Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Но (Ву, у) = (А*у, у), и потому О(В)«Г, где через Г обозначено множество ь) тех элементов у из О(А), для которых квалратичная форма (А*у, у) принимает вещественные значения. Обратно, если Ь вЂ” линейное многообразие, удовлетворяющее условию О(А)«Ь«Г, ') Заметим, что множество 1' не образует линейного многообразна. Збг слГктплльиья тсопня ОПГРАТОРов (гл.
тм то оператор В, определенный па 1. равенством Ву — А-у, !!(А+)В) х !!г--= !! Ах !!г+ !! х !!г !!(А + гВ). !! .. !!. !!. откуда Пусть теперь ун =(А+гВ) х„п у„-«ув. Тогда /!у„— у,„!! — «О, а следовательно, и /!хе — х„,~! — »О прн и, гн — »со. Иэ полноты Н следует х„-»хе.
Итак, имеем х„~ 0(А), хе — «хе, Ах, = у„— гх„-» -» уе — 1хе. Так как А — замкнутый оператор, то хе~0(А) и Ахь=уз — гхв. Отсюда ув~ г'.и Замкнутость Е, доказана. Элеиент л тогда и только тогда ортогонален подпространству У о когда длв тобаго х ~ 0 (А) (е, Ах+ гх) = О (Ах, е)= — (х, Га), или т. е. когда е ~ 0 (А') и А'е = Гх. Следовательно, ортогональное дополнение к С; есть Аг; — надпространство собственных элементов оператора А", соответствуюнгих собственному значению г, Н= 1.г+ Ыи (4) Аналогично (б) Лемм а 1. Область оггределения 0(А") оператора А', сопряженного с залыгнутылг симмелгрпчесним оператором А, есть прямая сульта линейного .иногообрааия 0(А) и пары пространств Мг и Аг 0(А*) =0(А) ®Агг Я Аг г. (6) есть симметрическое расширенно оператора А.
Пусть Е; — линейное многообразно элементов вида у =. (А+!Е) х, где à — мпнмаа единица и х пробегает 0(А). Покажем, что Аг — надпространство. Прежде всего простым подсчетом получаем, что слмосопгяженныв Опнглтогы Пусть у — произвольный элемент из 0(А'). Рассмотрим элемент А*у — 1у.
В силу (б) А'у — гу = (Ах — !х)+ го. Учитывая равенства Ах= А*х н А*го= — гго, нз прелы- дущего соотношения получаем Следовательно, 1 у — х — — 1го= г ЕМ~ 2 1 Отсюда, полагая — 1го= г, получим у=х+г+г, (7) и требуемое разложение элемента у получено. Покажем, что такое разложение единственно.
Пусть у=х,+г,+г, (71) — другое разложение того же элемента у. Тогда (х — х,)+(г — г,)+(г — г,) = О. (8) Применяя к обеим частям равенства (8) оператор А'. получим А (х — х,)+ Е(г — г,) — 1(г — г,) = О. (9) Умножая (8) на Е и вычитая из (9), будем иметь 1А(х — х,) — ! (х — х,)) — 21(г — г,) =О. Слагаемые, стоянгие в левой части этого равенства. ортогональны, А(х — х,) — ((х — х,) ) 21(г — г,). Следовательно 21(г — г1) = 0 1 А*(у — х — — гг ) =1(у— 2 а) 1 =1(у х)+ го 1 2 =1(у — х)+ — 1( — 1) х) + го+ А ( — 2 (го) = ( — 1) го=((у — х)+ —,' г,= о— I 1 га = 7 (у — х — т 1го) .
2 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. ти или г = г,. Аналогично « = ги Отсюда н х = х,. Лемма полностью доказана. Вместо мнимой единицы 1 можно взять любое невещсственное число Х. Получим другое разложение: 0 (А*) = 0 (А) 111 М, Е М-. Подпространства МА и М- для разных Х будут, вообще говоря, различны. Однако можно доказать, что если Х лежит в верхней полуплоскости, то размерность МА совпадает с размерностью М,. и размерность Му — с размерностью М, Размерности надпространств М~ и М; называются индексами дефента оператора А, а надпространства МА и М А дефектными подпрост ранствами.
Лемма 2. Для того чтобы элемент у~О(А*) принадлежал множеству Г (си. стр. 361), необходимо и достаточно. чтобы в разложении (7) имело место ра вене т в о В самом деле, если у=х+г+г, то (А'у, у) = (А*х + А* (г + «), х+ (г + г) ) = =(Ах, х)+(Ах, «+г)+(Л*(г+г), х)+ +(А*(г+ г), «+ г). Так как (Лх, х) вещественно и (Ах, г+ г)+ (А*(г+ г), х) = =(х, А*(г+«))+(А'(г+г), х) как сумма комплексно сопряженных величин также вещественно, то 1щ (А'у, у) = 1щ (А' (г + г), «+ «). Далее (А* (г+ г), г + г) = (1г — 1«, г+ «) = =111 «11'+1(г, «) — 1(г, г) — 111 «11з.
ОАмосопяяжГнные ОпеРАТОРы 365 Снова 1(г, г) — 1(», г) как сумма комплексно сопряженных величин вещественно. Поэтому !ш(А*(г+ г), г+ г) =-1((( г!Р— 1!4!г) Отсюда следует утверждение леммы. Теорема 1. Всякому симметрическому расширению В замкнутого симметрического оператора А соответствуют два линейных многообразия Т,~Н,, Т,~И и изометрический оператор К отображающий Т, на Т,, обладающие свойствами: а) область определения О(В) оператора В состоииг из элементов вида у=к+»+и», (10) где х — любой злемент из О(А), а г — любой элемент из Тд б) значения оператора В на элементах вида (10) вычисляются по формуле Ву = Ах+1» — 1(7». (1! ) Обратно, если даны два линейных многообразия Т,~Юг, Т гсл7, и изометрический оператор К отображающий Т, на Т,, то оператор В, определенный на множестве элементов вида (10) формулой (11), есть симметрическое расширение оператора А.
Оператор В замкнут тогда и только тогда, когда замкнуты многообразия Т, и Т Пусть  — симметрическое расширение оператора А и уЕО(В). Как мы видели, О(В)с=О(А') и согласно формуле (7) у имеет вид (12) у=х+г+г, причем, так как у ~ Г. то по лемме 2 ~1г~~=~~Й (13) Когда у пробегает О (В), элемент г пробегает некоторое линейное многообразие Т,, а элемент г — линейное многообразие Т н При этом элементу г Е Т, может соответствовать лишь один элемент » ~ Т Р В самом деле, если У,=х,+г, + н Уг=,+,+, УР УгбО(В). СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл.
ч11 то у, — у, = х, — ха.+ О+(гг — га) Е 0(В)щГ, и потому в силу (13) 1~ г, — г,!!=!!О!1= О, т. е. г,= ля. Относя элементу г единственный соответствующий ему в силу равенства (12) элемент г, получаем изоморфное и изометрическое отображение Т, на Т Р Обозначая оператор, осуществляющий это отображение, через У, приходим очевидным образом к равенству (10), а тогда Ву = А'у = А* (х+ г+ Уг) = Ах+ гг — Ыг, и равенство (11) доказано.
Обратно, пусть ТгсМ1 и Т 11=)ч' 1 — два линейных многообразия и И вЂ” изометрический оператор, отображающий Т, на Т,. Оператор В, определенный на элементах вида (10) формулой (11), есть симметрическое расширение оператора А, так как линейное многообразие 0 (В) элементов вида (!О) удовлетворяет условию 0(В)~Г П 0(А') и на 0 (В) имеет место равенство Ву = А*у, Докажем последнее утверждение теоремы. Прежде всего заметим, что для замкнутости оператора В необходима и достаточна замкнутость многообразия Е1 элементов вида (В+ 1Е) у, у Е 0 (В). Необходимость установлена на стр.
362. У Для доказательства достаточности предположим, что 01 замкнуто, но В не замкнут, Замыкая В, мы присоеди- Р ним к 01 новые предельные элементы, н, следовательно, 1.1 также не будет замкнуто. Для любого у с 0(В) (В+ ГЕ) у — (В + 1Е) (х+ г+ г) = (А + 1Е) х+ 2Ег и, следовательно, 11= йг+ Тг. (14) САмосопРяженные ОпеРАТОРы дбт а индексы дефекта оператора  — через (т1', т'): т1 = й1а И1, тг = йа И 1, Ф где 121 и 12' 1 — дефектные подпространства оператора В.
Тогда юг=И~+ТО И,=М',+т О и. следовательно, если йаТ,=йаТ г=й то 1 1+ ' 2 2+ В саном деле, в силу формулы (4) И = Е;+ йгг. Используем (14): Тогда Ег=ьг+ Т1. и = ~., + и, '+ т,. С другой стороны, и=~1+но откуда йг = И;.+ТО йналогнчно доказывается равенство й( =йг +т где Ег — совокупность элементов вида (А+ 1Е) х. х ~ О(А). Так как Е1 замкнуто, то Л1 окажется замкнутым в том н только в том случае, когда Т, замкнуто.
Теорема полностью доказана. Предположим, что указанным выше способом мы расширим симметрический оператор А до симметрического оператора В. Спрашивается, каковы будут дефектные пространства и индексы дефекта этого расширенияу Те о р е и а 2. Пусть  — замкнутое симметрическое расширение замкнутого симметрического оператора А с областью определения О(В) = О(А>+т,+ и(т,). Обозначим индексы дефекта оператора А через (гпо т ): т, = 41а йгг, т, = йа М р СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !гл. ни Из этих равенств непосредственно вытекает соотношение между индексами дефекта.
Перейдем теперь к описанию так называемых манси«!ил»- ных си.нмелчричесних расширений симметрического опера- тора. Пусть оператор А имеет индексы дефекта (О, О). Это значит, что дефектные подпространства М; и М 1 состоят лишь из нулевых элементов и, следовательно, В(А*) =0(А). Но это означает, что А — самосопряженный оператор н сим- метрических расширений А не имеет.
Пусть индексы дефекта оператора А конечны (гин и1,). Предположим сперва, что тг=т =тчьО. Выбирая в М, и М, полные ортонормальные системы еи е,, ..., е „, е,, е,', ..., е', поставим в соответствие элементу Ю ы = ~ с„е»ЕМ1 элемент г= ~~'., с»еЯМ 1. Очевидно, это со« вЂ”..1 «=1 ответствие изометрично и изоморфно и порождает изометри- ческий оператор К отображающий все М, на все М Р В качестве подпространств Т, и Т, можно взять М, и М, соответственно, О(В) = О(А)+ М, + У(М,). Оператор В будет иметь индексы дефекта (О, О) и, следовательно, будет самосопряженным расширением симметрического оператора А. Таких расширений существует бесконечное множество.
В самом деле, элеменгу П! х= ~~'., с„е» «=1 мы можем поставить в соответствие элемент т г(т) = ~ с„е"е', «=1 т вещественно, и более общо элемент ы 'чт ы„ я(ти та, ..., Тж)= .г~ с»е е». « =! Получим, таким образом, континууи изометрических операторов (г', „„,, и соответственно этому континуум само- 1 "2 "' Ы сопряженных расширений.
эп сАмосопРяжГшняе ОпеРАТОРы йбй Пусть оператор А имеет конечные и не равные индексы дефекта (тн т.), например т, ) тг. Выбирая в И; первые тг элементов ортонормального базиса и обозначая порождаеиое ими надпространство через ТР мы берем в качестве Т, все И Р Тогда О(В) = В (А)+ Т, + (У(Т;) = В (А)+ Т, + И Р Симметрический оператор В имеет индексы дефекта(т,— тг, 0) и дальнейших симметрических, и тем более самосопряженных, расширений не допускает.
Такой симметрический оператор, у которого олин из индексов дефекта равен нулю, а другой отличен от нуля, называется максимальным. Саиосопряженный оператор (у него оба индекса дефекта равны нулю) называют иногда гипермаксамальным, Если оператор А имеет индексы дефекта (т, со) нли (со, т), то способом, аналогичным предыдушему, можно построить расширение А до максимального оператора; самосопряженных расширений у оператора А не сушествует. Пусть, наконец, оператор А имеет индексы дефекта (Оо, со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
