Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Заметим, что если в шаре !/х — хз/!(г имеет место неравенство !!~'(х)!! «<ь и хн хв принадлежат этому шару, то !!у'(х!) — у (х,) !! «(Е!! х, — х,!!. поэтому и так как !У (х!) !!«<~, г (хз) — у (х!) = ~ у (х!) (х! — х!)иг, о !! Г (хя) — у (х!) !! «( ~ !!,~ (х!) !! !! хв х! !!аг <Л !! хв — х! о ф 4. Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона Используя понятие производной оператора, можно доказать локальную теорему о существовании обратного оператора, аналогичную теореме о существовании функции, обратной к монотонной функции, имеющей производную, не обращающуюся в нуль.
ТеоРема 1. Пуста оператор у =у (х) определен е некоторой окрестности точки хв пространства Е и отпбражает эту окрестность в пространство Е . Предположим, что У(хо) = уо В самом деле, ввиду выпуклости шара !! х — х !! < г вместе с х, и хз этому шару принадлежит весь отрезок (х,), где х, = (1 — г) х!+ гхя = Г (х, — х,) + хо 0 «< г < 1; 44г АнАлиз В линвяных пгостРАнствлк [гл, шн 2. е[роизводнан )" (х) существует в рассматриваемой окрестности точки хе, ограничена в втой окрестности и непрерывна в ней. 3.
[У'(хе)! существует. Тогда в неноторой окрестности точки у существует обратный оператор х=)' (у), принимающий в точке уз значение хр и непрерывный в окрестности то~ки у. Рассмотрим уравнение х=А(х; у), (1) где А (х; у) = х — [у' (хз)! ' Д (х) — у) (2) и у играет роль параметра. Нетрудно видеть, что если при заданном у ~Е уравнение (1) имеет решение х, то г'(х) = у, и обратно. Для доказательства существования решения уравнения (1) примйним принцип сжатых отображений. При фиксированном у ~ Ег получаем А'(х; у) =)' — [У'(хо)! 'У'(х) = [У'(хо)! (У (хо) — Т (х)), откуда вытекает, что при [! х — хз[! (г [! А'(х; у)[! ( !! [У'(хз)! !! [! У'(хо) — У(х) [[-( у(г), где о(г) — ьО при г — ьО в силу предположенной непрерывности Г'(х).
Поэтому оператор А(х; у) по переменной х удовлетворяет условию Липшица [[А(х,; у) — А(ха; у)[! (о(г)[[х,— ха[!. хн ха~8(ха, г). (3) Оценим разность А(х; у) — хз. Имеем [! А(хе[ у) — хз[! = !! [У'(хе)! Ч(хе) — у) !! = =!! У'(хо)! (У вЂ” Уз)!! (!! [У'(хо)[ !![! У вЂ” Уо!! ° то есть [[А (хз[ у) — хз[! (!! У'(хз)[ !! [! у — уз[! ° (4) Далее. в силу неравенств (3) и (4) [! А(х; у) — хо[! ([[А(х; у) — А(хо', у)[[+ +[[А(хз1 у) — [[ (Ч(г) [! — е[[+ Ь'(хв)! !![!» — Уе!! ° а 41 теОРемА ОБ ОБРАтнОм ОпеРАтОРе.
ИетОд ньютОнА 443 Выберем теперь г„так, чтобы у=д(г„) (1, и рассмотрим у нз шара !!У уо !! < !'у = (1 Ч) гл~ !! (У (хо)! !! Тогда предыдущее неравенство дает !!А(х; у) — х,!! <!)!!х — х,!!+ + 1 — л !1(у.,( !1У'(.)) '!! и, следовательно, оператор А осуществляет сжатые отображения шара !! х — хо !! < гл в себя. Поэтому каждому у, ! у — уо!! ( гу отвечает единственное х такое, что!! х — хо!!<г и у'(х)=у.
Тем самым на шаре !!у — уо!!(г определен обратный оператор х=<р(у) со значениями в шаре !!х — хо!!<г,. Ясно, что <Р (Уо) = хо. Из неравенства (3) вытекает. что !! <Р (У!) — <Р (У2) !! = !! х, — хэ !! = !! А (х,; у,) — А (х2; У2) !! < < )! А (х,; у,) — А (х,; У2) !! + !! А (х,; уо) — А (ха', у,) !! < ()!(у'(хо)! !(!!у,— уо!!+д!!х! — ха/!. Отсюла (1 — )) !! Р(у!) — Р(уо) !!<!! К(хо)! !!!!у — уа!! или !! Ф (У!) !Р (У2) !! '( 1 ч !! У! У2!! !! (У' (х.)Г' !! т.
е. обратный оператор !Р(у) удовлетворяет в шаре !! у — уо !/(гу условию Липшица и, следовательно, непрерывен. Теорема доказана. Согласно принципу сжатых отображений обратный оператор !Р(у) можно получить как прелел последовательности операторов !Р„(у). определяемых по правилу 'Ро (У) = хо 2ри(У)=А(!Рл-2(У)' У) (!!У вЂ” Уо!!<у'у. и=1. 2, ...). (6) Так как А(х; у) непрерывен по совокупности переменных! то методом математической инлукции можно показать, что все последовательные приближения !Р„(у) являются непре» рывными функциями у.
444 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. КНГ Далее, оценка !!Ф(У) Фя(У)!!< 1,7 !!Ф[(У) — Фо(У)!!~( с —,', !!К(..)) '!!!!и,) — !! показывает, что стремление последовательности [р„(у) к предельному оператору Ф(у) происходит равномерно в шаре !! У Уа!! (Гу' Пример. В пространстве С(0, Ц рассмотрни нелинейное интегральное уравнение 1 х (Г) — / К (й з, х (з) ) лз у ([), (7) о где ядро К(И з, и) непрерывно в области О< И а < 1, — со < и < < + со и имеет з втой области непрерывную производную К„(К з, и). Пусть, кроме того, а) К (й з, 0) як О и К (й з, 0) ф 0; б) единица не является собственным значением ядра К„(й з, 0), т.
е. линейное интегральное уравнение 1 х([) — / к„(г, з, 0)л(з)лз 0 о не имеет ненулевых решений. Записывая уравнеяие (7) в форме у(х) у (8) мы легко проверяем, что 1) У(0) = 0; 2) производная у' (х) существует в окрестности нули и имеет вид 1 у (х) И И (т) — ~ К„(й з, х (3) ) И (з) с[а[ о Позтому она ограничена и непрерывна в втой окрестности; 3) в силу б) [У' (0)) 1 существует. Тогда согласно только что доказанной теореме уравнение (7) для всех достаточно малых правых частей у (Г) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений.
Метод Ньютона. В качестве еще одного примера исполь. вования понятия производных абстрактных' функций рассмо' $41 ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ. МЕТОД НЬЮТОНА 445 трим метод Ньютона решения операторных уравнений. Как известно. для случая скалярного уравнения г'(х)=0 метод Ньютона состоит в нахождении последовательности приближенных решений по формуле У (лл) х =х — —, лщ л у' (Лл) ' Прн выполнении некоторых условий, налагаемых на функцию у(х) и ее производные, доказывается, что приближенные решения л, сходятся к конечному пределу и этот предел является решением уравнения. Л. В.
Канторовичем было показано, что метод Ньютона может быть перенесен на операторные уравнения. Мы рассмотрим здесь это перенесение, причем с целью упрощения доказательств будем предполагать выполнение довольно жестких ограничений л). Итак, пусть дано уравнение у (х)=0, где г(х) — абстрактная функция, определенная на банаховом пространстве Е„, со значениями в банаховом пространстве Е, Предположим, что в некотором шаре 5 (хе, г), центр х которого мы принимаем за Брнближенное значение решения уравнения (1), функция у'(х) сильно дифференцируема н ее производная у'(х) удовлетворяет условию Липшица [[У'(л) — У'й)[! <Е-[[л — Ь!! (10) Если, кроме того, существует [)" (х)[, то по аналогии со скалярным случаем можно строить последовательные приближения по формуле «л+1= "л — !У (хл)[ Х (лл).
Эта формула имеет. однако, то неудобство, что необходимо последовательно находить обратные операторы [у' (хл)] т. е.. по сути дела, решать линейные операторные уравнеийя ('(хл) л = — е.. ") Более подробное изложение и прн менее стеснительных ограничениях см. [12[. 446 АНАЛИЗ В ЛИНЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. У[ы Чтобы избежать указанного неудобства, Л.
В. Канторовичем был предложен модифипированный метод Ньютона, в котором последовательность приближений находят по формуле х„+, — — х„— [)" (хо)! ' у (х„), (1 1) где для любого а фигурирует один и тот же обратный оператор. Мы остановимся лишь на модифицированном методе Ньютона. Введем следующие константы: А[о=]! [У'(хо)! ']! Чо= ]! У'(хо)! У(хо) ]!. Теорема 2. Если 1 "о = Мог[о(.
-ъ— 4 и го — меньший корень уравнения його — С+1=0, то в шаре Ц» — хоЦ< Со)о уравнение г" (х)=0 имеет единственное решение х' и последовательные приближения х„, определяемые по формуле (3), сходятся к етому решению. Рассмотрим оператор — [у'(хо)! у ( ). Этот опеРатоР пРеобРазУет шаР Цх — хоЦ~(гав[о в себЯ. В самом деле, Ах — хо = х — хо — [['(хо)! у (х) = =[У'(хо)! ' У'(хо)(х — хо) — У(х)+У(хо)]— У (хо)! У(хо)' Отсюда ЦАх — хоЦ~( ]! [У'(хо)! ' ]]ЦУ (х) — У(хо) — У'(хо) (х — хо) Ц+ +]][у'( .)! 'у'(,)]!. т.
е. ЦАх — хоЦ~( МоЦу (х) — /(хо) — у'(хо) (х — хо)Ц+ в[о. 441 твоввмл ов оввлтном опвплтопв. метод ньютонл 44у Рассмотрим функцию <р (х) = у (х) — !' (хо) — ~' (хо) (х — хо) Имеем е) ф'(х)=Х'( ) — Г'( ) Пусть х~8(хо, !оЧо). Тогла !!Ч>'(х) !!= !!У'(х) — У'(хо) !! < Г.!! х — хо!! < Г.ГоЧо Поэтому !!Ч (х)!!=!!ф(х) — Ч (х)ЫиоЧ !!х — хо!! <Г.(гочо)' Таким обРазом, если х ЕЯ(хо, ГоЧо). то !! Ах — хо !! 4! М,ГГот!о+ Чо = Чо(МоГЧого+ 1) = Чо(т!о(о+ 1) "Уо* т. е.
опеРатоР А пеРеводит шаР !!х — хо!!~(1оЧо в себЯ. Покажем, что оператор А дает в этом шаре сжатые отображения. Имеем лла хЕ8(хо, ГоЧ) А' (х) = ! — [у'(хо)! У (х) =!У (хо)! (У'(хо) У'(х)), и поэтому !(А'(х)!! < Мо!!У'(х) — У'(хо)!! < Мо!.!!х — хо!!~( МоГЧоГо Так как ао — меньший корень уравнения !го!я — а+1=о, то ! — Г" ! — 4ао о= йао Слеловательио, !! 4 (х)!!< Мо~Чосо — йо 2Л вЂ” — < Г < 1, ! — У! — 4л~ 1 — ф 1 — 4а, откула !!Ах — АЦ 4д!!х — Ц, (12) и требуемое доказано. Итак, оператор А осушествляет сжатые отображения шара о [хо, гоЧо) в себЯ и потомУ имеет в этом шаРе едииствеииую иеподвижиую точку х'.
Для этой точки х' = х' — !/' (хо)! ' у (х*), '! !!роызволиаяаиыейиогооператораУх* у'(х,)хрввыаУ'(хо). 448 анализ в линпиных пвост~лнствлх 1гл. ши т. е. х* есть решение уравнения (9) у (х') = О. Точка х* есть предел последовательных приближений хл+г — — Ах„= х„— (~'(хо)Г У(х„), (11) и теорема полностью доказана. Замечания 1. Выполнение условия йо~( — может быть 1 о 4 достигнуто за счет достаточной близости к решению начального приближения хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
