Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(1) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧП Рассмотрим функционалы ,У„(х) = (Ах, х„) = (х, Ах„). Они адднтивны и однородны и, кроме того, ~Уь(х)) = )(Ах, х„)( (~(Ах)~(~х„!(=~(Ах!(= с . В силу теоремы Ванаха — Штейнхауса нормы этих функционалов будут ограничены в совокупности: )( У„(( ( с. Но ~)~„))=))Ах„(); отсюда ЗАх„()(с, что в силу (!) невозиожно. Полученное противоречие доказывает теорему. Мы будем теперь рассматривать операторы А, определенные на линейном многообразии й(А)<=Н, всюду плотном в Н, со значениями в том же пространстве и обладавшие на О(А) свойством линейности: А (ах+ ру) = аАх+ РАу для любых х, у~,0(А) и любых чисел а и б. Множество О(А) называется областью определения оператора.
Множество В (Л) = АО (А) называется множесюаом значений оператора. Два оператора А и В считаются рваными или соаладаюлгими, если О(А) = О(В) и Ах=Вх для любого х~й(А). Если же О(А)~О(В) и Лх=Вх для любого х ~ О (А), то оператор В называется расширением оператора А, а оператор А — сужением оператора В. В этои случае будем писать А~В. Пусть А и  — два линейных оператора с областями определений О(А) и О(В). Если А=О(А)ПО(В), то на элементах линейного многообразия Л имеют смысл оба оператора.
Оператор (А+В) х =Ах+Вх, х~С, называется суммой операторов А и В. Многообразие б всегда содержит нулевой элемент и, следовательно, не пусто, но нетривиальной сумма операторов будет, лишь если С содержит элементы, отличные от нулевого. Это же замечание относится и к последуюшим определениям. Пусть теперь в О (А) сушествует подмножество О такое, что Ахай(В) для любого х~й. Тогда на О определено зй НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЯНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 351 произведение оператора В на оператор А (ВА) х = В(Ах). Аналогично определяется н произведение АВ.
Если оператор А отображает й(А) на й(А) взаимно однозначно, то существует обратныд оператор А с областью определений й(А) и областью значений О(А). Может случиться, что Й (А) = Н и что обратный оператор А будет ограниченным, хотя А — неограниченный линейный оператор. Может быть и наоборот: ограниченный линейный оператор А имеет неограниченный обратный оператор. Таковы, например, операторы на стр. 161, если рассматривать их как операторы в пространстве г'.г(0, 1]. Сопряженный оператор.
Пусть А — линейный оператор. определенный на линейном многообразии О(А), всюду плотном в Н. Если скалярное произведение (Ах, у) для данного фиксированного у и любого х ~ О (А) может быть представлено в виде (2) (Ах, у)=(х, у*), то будем говорить, что у принадлежит области определения В(А") оператора, сопряженного с А, а сам сопряженный оператор определим равенством А"у = у". Так как О(А) предполагается всюду плотным в Н, то равенством (2) элемент у* определен однозначно. Без труда проверяется, что О (А*) — линейное многообразие и что А' — линейный оператор. Заметим, что область определения сопряженного оператора всегда не пуста — она заведомо содержит нулевой элемент. Пример. Пусть Н= Ег (6), где 6 — ограниченнав измеримая эг область на плоскости хбу.
Рассмотрим оператор А =— дхд ду~ определенный на всюду плотном в 6 линейном многообразии функций ф (х, у), непрерывных вместе с частными пронзводнымн до бго порядка включительно и обращающихся в нуль в некоторой граничной полосе области 6 (своей для каждой функции). Так кзк О(А) всюду плотно в г.,(6), то существует сопряженный оператор А*.
Вспоминая определение, данное на стр. 98, получаем, что СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 352 ~гл. Рп О(А*) есть совокупность функций ч(х, у), имеющих обобщенную производную Пго порядка, н А' является оператором обобщенного два дифференцирования А*к = дх" дуп Линейный оператор А, определенный на 0 (А), называем симметрическим, если лля любых х, уЕО(А) выполняется равенство (Ах, у) =(х, Ау).
Для случая ограниченных операторов понятие симметричности оператора совпадает с понятием самосопряженности. Для неограниченных операторов, как увидим ниже, это — разные понятия. Как и в случае ограниченных операторов, для симметричности А необходимо и достаточно, чтобы (Ах, х) было вещественно для любого хЕО(А).
Ясно, что для симметрического оператора включение у~О(А) влечет ва собой уЕО(А*) и что для уЕ 0(А) А*у = Ау. Поэтому А"~А, т. е. для симметрического оператора А сопряженный с ним оператор является расширением А. Нетрудно проверить, что если А~В, то В*~А'. Теорем а 2. Если оператор А существует и имеет, так же как и оператор А, всюду плотную область определения„то (А") существует и равен (А ). Пусть уЕО((А )).
Для любого хай(А) имеем (х, у)=(А Ах, у)=(Ах, (А ) у). Если прочесть это равенство справа налево, то увидим, что (А 1) у Е 0 (А ) и что А (А ) у=у. (и) Аналогично. если х ЕО(А ), у ЕО(А), то (х, у)=(АА х, у)=(А х, А у), откуда, как и раньше, следует, что А у ~ 0((А ) ) и (А ')Ау =у. (4) а 6] неОГРАниченные линейные ОпГРАТОРы 353 Из равенств (3) и (4) вытекает, что (А') существует и равен (А ) . Можно доказать, что (ХА)' =ХА', (А+ В)*~А'+В*, (АВ)':эВ'А*. Остановимся теперь на вопросе о перестановочности двух операторов. Пусть А — линейный оператор с областью определения 0(А) и  — ограниченный линейный оператор. Говорят, что В перестаноеочен с А или коммутирует с А, если из х~0(А) следует ВхЕ0(А) и АВх=ВАх. В более общем случае перестановочность двух неограниченных операторов мы определим ниже.
Введем еще одно определение. Пусть А и  — линейные операторы и пусть оператор А перестановочен с каждым ограниченным оператором, перестановочным с В. Будем говорить в атом случае, что оператор А сокол- мутирует с оператором В. Замкнутые операторы. Замыкание оператора. Неограниченный линейный оператор А не обладает свойством непрерывности. Из того, что х„-эхо. вообще не следует, что )Ах„) стремится к какому-либо пределу.
Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности. Пусть А — линейный оператор с областью определения 0(А). Если из условий )х„) ~0(А), х„— я хо, Ах„— ьуз следует, что Ао Е 0 (.4) и Уо = '4 хо то оператор А называется заткнутым. Примером замкнутого оператора может служить оператор, сопряженный с произвольным линейным оператором. В самом деле, пусть У„Е0(А') и У„-Р Уо 4'У. -~ ео.
Для любого х ~ 0(А) имеем (х, А*у„)=(Ах, у„) — «(Ах, уо). СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1Гл. Рн С другой стороны, (х, А*у„)-+ (х, з ). Следовательно, (Ах уоу = (х яо) для любого хааа)(А). Отсюда вытекает, что уз~0(А*) и А"уо= го Примером незамкнутого оператора является оператор частного дифференцирования, приведенный на стр. 351. Будем говорить, что оператор А допускает замыкание, если существует замкнутый оператор В, являющийся расширением оператора А (т.
е. ВлА). Среди различных замкнутых расширений данного оператора А, допускающего замыкание, можно выделить так называемое минимальное замкнутое расширении, которое содержится во всяком другом замкнутом расширении А. Минимальное замкнутое расширение оператора А называется замыканием А и обозначается А. Существование замыкания и его единственность дла любого оператора, допускающего замыкание, мы доказывать не будем, а ограничимся лишь случаем симметрических операторов. Те о рема 3. Для всякого симметрического оператора А можно построить замыкание А. Обозначим через О(А) совокупность элементов х~Н, для которых найдется последовательность (х„) ~О(А) такая, что хь — ь х, Ах„-ь у, где у — некоторый элемент из Н. Очевидно, г) (А) — линейное многообразие и гУ (А) о=.О (А).
Для х С О (А) положим Ах=у. Это определение Однозначно. Пусть (х„'1~0(А) — другая последовательность, такая, что х„'-ь х, Ах„'-ь у'. эм НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 35$ Тогда для любого Ге ~ 0(А), используя симметричность опе- ратора, получим (и, у — у') =1нп (и, Ах„— Ах„') = =1пп(АГг, х„— х') =(А/г, х — х) = О. и Так как 0(А) всюду плотно в Н, то отсюда следует, что у = у'. Оператор А. очевидно, линейный и является расширением оператора А.
Оператор А — симметрический, так как для любых х, уЕ0(А) (х, Ау)=йш(х„, Ау„)=Иш(Ах„, у„)=(Ах, у). и и Оператор А замкнут. В самом деле, пусть (х„1т0(А). х„-ьх, Ах„-+у. Так как хи~0(А), найдется элемент х„'~0(А) такой, что )(х„— х„'~~ ( —, (( Ах — Ах„'(! ( —. Но тогда х„' — ьх, Ах„'-+у и, следовательно. хЕ0(А) и Ах = у по определению множества 0(А) и оператора А. То, что А является минимальным замкнутым симметрическим расширением оператора А, вытекает из того, что всякий элемент х~0(А) должен принадлежать области определения любого замкнутого расширения оператора А. Отсюда же вытекает и единственность замыкания А. Замечание.
Покажем, что если А — замыкание симметрического оператора А, то (А)'=А'. Так как АшА, то (А)*~=А* и надо доказать обратное включение. Пусть у~ 0(А') и х — любой элемент 0(А). Имеем (Ах, у) = Иш (Ах„, у) = Ип1 (х„, А"у) = (х, А'у). Это равенство показывает, что у~0((А)') и (А)*у= А"у, т. е. А"~(А)'. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. 711 График оператора. Для целей дальнейшего изучения сопряженного оператора и операции замыкания введем понятие о графике оператора. Рассмотрим два экземпляра гильбертова пространства Н, и пусть Й вЂ” прямая сумма этих пространств, т. е. совокупность пар г = '[х, у), х Е Н, у ~ Н с обычными определениями линейных операций.
Определим, далее, для гп г,~ Й скалярное произведение этих элементов с помощью равенства (г[ гг)=(х[ хг)+(у1 уз). Легко проверить, что все свойства скалярного произведения имеют место. Выполняются и все остальные аксиомы гильбертова пространства. Олеаовательно. Й также будет гильбертовым пространством. Если в пространстве Н задан линейный оператор А, то множество 9г(А)~Й элементов вида (х, Ах1, х Е 0(А), назовем графиком оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
