е„, то (Я*г„х„) =(гл, ЯХ„) = О, так как 5х„~7.8. Следовательно, Я*г„~ с„. Поэтому У*у!Г = Р'у.!Р+ ~1 Е' . !Р > И*у. !Р = Ру. 1Р. По л Рул'йг= ~ (У(7)!Зб(Елу, у). -л Мы получаем, таким образом, что л ~!У()))г Х(Елу, у) <~!Е*у~Р -л для любого и, откуда следует, что ~ (У(Х))ад(Елу, у) < зо. сл т, е. у~В(8). Включение В(о')8=В(о) доказано, а вместе с тем доказана и самосопряженность оператора Я, Две леммы. Лемма 1.
Пусть Нп Н,, ..., Нл..., последовательность попарно ортогональных подпрост ранств гильбертова просллранства, ортогональная 374 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. Ч[Г сумма которых совпадает с Н, Обозначим через хл пронсяию элемента х на подпространство Нл. Пусть, далее, АР А,, ..., А„..., — последовательность ограниченных самосопряженных операпьоров, определенных соответственно на НР Н,, ..., Нл, ...
и отображающих эти подпространства в себя. Тогда в Н существует единственный самосопряженный оператор А, совпадающий с Ал на каждом Нл. Область определения 0(А) етого оператора состоит из тех и только тех х~Н, для которых ряд ~, [1 Алх„[[г (8) сходится. Для х Е 0 (А) Ах= ~ А,хл.
(9) Обозначим через 0(А) множество тех х ~ Н. для которых ряд (8) сходится. 0(А) — линейное многообразие. Пусть х, у ~ 0(А). Тогда при любых комплексных а и Р ~~.", 11 Ал (ах+ РУ)„1[Я = ~ч.", 1[ аАлх„+ РА„У„(1г ( 4 ~г ([[Ал(ахл)[[+[[Ар(бул)1[)г ~( -~С Х ()1Алхл~Р+~! АлУл 1)') < ОО где С зависит лишь от а и Р.
Линейное многообразие 0(А) всюду плотно в Н, так как в 0(А) входят все элементы вида ~~'., хь, хьЕН„, я=[, ь=1 2, ..., и. Определим на 0(А) с помощью формулы (9) оператор А. Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится. так как в силу попарной ортогональностн элементов Аьхь имеем ! л+р [г л+р А х ~ = лч'.11 ((Аьхь)Р-ь 0 [А =в+1 Ь=л+1 в 8) РАЗлОжЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 375 при и — ьсо, р ) О.
Оператор А, определенный формулой (9), очевилно, линейный. Далее, для х, у~ 0(А) имеем / сю СО т О (Ах, У) = ~ ~ Алхл, ~~'„УА) = ~ (Алхл, Ул) = л, =и! в в.вВ=(Е,. Х. )=., вл и, следовательно, оператор А — симметрическии. Поэтому существует сопряженный оператор А' и А*-!А. Установим обратное включение. Пусть у ~ 0 (А*), тогда для любого х~0(А) (х, А'у) =(Ах, у) = ~в (Аахь, уь) = ~ (хь, Алуа).
А=! В=! Выберем в качестве х произвольный элемент г„~Нл. Тогда (ял, А'у)=(гл, Алул), т. е. РН (А У) = !! Н„(Алул) = Алу». Поэтому Х 1! А.У. ~Р = .'Э~ !! Р» (А*У) !|' = ~~ А*У ~Р ( со. откуда и следует, что у~0(А) и А*у= Ау. Докажем, наконец, что существует лишь один оператор А с указанными свойствами.
Если  — другой такой оператор, то прежде всего в(х.,)=ив;=Е..., .(Е.,) л т. е. на конечных суммах вида ~, хь оба оператора совпал=! дают, Если теперь х Е 0 (А), то ~ х„ -эх А=! /л ! л В ~ ~ хь) = ~ А„ха -ь у = Ах, А=! А=1 376 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. НП и поскольку В, как самосопряженный оператор, заикнут, то х ~ 0 (В) и Вх = у = Ах. И гак, В г А. С другой стороны, переходя в этои включении к сопряженным операторам, получаем ЛсВ. Следовательно, А = — В, и лемма доказана. Л ем и а 2. Для любого саыосопряженного оператора А существуют два ограниченных салосопряженных оператора В и С таких, что 1) В (В) с 0 (А), В (С) с 0 (А ); 2) О ( В ( Е, !~С~/ ( 1; из Вх = О следует х = О; 3) С= АВ; 4) С и В перестпновочкы и сокомлгутир)пот с Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
