Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Кроме того, 1с(1)-«1 в смысле точечной сходимости при г — «+О. Сделаем еще одно допущение. Будем предполагать, что если мы, отправляясь от начального значения хе, определим решение х(1) в точке 1=Фа, а аатем, отправляясь от х(1) как от начального значения, найдем х(1) для 1) 1з, то мы придем к тому же результату, что и при нахождении х(1), отправляясь непосредственно от хе.
Применительно к оператору )с(1) зто будет означать, что )[ (1 — (е) )1 (~з) = 1[ (1) й (1,) Й (1з) = й (11 + ФД или, иначе, (3) х„, =С(Л()х„л=О, 1...„3( — 1. (4) хз задано, длЯ любых Фн (з) О. Сделанное предположение выполняется в большинстве случаев, важных для приложений, и вытекает из принципа научного детерминизма, утверждающего, что последующие состояния физической системы вполне определяются ее предыдущими состояниями.
Можно сформулировать условия, какие должны быть наложены на оператор А, чтобы равенство (3) имело место. Об этом см., например, в [35[. Введем теперь понятие о конечноразностной аппроксимации задачи. ПУсть хн хю ..., хА, — система точек пРостРан- стваЕ, которые мы принимаем аа приближенное значение функции х (1). Именно, полагаем, что х„- х (и бс), а = 1, 2, ..., гч'; Ж Ы= Т. Предположим. что для определения этих точек мы имеем некоторое операторное уравнение, которое для простоты будем считать связывающим лишь две точки с соседними номерами. Так как х„является приближенным значением х(ипг), то естественно предполагать, что оператор, входящий в уравнение, свяаывающее х„и х„+н аависит от Ы. Будем, кроме того, предполагать, что уравнение можно разрешить относительно х„+н Тогда мы приходим к рекуррентному соотношению аз! РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 427 где С(Лг) — ограниченный линейный оператор.
которое будем называть нонечноразностной аппроксимацией задачи 1) — (2). Так как х ( (л+ 1) ЛЕ) — х (и Ле) х +~ — х лг лг С (Лг) х„— х„С (ЛГ) — 7 с (лг) — 7 их то должно аппроксимировать — . Но, с другой лг иг стороны, в силу (!) их — =Ах, иг и, следовательно, для того чтобы соотношения (4) действительно аппроксимировали краевую задачу, необходимо, чтобы с (лг) — 7 выражение в некотором смысле аппроксимировало оператор А.
В соответствии с этим будем говорить, что конечноразностная аппроксимация (4) задачи (1) — (2) удовлетворяет условию согласованности, если // ( — А) х (г) ~ -ь О при Лг-+ О равномерно по 1, О:( 1 ( Т, иа некотором множестве Л точных решений х (1), причем множество начальных аначений х„, соответствуюших решениям х (1) ~ Л, лежит всюду плотно в Е. Пусть х„+,—— С(Л1)х, й=О, 1, 2, ..., И вЂ” 1, хе задано (4) есть конечноразностная аппроксимация краевой задачи (1) — (2).
Применяя формулу (4) последовательно для й = О, 1, ... .... и — 1. получим х„= [С (Лс)]" х . (5) Так как эта точка х„является приближенным значением при г=пЛг точного решения х(г)= гс(г)хе, то мы вводим следувшее определение: конечноразностная аппроксимация (4) вадачн (1) — (2) называется сходлгцейсп. есаи для любой 428 АнАлиз В линеиных пРостРАнстВАх 1гл. Чн» последовательности [ь»г], стремяшейся к нулю. и любого хесЕ 1 [С (Ь»Г)]» хз Д (1) хз 1 -«О ~ ГС «Ь»ЯА»' хе — Й (го) хо ~-«О, ~С(Ь»,й)1»' хе ~-«[] й (ге) хе[] = с.
откуда прь й-«оо и п»Ь»г-+г, О <с (Т. Конечноразностйую аппроксимацию будем навивать устой. визой, если для любой последовательности «Ь»г]. сходящейся к нулю, множество операторов [С (Ь»г)]", и = 1, 2....; О ~, и Ь»й < Т, ограничено по норме в пространстве операторов. Если конечноразностная аппроксимация устойчива, то все приближенные значения х„ точного решения х (и Ь») ограничены в совокупности для любого фиксированного начального элемента хе. Имеет место следующая фундаментальная теорема.
Т е о р е м а (Л а к с а). Пусть дана корректно поставленная задачи (1) — (2) и ее нонечнораэнослчная аппроксимайия (4), удовлетворяющая условию согласованности. Для того чтобы ионечноразностная аппронсимаяия была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была устойчивой. Необходимость. Пусть ЦС(Ь Г)]»], где Ь Г «О, О (пЬтт (Т, есть неограниченное множество проетранства (Е-+ Е). В силу замечания к теореме Банаха — Штейнхауса найдутся подпоследовательность «[С (Ь»»)]~»« и злемент хе такие, что «[С (Ь»Г)]»» хД будет неограниченной последовательностью элементов пространства Е. Так как О ( и„ Ь с < Т.
то из последовательности [и» Ь»г] можно выделить подпоследовательность «и», Ь»,г«, сходящуюся к некоторому числу геЕ [О, Т]. Будем, следовательно, иметь 1]1«С«Ь»я~ хе[][-+Со, п»~ Ь»,.г-«го. С другой стороны, в силу предположенной сходимости аппроксимации % 11 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 429 где с — конечное число. Получили противоречие.
Следовательно. ЦС Л~г)["[ — ограниченное множество в пространстве операторов, и необходимость доказана. достаточность. Пусть х(г)= й(Г)хр — одно из точных решений краевой задачи, принадлежащее многообразию Е, фигурирующему з определении согласованностз.
Тогда для любого е > 0 найдется Ь, > 0 такое, что )~ ' — А) х(Г)[[<— при 0 < ЛГ <б, и любых Г из [О, Т[. Далее, по определению точного решения имеем [[ (~ [ ~~) (~) — Ах (Г)~<— при О < ЛГ < ба и равномерно в [О, Т[, или, учитывая, что х(а+ ЛГ) = й(Г+ЛГ) хр= й(ЛГ) й (г) хр= й(ЛГ) х(г), И"'" '-").(')И при 0 < Лг < бр и равномерно в [О, Т[. Отсюда при 0 < ЛГ <б=ш[п(б,, йа) [[[С(ЛГ) — й(Лг)[х(Г)[[ <ЕЛГ, (6) и притом для всех Г из [О, Т[ сразу.
Пусть хр — начальный элемент. определяющий рассматриваемое решение х([). Положим ар = 1[С (ЛАГ)[ А й (ЛА ЛМ хр где [ЛАГ[ — последовательность, сходящаяся к нулю, и пр ЛАГ -ь Г. Простым подсчетом с использованием равенства й (Г,) й (Га) = й (Г1 + Га), ГР Га > О убеждаемся, что яа-1 ([С(М1™"'й [(л,— (Ач+ 1)) ЛАГ]— и — [С (ЛАГ[ й [(ла — ш) ЛАГ[' х = ль-1 [С (Л*Г)[ [С (ЛАФ) — й (ЛАГ)[ й [(ЛА — (л1+ 1) ) ЛА[[ хр. р 430 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ.
УНТ Отсюда л,1-1 []ад][ < ~ [С (Д„1) а" ][[С (Д„1) — й (Д 1)] Х хй[(; — (ю+[)ДАТ]ме]]. (7) В силу предположенной устойчивости аппроксимации найдется такая константа К. что [С(Д,Т)][ <К. (8) Тогда (6) и (8), примененные к (7), дают лл-1 [[яа]] ( ~~.", Ке ДАТ =Кепа ДА$~(КеТ. ли=в Так как е можно выбирать произвольно, то отсюда следует, что [[гл)] -ьО при ДАЮ-РО, паДА1-ь1, Далее будем иметь !1 ([С(Д„Т)1 — й(1)) хе]] < ] [[С (Д„1)] л — й(а Д 1)] х [-[- +[][й(пл ДАТ) й(1)] хо[! = [[ал]!+ [][й(пАДАТ) й(1)] ло0. (9) Рассмотрим последнее слагаемое.
Имеем й (ил ДАТ) — й (1) = [й (т) — 1] й (Т) при т = а„Д 1 — 1) О, — [й(г) — 1]й (1) при т=1 — и, Длс) О. 1= пл ДА1. В обоих случаях при илДА1-ь1 [й (г) — 1] -ь О, а й(Т) или й(7) ограничены. Поэтому при 1с, пАД 1 [][й(вл ДАТ) й(1)]"'ое[! ~< !]й(1)[! [][й(т) 11 ло]] (™ ([О) где е — ь О при т-» О, и М= апр ][й (1)[[. ФЯ адзностиыв сквмы н твоявмл ллксл 431 Аналогичная оценка имеет место при 1) а»Л»1. Следовательно. из (9) и (10) получаем [[[[С(Л„1)["» — й®[ х4.4 [[л»[[+еМ' и так как оба слагаемых справа могут быть сделаны сколь угодно малыми при а»Л»г-ьг.
то (С [(Л»1)[ "» — гс (1)~ хе-ь 0 на элементах хе, являющихся начальными значениями решений многообразия Е. Если х — произвольный элемент пространства Е. то можно написать 1[С(Л г)[ — гс(г)1 х = [[С(Л г)[ — )с(г)1 х + + [С(Л»1)["»(х — хе) — Я(Ю) (х — х ), и легко видеть, что все три слагаемых справа можно сделать как угодно малыми, первое в силу только что доказанного.
а два других потому, что элементы хе лежат всюду плотно в Е и множества [[С(Л»г)[ "») и [)с(1)) ограничены. Итак, [[С(Л»1)["» — й(1)) х- О прн Л»8-ьО. п»Л 1 — »г всюду в Е, и достаточность доказана. Как пример применения теоремы Лакса рассмотрим реше- ние конечноразностным методом задачи Коши для уравнения теплопроводности: лг — — с' д ",, 0 <»ь < и, О ~<1 < Т, и (О.
1) =и(а, Ю) = О, и(в, 0) =ф($). (11) (1 2) За основное банахово пространство возьмем пространство Се[0, а[ функций. непрерывных на отрезке [О, и[ и обращающихся в нуль на концах этого отрезка. Тогда непрерывную функцию и (в. 1) двух переменных, где и (О, г) = =и(а, 1)=0, можно рассматривать как однопараметрнческое семейство и, (5) = х (1) элементов пространства Се [О. а[. и краевую задачу (11) можно записать в виде их — = Ах, х (0) = ф, иг 432 1гл, щп АнАлиз В линейных НРостРАнствлх где А — оператор дифференцирования лз А =с' —, л32 ' определенный на множестве )О(А) дважды непрерывно дифференцируемых функций пространства Се[0, а[, обращающихся при $=0 и $=а в нуль. В качестве аппроксимирующей краевой задачи выберем систему дг (лц)2 (13) /=1, 2, ..., у — 1, а=1, 2, ..., Л(, /Л'=а, МЛГ=-Т, и краевые условия кш) = и!ю=О во =~у(/Лт) о (!4) х„+, — — С(Ы)х„, х =<р, л = О, 1, 2, ..., И вЂ” 1.
(!3) Задача (11). а следовательно н (12), как известно, корректно поставлена. Если еше заметить, что для достаточно гладких функций разностные отношения сходятся к производным равномерно в прямоугольнике 0 ($ (а, 0 (! (Т. то для таких функций ~( — А) х(~)~ -эО при Ы вЂ” РО и, следовательно, условия согласованности также выполняются. Решения системы (13) определены первоначально лишь в узлах решетки, т. е. в точках вида (г'Л3, иЛ(). Линейной интерполяцией мы доопределим нх во всех остальных точках прямоугольника 0(з (а, 0(С (Т и обозначим зги решения и(й, !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
