Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поэтому й(Е>Я(А) х, уа(А) х) =)/а()))~а>ЕАх, х), и (18) принимает вид ~ » у'> ().) > з ().) ] е >1 (Е> х, х) < ОО. ОО Отсюда следует, что х ~ 0 )(уьЯ(А)). Итак, 0 )~> (А) Уз(А)) ~0 )(>ьЯ(А)) = 0 )(>~~>) (А)», (19) т, е. у>(А)уз(А)г=(уь>з)(А). (20) Выясним, когда в формуле (20) имеет место знак равенства.
Пусть хЕ0)®У>)(А)) и х~0)уа(А)). Тогда )»Л ()с))'>((ЕАЛ(А) х, У'а(А) х) = ) У>(Л)Уа()))'сИЕАх, х) ( со. СО Это означает. что > >(А) х ~ 0 )У> (А)), и, следовательно, х й 0 ),» (А) >'я (А)), >'(ы приходим. таким образом, к включению 0 )уе(А)) й 0 )(У,Я(А)) ~0 [/> (А) Уз(А)). (21) Зйб СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [гл. Чч! Отсюда с учетом (19) получаем 0 [У, (А)[ () 0 Илу~(АЯ г=-0 [Ул (А) Уэ (А)[с0 [(УлУТ) (л1)).
Из этого включения следует: для того чтобы в (20) имело место равенство, необходимо и достаточно. чтобы 0[(У,У,)(А)[ 0[У,(А)). Рассмотрим случай, когда ул(Л)=уз(Л)=у(Л). Так как на всяком конечном интервале функция у'(Л) ограничена, то расходимость интеграла / [у (Л) [" лл (Елх, х) (22) может произойти лишь вследствие неограниченного возрастания [у(Л)[ при )Л[-РОС, Но так как [у(Л))' растет медленнее, чем [у (Л))", то из сходимости интеграла (22) будет вытекать сходимость интеграла ~ [г (Л)[" 'л((Ел.х, х).
Это будет означать, что 0 [(г"")(А)] ~0 [(у" ')(А)~. Отсюда, в силу предыдушего, (у" '(А))у'(А)=(у")(А), и, следовательно, У (А)[л (Уа) (А) т. е. [У(А)[ = ~ [У(Л)1 гТЕл Найдем оператор у'(А)'. сопряженный с оператором у(А). Если у (Л) — вешественная функция, то, как мы знаем, у (А)— самосопряженный оператор. Если у(Л) =и(Л)+1о(Л) — комплексная функция. ограниченная на ( — ОО, ОО), то по доказанному у (А)' = [и (А) + йг (А)[' = и (А)' — 1о (А)' = =и(А) — 1о(А) =/(А), э э! глзложвние нвогглничвнного опвглтогл ээу где 7(Л) означает функцию, комплексно сопряженную с у (Л).
Если > (Л) не ограничена, представим ее в виде у (Л) = [ р' (Л) [ е '"а г !ю = Е (Л) >! (Л). Здесь л (Л) вешественна, [й (Л)[ = 1, н области определения г (А) и и (А), очевидно, совпадают. Оператор л (А) — само- сопряженный, а />(А) — ограниченный. Поэтому у (А)* = [л (А) Ь (А)[' = Ь (А)' л (А) = lг (А) у (А) = )' (А). Пусть Т вЂ” ограниченный линейный оператор, перестановочный с А.
Тогда Т перестановочен с Вь=(А — ЛЕ) ' для любого регулярного значении Л и, следовательно, перестановочен с оператором 2 1 В свою очередь из перестановочности Т и В следует перестановочность Т с любой ограниченной функцией г" (В), в частности со спектральной функцией 3'ь этого оператора н с введенной выше функцией <р„(В). Эта последняя перестановочность означает. что подпространство Н„приводит Т.
Поэтому для х ~ Н„ А„Тх = АТх = ТАх = ТА„х. т. е. А„и Т на Н„коммутируют. Но тогда Т коммутирует с Е)„"> — спектральной функцией оператора А„, и поскольку спектральная функция Е> оператора А предста- вима в виде Елх= Х Е~л'х, л=! где ряд сходится для каждого х ~ Н, то ТЕ> = Е>,Т. Иэ перестановочности Т с Еь следует перестановочность Т с любой ограниченной функцией г" (А). Если, наконец, г"(А) — неограниченная функция, то положим Ул (А) = У (А) Хл (А) Зза СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [гл. щ1 где )(„(),) — характеристическая функция полуинтервала ( — и, и).
Имеем для любого хЕ 0(г" (Л)) /в (Л) Тх = — Т~в (А) х. (23) Так как хРО 1Т (А)), то у„(А)х — ~у'(Л)х при и — ь "О. Следовательно, ТУ„(Л) х — ь ТУ' (А) х. Но тогда при и -ь со левая часть равенства (23) стремится к пределу Ту'(Л)х, что означает, что Тх Е 011'(А)1 )' (Л) Тх =. ТУ (.4) х. Итак, любая функция от оператора А сокоммутирует с оператором А.
Оказывается, что это свойство для случая сепарабельного гильбертова пространства является характеристичным для функций от оператора. Именно имеет место Т е о р е и а, Для того чпьобы замкнутый оператор В с всюду плотной областью определения был функпией самосопрямсенного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы В сокоммутировал с Л. Доказательство этой теоремы см..
например, в [2б). Пусть Х вЂ” комплексное число плн точка на вещественной оси, в некоторой окрестности (а, р) которой Ев постоянна. Положим в первом случае 1 ф(Р)= —, — =О Р(СО, и — д во втором случае — вне (ц, б), 1 и — х О, если рц(а, р), ф(р) = ~ тогда тр ((ь) ограничена и равномерно непрерывна на всей числовой прямой: Поэтому оператор ф(А) — ограниченный оператор, и, следовательно, (Л вЂ” ).Е) ф (А) = ф (А) (Л вЂ” ),Е) = 1 (1ь — ).) — дЕ„= ~ дЕи = Е. 1ь — Х % И влзложьнив нвогвлничвнного опвилтовл 389 Снова мы получили, что комплексные точки и точки вещественной оси, в окрестности которых Е„ постоянна, являются регулярными точками и резольвента имеет вид Пусть, наоборот, )ть для вещественного ).
существует. Тогда, повторяя рассуждения теоремы 5 й 5 настоящей главы, мы получим, что в некоторой окрестности ). спектральная функция Е„постоянна. Наконец, как и в случае ограниченных саиосопряженпых операторов, можно показать, что для того, чтобы точка йр была собственным значением оператора, необходимо и достаточно, чтобы ).е была точкой разрыва разложения единицы Еь этого оператора. Вернемся к резольвенте. Прежде всего имеем: 1. Если )тьх= О, то х=(А — )'Е))слх=(А — йЕ) О=.О. Лалее правила действий с функциями оператора дают: 2 /~Г~ йь.
цЕ, ) иЕч З. )1л — Л„= ( — "' — ( — "= Ч вЂ” А ° Ч вЂ” И бЕЧ= (Ч Д)(Ч Р) аач =() — р) ( " ( — "=О.— р))1Я.. Ч ь 1! И Мы получили так называемое фунипиональное уравнение Гильберта для резольвенты. Итак. резольвента самосопряженного оператора обладает свойствами 1 — 3. Оказывается верно и обратное, а именно: Пусть дано семейство ограниченных линейных операторов, вависяших от комплексного параметра Х и обладающих своиствами: 1) из )сьх=б следует х=б; 2) )та= оП й) Дь — ~'.=().— р) йь~„.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРов [гл. чп Тогда существует ограниченный или неограниченный самосопряженный оператор А, для которого семейство гсь является семейством резольвент. Доказательство см., например, в [24]. Отметим, наконец, что, опираясь на функциональное уравнение резольвенты, можно доказать, что резольвента есть аналитическая функция параметра Х, т. е.
в окрестности регулярной точки Хз резольвента разлагается в ряд по сте- ПЕНЯМ А — Хз, СХОДЯЩнйСЯ В СМЫСЛЕ РаВНОМЕРНОй СХОДИ- мости в пространстве операторов [24]. 5 9. Примеры неограниченных операторов Оператор умножения на независимое переменное. Примером неограниченного оператора является оператор умножения на независимое переменное в пространстве Ц( — со, со). Пусть П(А) — многообразие функций х (г) с суммируемым на ( — Оо, со) квадратом и таких, что / гт [ х (г) [з аг ( Оо.
Легко видеть, что Е) (А) есть линейное многообразие, всюдУ плотное в ~з( — со, Оо), так как оно содеРжит все ограниченные функции, обращающиеся в нуль вне некоторого отрезка [а. Р] ([а[, ]9[ ( со). На этом многообразии определим оператор А равенством Ах = — гх (г). Так как (Ах, х) = ~ Гх (Г) х (Г) И = ~ 1 [ х (Г) [т ЙФ вещественно, что А — симметрический оператор. Покажем, что А — самосопряженный оператор. Пусть у (г) ~ О(А") н х(г) — произвольная функция с суммнруемым квадратом, обращающаяся в нуль для ]г] > л.
ай ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 391 Тогда х(г) ~О и мы имеем (Ах, у) =(х, у'), или л л л / 1х(1) у(г) лг= ~ х(1)1у(Г)Г11= ] х(1) у (Г)~К откуда 1 х(Г)]у*(Г) — Гу(Г)]ЕГ=б. -л В силу произвольности х(г) у*(г) — 1у «) = о почти вс|оду на ] — и, л] при любом фиксированном а, а следовательно и почти всюду на ( — со, со). Так как у' (г) Е г-т ( — со, со), то Гу (г) ~ г,з ( — со, ОО), т. е. у (г) ~ 1.) (А).
Таким образом, ]х(А*)с=]л(А), а следовательно, О(А')=0(й), и самосопряженность А доказана. Оператор А не имеет собственных значений, нбо если Ах=ох, то (à — о) х(Г) =О, откуда х(г)=0 почти всюду на ( — ОО, ОО). С другой стороны, каждое вещественное число о есть точка спектра, в чем убеждаемся, повторяя рассуждения 5 4 гл.
ЧП, относящиеся к оператору умножения на независимую переменную в пространстве 1е]0, 1]. Таким образом, оператор А имеет чисто непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось. Резольвента оператора А определяется формулой Яьх = — х (г). 1 г — А Отсюда Яхх. х)= ( Г А сГГ= ( Г л сйу(Г), /' ] х (г) ]л / 1 СО СО где ср(Г)= ] ] х(т)/'нт. сл СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРМЯ ОПЕРАТОРОВ ~гл. Рн С другой стороны, рл(е,„х,х) р 1 ()~ьх «)= /,' 'Л = / — Л)Р(Р). Приравнивая оба выражения для (Йьх, х), находим, что для всех невещественных Л. Отсюда в силу формулы обращения Стильтьеса с учетом непрерывности <р(~~) и р(",-) получаем (24) рй)=фб) т.
е. (Етх, х) = — ~ ) х (Т) (т Ю. Отсюда (Е(ГТ)х, х)=~ !х®!ЕГТТ= ~ у (Т)',х(Т)РГ(г, где )(д(Г) — характеристическая функция интервала Л. Таким образом, мы получаем, что для любого интервала Л е (гз) х = й (О х (г). Интегральное представление оператора А принимает вид Ах = / Л йЕ., х = ~ М (уч (Г) х (Т) ) = Тх (Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
