Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Снова й($. пЫ) будем рассматривать как элементы х„пространства Се[0, а[ и считать их приближенными аначениями решения х(г) в точке ! =иЛЛ Если предположить, что Л$ и Ы не независимы, и считать, что ЛС = д (Лг), где д(а)ьО при а-эО, то аппроксимирующую краевую задачу можно записать в виде рекуррентной формулы ая РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 433 Покажем, что для решений разностной краевой задачи имеет место принцип экстремума: Наибольшее (наименьшее) значение решения ео енутренних точках решетки не может прееосходилгь (бьешь меньше) наибольшего (наименьшего) значения решения е граничных точках. Для доказательства предположим обратное. Пусть )ь = и".' АЧ вЂ” максимальное значение решения. принимаемое во внутренней точке, причем будем предполагать, что ае и уе — наименьшие значения индексов а и /, для которых и" = Гь.
Написав уравнение (13) для этих значений индексов. получим Аг = (А3) Но это равенство невозможно, так как его левая часть в силу и". > ил-' у. Ь положительна. а правая в силу иьэ ) ия. и и'ь ) и". м ь-г отрицательна. Полученное противоречие доказывает принцип экстремума. Из принципа экстремума следует, что функции и (е, г) принимают наибольшее и наименьшее значения на границах прямоугольника О < Е < а, О < г < Т. Если теперь ааписать равенство (1б) в виде х„= [С (Лг)[" ф, то согласно только что сказанному имеем анр[х„(~)[ = [[[С(Ы)[" ф)[ < зцр [ф ('-) [ =- ([ф',[, $ откуда получаем, что [[[С(гьг)[" [[ <1 для любых цг и и.
Следовательно, аппроксимация устойчива. и согласно теореме Лакса отсюда вытекаег, что решения разностной краевой задачи сходятся . к решению краевой задачи для дифференциального уравнения. 434 АнАлиз В линенных пРОстРАнстВАх (гл. шп ф 3. Дифференциал абстрактной функции Определения. Пусть Е» и Ее — линейные нормированные пространства и у = ~(х) — абстрактная функция. определенная в Е„, с областью значений, расположенной в Е . По аналогии с определением дифференциала функции конечного числа переменных введем два определения дифференциала абстрактной функции. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Пусть Ь вЂ” произвольный элемент пространства Е, и предположим.
что существует линейный оператор (Е(Е - Е,) (вообще зависящий от х) такой, что у(х+И) — Г" (х)=(Ь+ы(х, Ь). (1) где 1 -ь 0 при Э'Ь)~ -ь О. (2) В этом случае (Ь называется сильным дифференциалом или дифференциалом Фреше функции Г'(х) в точке х, соответствующим приращению Ь аргумента, и обозначается йг'(х, Ь). Линейный оператор 1. вообще вависящий от х. обозначим у'(х). Тогда оу(х. И)=у'(х)Ь, у'(х) ~(Е»-РЕ»). Оператор у'(х) можно рассматривать как функцию от х, определенную на множестве точек (х)г=Е, в которых у(х) дифференцируема, со значением в (Е„-ь Е„).
Назовем )'(х) первой сильной производной или производной Фреше функции /(х) в точке х. Равенство (1) можно записать в виде У (х+ И) — ~ (х) = У' (х) И+ о ( ~~ Ь ~~ ). (4) Первое слагаемое правой части этого равенства есть линейная функция от И, аппроксимирующая у (х+- И) — у (х) с точностью до величин порядка малости высшего, чем 11'Ь 11. Слабый дифференциал (дифференциал Гаго).
Слабым дифференциалом функции г(х) в точке х называют выражение лу~, Ч= ~су<*Ч.а~! ий АЦЕТ»=.А~*' йе Зз) ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 430 в предположении, что предел, стоящий в правой части равенства н понимаемый в смысле сходнмости по норме, существует е).
Примеры. 1. Пусть Ех Ее=С[а, Ь! и ь у(х) ! К(й 5) х (5, «(5)) Из, а где ядро К(т,з) нЕпреРывно в квадрате а<А 5<Ь и д(и, о)— функция двух переменных, определенная в полосе а < и < Ь, — со < о < +со н непрерывная в втой области. Тогда У (х) есть абстрактная функция, определенная на С [а, б), со значениями в том же пространстве. Допустим, что функция л (и, о) не только непрерывна, но н имеет частную производную а (и, о) равномерно непрерывную в полосе а<и <Ь, — со<о<+со. Тогда У(х) будет сильно дифференцируемая функция. В самом деле, для любой функции Ь (5) Е С [а, Ь! имеем ь у(х+Ь) — у(х) ~ К(й 5)л(5, х(5)+Ь(5)) ~тз— ь — [ К (й 5) Е (5, х (5) ) аза ь ~ К (й 5) [л (5, х (5) + ь (5) ) — л (5, х (5) )! г(5 а По теореме Лагранжа х (5, х(5)+Ь(5)) — л(5, х(5)) А' (5, х(5)+0(5) Ь(5)) Ь(5), где 0 <0(5) <1.
Далее имеем Юь (5, х(5)+0(5) Ь (5) ) = Я„'(5, х(5))+а(5, х(5), 0 (5) Ь (5)) еь) *) Иногда слабым дифференциалом называют от иЬ вЂ” уж г-ьз где предел понимается в смысле слабой сходнмости злементов. Заметим танже, что дифференциал Гата однороден, ио здднтнвность его не предполагается. «*) и(5, х,и) л,'(5, х+и)-а„'(5, х).
430 АпАл!!3 В л!и!еппых пРОстРАпстВАх [гл. УП! где при [[ И [[-э О, т. е. при И (5) -РО равномерно на [а, Ь[ а(з, х(з), 0(з) И(з))-+О также равномерно иа [а, Ь), так как функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области а <з < Ь, [х [ < с„[и [ < сз, равномерно непрерывна в этой области. Поэтому У(х+з!) — У(х) = / К(й 5) да(5, х(з)) и(з)лз+ +ГК(й 5) а(з, х(з), В(з) И(з)) И(з) Лз=(И+о(х, И), а где Ь гИ=~ К((, 5)л,',(5, х(з)) И(5)из а е(.к, И) = ~ К(й 5) а(5, х(з), 0(з) И(5)) И (5) Лз. а Прп этом ! ык!!~-.-/ !" как с,*м емьс!!ьа!к./к )а < шах [К (й 5) [ Ц и (з, х (з), 0 (5) И (з) ) Ц (Ь вЂ” а) Ц И Ц = г Ц а (з, х (5), 0 (з) И (5)) Ц Ц И Ц, и потому Цо(х, И) Ц < с Ц а (з, х (з), 0 (5) И (5) ) Ц -а О при ~ И Ц -и О.
ледователыю, у (х) дифференцируема по фреше и э 4ту(х, И) — ~ К(й 5)й (5, х(5))И(з)аз ° а 2, Рассмотрим в пространстве С'[а, Ь) непрерывно дифференцируемык функций у(г), а<к< Ь, с нормой Ц у [[ Шад ( [ у (г) [, [ у' (Г) ) ) с функционал простейшей вариационной задачи У(у)= ~Р(йу(З),у'(З))В. а Ф 3! дыееввеицилл лвствлктноп эвикции ау Оба определенна дифференциала отвечают обоим взвеси~ни определенннм вариации. Аналогично обстоит дело н с другими функционалами варна- цнонного исчисления.
Само определение дифференциала абстракт. ной функции естественно возникло в варнацнонном исчислении. Теорема 1. Если существует сильный дифферен- циал Ц(х, Ь), то существует и слабый 01(х, Ь) и Вг (х, Ь) = г(У(х, Ь), В самом деле Г (х+ И) — у (х) = бу (х, ГЬ)+ ы (х, И) = = Гйг (х. Ь)+ю(х, ГЬ), где в силу (2) !!ю(х, И) !!=о(!!И!!)=о(~Г~!!Ь!!)=о(Г) есть величина порядка малости высшего, чем г при Г-ьО.
Поэтому е ~ .( .'ч при Г-+О. Итак. ОУ(х. Ь)=!!ш ~( + У ) =бУ(х, Ь). причем мы доказали н сушествование слабого дифференциала и его равенство сильному. В определение 1)Г(х. Ь) не входит требование его линейности относительно Ь. Если же это имеет место, то СЧ(х, Ь)=И=У'(х),Ь, где у'(х), есть линейный оператор У'(х), Е(Е„-ь Е„) относительно Ь. Назовем У'(х), слабой производной функции г"(х) в точке х. Теорема 2. Если в.
шаре !! х — хе!! < г существует слабый дифференциал Щ(х, Ь). равномерно непрерыв. ный по х и неирерывный по Ь. то в нем существует и сильный дифференциал б((х, Ь), причем с!у (х, Ь) = 0У (х. Ь). В самом деле, при (!Ь!! <г(х). где число г(х) — это радиус шаровой окрестности точки х. принадлежашей шару азв АЛАлиз В линейных пРОстРАнстВАх 1гл. ып 11 х — ха 11 ( г. во всех точках х, = х+ гь, О (г (1, существует дифференциал О/(х.
Ь). Так как г)/( Ь) 1. /(хг+ Агл) — /(х~) ы-+о АГ х,+ АГЬ = х+(/+ ЬГ) Ь = х„,н то О/(хн Ь) = 1нп „= —,/(х,) = — /(х+ ГЬ). /(х + ) — /(х,) Н Ы -ьо АГ л'г Локажем адаптивность дифференциала О/(х, Ь) по аргументу Ь: О/(х, Ь,+Ьв)=Р/(х, Ь,)+1)/(х. Ьт). (5) Заметим прежде всего. что в силу предположенной непрерывности функции О/(х, Ь) = — /(х+ гЬ) имеем /(х+ТЬ,) — /(х)= / -„-/(х+ТЬ,)с(т= о = ~ Щ(х+ТЬИ Ь,)ст=й/У/(х, Ь,)+гор (б) о где ге, = ) 10/(х+ тьн ь,) — э/(х. ь,)) г(т. Аналогично /(х+ 1(Ь + Ьф) — /(х)= 1Р/(х, Ь1+Ьт)+геа (7) где гав= ~ (()/(х+т(Ь,+Ь ), Ь,+Ьа) — А)/(х. Ьг+Ьа)]~тт.
о /(х+ г (Ь1+ лт)) — /(х+ гЬг) = г А)/(х Ьа)+ газ (8) % э1 ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 439 где оз — — ! (ОУ(х+Иг+ТЬТ, Ьа) — 0~(х, Ьа)! Агт. О Так как 07'(х, Ь) непрерывен по аргументу х. то для произвольного е 0 прн достаточно малом 8 ) 0 и О ~(т ( Е У'( + ! !) — 7( !)!! 3 ° !!ОУ (х+т(йг-+Ьз), Ь!+Ья) — ОУ(х, Ь,-+Ь,) !!( —, + г+ з' з) 7 ' ' з)!! 3' Позтому и аналогично 3 ' !! з !! 3 Из (6). (7), (8) следует 0 = (! (х+1Ь ) — 7(х)]+ (/(х+~(Ь!+Ь )) — г (х+И!)!— — (7'(х+1(Ь!-+ЬД) — 7 (х)! = — р ! 07 (х, Ь,) + Оу' (х, Ья) -О/ (х, Ь, + Ь,))+ о, + оа — о,.
Отсюда 1 07" (х. Ь,)+ О 7 (х, Ь,) — О! (х, Ь, + Ь,) = ! (о, + оа — оз), и, следовательно !!07'(х, Ь,)+О/(х. Ьз) — ОУ(х, Ь,-!-Ь,)!! ( ! (!! ! !!+!! оз !!+!!оз !!) ( е. Так как е выбрано произвольно, то !!ЕЧ(х, Ь,)+07(х, Ьз) — Щ(х, Ь,+Ь)!! =6 и (5) доказано. Так как, кроме того, 07" (х, Ь) непрерывен по Ь, то он есть линейный и ограниченный относительно Ь 440 АИАлиз В линейных пРОстРАнстВАх [Гл.
Ттн оператор: ААу(х, Ь)=у'(х),Ь. Так как у)у(х, Ь)=у'(х),Ь равномерно непрерывен отпоснтельно х, то у'(х), равномерно непрерывен относительно х. Докам!ем теперь, что )г (х+ Ь) — У (х) = У' (х), Ь+ о ( й Ь й ). (4') Тогда А)у(х, Ь), как главная линейная относительно Ь часть приращения у'(х+Ь) — у'(х), будет совпадать с !ту(х, Ь). Имеем у (х+ Ь) — У(х) =* ~ -~ У (х + ТЬ) !тг = е 1 1 У о!1-~.о.Цл ~ У!'1*.1-щ,ю)), Т 1;Р.Т, о о (й) где Вследствие равномерной непрерывности у' (х), имеем при о~<с <) ~)У'(х+ТЬ),— У'(х),1 ~„а(йЬй)-ьО при й'Ь(~ — э О.
Отсюда 1 !! !!«~ у!г! -!- ч,— ! ! цю !а!!< о 1 ..-. /'~~у'(х+ГЬ),— у'(х),)~си!!Ь1~ <а(!(Ьй)~!Ь!1, е и равенство (4) доказано. Таким образом, А)У (х. Ь) = 11,У(х, Ь), У'(х), = У'(х), что и требовалось доказать, 441 В дальнейшем, не оговаривая этого особо, мы для всех рассматриваемых дифференцируемых функций г" будем предполагать, что О/ (х, Ь) = ау (х, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
