Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Аналогичными рассуждениями показывается дифференцируемость оператора /(х) в остальных точках шара 11 х — хо ,'( ( Ь. Покажем в заключение, что /(хо ") = [Ч' (хо Уо)1 фх(хо Уо) и (18) т. е. что /'( .) = — 1ф,'( )Г' '("' У.) В самом деле, по определению и,(Ь) есть оператор (много- член по )г) такой. что и/(хо ") =и/(хо ") Т иг("). в ТаккакгР(хо+А Уо)=ф(хо+)г,уо) 'Р(хо Уо)ТФ (хо' Уо)"' % 91 пРилОжения теОРемы О неявных Функциях 473 то 1 ( ) [рай[хо' уо)1 у[хо+ ~ уо) 1 [фу(~о Уо)] 'Рл( о' Уо) откуда следует (18).
5 9. Приложения теоремы о неявных функциях Изменения решения при изменения уравнения. Рассмотрим пространство С'[О; Е[ функций 7 (х), определенных на некоторой области 0 пространства Е, со значениями, лежащими в том же пространстве: к~0, г'(х)~Е, причем функции 7" (х) дифференцируемы, 7" (х), г" (х) непрерывны и ограничены по норме. Пусть [[7[[= знр([[7(х)[[+[[7"'(х)[[). С' [б; Е[ есть линейное нормированное пространство.
Рассмотрим уравнение У(х)=0, х~б, У~С'[О; Е1. Прелположим, что го(хо)=0 для некоторого хо~0 н оператор го(хо)е(Š— ьЕ) имеет обратный. Тогда имеет место следующая Т е о р е м а 1. Суигеслгвуюлг такие конс та нты Ь ) О, е ) О, что для любого г ~С1[0; Е[ такого, чтб [[7 — )о[[( Ь, уравнение 7'(х) = 0 имеет решение х=хо+Лх, где [[Лх[[<е; аРи этом, если 7 — ь Го, то Лх -ь О.
В самом деле, будем рассматривать 7" (х) как функцию хЕ0 и уЕС'[О; Е1: 7" (х)=Ф(7", х). Из построения функции Ф(7, х) следует, что Ф(7, х) и Ф„(У, х) непрерывны. При этом Ф~(У, х) =Г (х), По предположению го(хо)=0 и [го(х)[ ' существует, Это значит, что Ф(го, хо)=0 и [Ф'()го, хо)1 сУществУет. В силУ теоРемы о неЯвных фУнкциях для некоторых Ь ) 0 и е ) 0 уравнение Ф(го+ЛУ, хо+Лх)=.0 при [[Лг" [[(Ь имеет решение хо+ Лх, т. е. 7(х) = О, Г" =Уз+ Л), х = хо+ Лх, пРичем [[Лх[[( е; пРн этом, если Ьо-ьО, то [[Лх[[-ь О. Этим доказывается теорема. 474 АнАлиз В линейных пРостРАнстВАх 1гл. т!и Заметим, что для Ф(г, х)=г(х) существует диффе- ренциал Ф~(Г, х)ЛГ=ЛГ.
Из существования Ф) (г, х) следует, что х есть дифферен- цируемая функция от )', причем [ «(уо' хо)т! у(уо' о)Л.А= [У'(хз)] М. Правая часть этого равенства есть равномерный диффе- ренциал от функции х = гр(г) при х = хз, т. е. «г!р ((з, ЛТ). Применение к собственным элементам. Рассмотрим прямую сумму Н, =НЯ 1т, где Н вЂ” вещественное гильбер- тово пространство, )с — числовая прямая; каждый элемент из Н, имеет вид (х, Г), х~Н, ГЕН. Пусть Г есть нелинейный оператор, определенный на Нн с областью значений в том же пространстве, задаваемый равенством у(А; х, 1)=[у, т[, хЕН, (ЕЙ, где у = Ах — 1х Е Н, т = (х, х) — 1, н А — вполне непрерывный, саиосопряженный линейный опе- ратор из (Н»Н).
Уравнение У(А; х, 1) =О имеет вид Ах — 1х = О, (х, х) = 1, т. е. 1 есть собственное значение, а х — соответствующий нормированный собственный элемент оператора А. Если (х, 1[ получает приращение 1Лх. ЛГ), то Г(А; х, 1) получает приращение [А Лх — 1 Лх — Л(х — Л( Лх, 2 (х, Лх)+ (Лх, Лх)[.
Главная линейная часть этого прирагцения есть !7!!У(А; х, 1; Лх, Л1)= [А Лх — ~Лх — Лтх, 2(х, Лх)[. Следовательно, у' (А; х, 1) есть линейный оператор из (Н,— »Н,), переводящий [Лх, Л1'1 в 1АЛх — 1Лх — хИ, 2(х, Лх)). Если 1з есть простое собственное значение оператора Аз «) и хз — соответствующий собственный элемент, то существует «) То есть собственное значение кратности «одни».
В 91 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЫИЯХ 475 обратный оператор [7ц (Ае; х„, Ь )], т. е. для любого ! [у т) Е Н, уравнение АВЛх — 7ВЛх — хеЛ7=у, 2(хе, Лх)=т (1) имеет решение [Лх, ЛЬ[, и это решение единственно. В самом деле, Лх= ахе+(Лх)и где а =(Лх хо) ((Лх)и хе)=0. Аналогично У=Ьх,1+Уи где Ь=(у, хе) и (уи хе) =О. Далее, так как (А — Е Е)хе — — О, то (.4е Лх — Го Лх) — хо Л( = (Ае СВЕ) (Лх), — хе ЛЬ и ((Ае — ГВЕ)(Лх)и хе) =((Ае — 1ВЕ) хе, (Лх),)=0, откуда и из уравнения (1) (Ао — ЬВЕ) (Лх), = уи Лг= — Ь= — (у, хе), 2а=т. (2) (3) Так как правая часть уравнения (2) ортогональна хе (т. е.
ортогональна всем собственным элементам, отвечающим собственному значению 7е), то это уравнение имеет единственное решение, ортогональное хе: (Лх)1 = (Ао гоЕ)1 У1 = (Ае геЕ)1 [У (У хе) хо! где через (Ае — ЕеЕ)1 обозначен оператор Ае — ЬеЕ на подпРостРанстве элементов, оРтогональных хе. Итак, уравнение (1) при любом (у, т[ Е Н, имеет ре- шение 2 хо+ (Ао гоЕ)1 [У (У хо) хо[ ЛЬ= — (У хо).
-1 Отсюда следует существование оператора [7'(Ае; хе, Ге)[ В силу предыдущей теоремы найдутся постоянные 6) 0 и е) 0 такие, что при [[ЛА[[(б существуют собственное значение ге+ ЛЬ и нормированный собственный элемент хе+ Лх оператора А = Ае-+ ЛА ИАо+ ЛА) — (1+ ЛГ) Е[ (хо+ Лх) = О, (хе+Лх, х +Лх)=1, причем при [[Лх[[+[Лг [ ( е такое собственное значение и собственный элемент единственны. 476 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ШН Первое приближение [с11х, гь17) к (Ох. Ы) находится из уравнений: Ао Л1х — 7о Л1х — Л1гхо+ ЬАхо = О, (хе, Ь1х) = О.
Умножая первое из этих уравнений скалярно на хе и принимая во внимание, что ((Ае 7оЕ) 7А1х, Ао) =((4о — 7еЕ) хо Л1х) =О, получим Далее Л17 = (ЛАхо хо). (4о ФеЕ) гт1х = гт17хе — г)'Ахо. (4) Уравнение (4) всегда ил1еет решение, так как правая часть (4) ортогональна хе. (Л17хе, х,) — (1ААхе, хе) = 111г — (ПАхе, хо) = Следовательно, Ь1х = (Ае соЕ) '(сьгсхо гьАХе). и веет и притолг единственное решение х=х(7) такое, что ~!х(7) — ~~!! < е.
Это решение х(Р), как функция Е и раз дифференцируема. Сформулированная теорема есть непосредственное следствие теоремы о неявных функциях. Уравнение, зависи1цее от параметра. Теорема 2. Пусть у= — у(7, х) есть функция элемента хЕЕ и числового параметра 7 с областью значений в том же пространстве Е; далее, функция у(7, х) и раз дифференцируема по г и х и при 7=7е уравнение у(7е, х) = 0 имеет решение х=хе, причем существует оператор )у,'(се, х„)) .
Тогда существуют константы Ь > 0 и е .Р 0 такие, что при ( 7 — 7е ! ( Ь уравнение у(г, х)=0 (5) аз) няиложения теопемы о неявных юьикцнях 4уу Пример Пусть А(1) — вполне непрерывный линейный оператор из (Н-» Н), причем А (1), как функция 1, л раз дифференцнРУема н опеРатоР А (1,) имеет пРостое собственное значение ).э с соответствующим нормированным собственным значением хэ: 4 (го) хо — )мхо = О. Рассмотрим прямую сумму Н, =НЯМ и определим функцию Ф (1; х, Л), гпе (х, Л) (- Н Д Л, Ф (1; х, Л) Е Н Я И, с помощью равенства Ф (1; х, Л) = (А (1) х — Лх, (х, х) — 1).
Уравнение для нормированного собственного элемента х(1) и собственного значения Л (1) оператора А (1) имеет вил Ф(1; х, Л)=О. Так как А(1) л раз днфференцяруема по 1, то Ф(1; х, Л) также л раз дифференцируема по 1. Как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что существует Ь;,.: Г д . -! Ф»,; х, Лэ)~ д (х, ).) Но тогда применима теорема 2 настоящего пункта и, следовательно, уравнение Ф(1; х, Л)=О, т. е. уравнение А (1) х — Лх=б, (х, х) =! (6) имеет решение (х(1), ). (1)), которое является л раз диффереицируемой функцией параметра 1. Уравнение в вариациях.
В предположениях теореиы 2 настоящего параграфа решение х(1) уравнения (5) есть днфференцируемая по 1 функция параметра 1. Назовем вариацией Ьх функции х (1) ее производную х'(1) по 1 при 1= 1в, Ьх= — ~ ~=и Соответственно для у =у(1, х)— ду ~ Уравнение у(1, х(1)) =О 478 АнАлиз В линейных пРостРАнстВАх 1гл. щц есть тождество, и дифференцированием его по г' получаем ду (О х (Г) ), ду (О х (Г) ), ~1 О дт ' дх При ~ = ~о имеем Ьу + у, [го хо) Ь» = О Это уравнение называется уравнением а вариациях для исходного уравнения у(г, х) = О.
Так как ~у„'(1о, х)] существует, то [Ух (~о' хо)1 (8) Уравнение (А — ЛЕ) Ьх+ ЬАх — ЬЛх = 0 можно, например, считать уравнением в вариациях для уравнения (6), если заменить ЬЛ, Ьх, ЬЛ через ЬЛ, Ьх, ЬЛ: Ьх= — (А — ЛЕ), ' (ЬАх — ЬЛх), ЬЛ =(ЬАх, х). Применение к дифференциальным уравнениям. Вернемся к дифференциальному уравнению с начальным условием: — = г' (У, х), х (0) = хо. (9) Здесь 7 (Е х) и х — влементы пространства Е. Эта задача равносильна интегральному уравнению х (() — хо — ~ г" (т, х (т) ) У г = О. (10) о Обозначим левую часть уравнения (10) через Е(хо, х(Г)).
Функции х(Г)ЕС1 [О, 1[ о), Е(хо, х(()) — оператор, отображающий прямую сумму ЕЕСГ[О, 1[ в С1 [О, 1[. Если Г" (1, х) есть п раз дифференцируемая д о ~ ( Г «) функция от х, причем д '„непрерывна по (г, х), то *) Се есть множество всех непрерывно дифференцнруемых функций х (г), где 4 ~ [0, 1), а х(г) ~ е. $ О1 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 479 х(1) — /,с'(т, х(т))с[т есть а раз дифференцируемый операо тор из Сс [О, 1[ в Сс [О, 1[. Отсюда следует, что Р(хо, х(1)) е е есть п раз дифференцируемый по х(1) оператор.
Поскольку хо входит в Р в виде отдельного слагаемого, то Р есть и раз дифференцируемая функция в ЕСХССс [О, 1]. Если х = х (1) получает приращение бх = Лх (1), то главная линейная относительно Лх часть приращения Р (хо, х) будет с Р,г1х=бх(~) — [ у„'.(т, х(т))стх(т)сст. (11) о Правая часть (11) есть оператор из С, [О, 1[ в С, [О, Ц. Этот оператор имеет обратный. В самом деле, для любой у(г) из Сс [О, 1[ уравнение Р„сах = у (г) или Лх (() — / у ' (т, х (т) ) Ьх (т) с1т = у (1) о равносильно дифференциальному уравнению относительно Лх (г) х() =У'(Е х(1))бх(~)+у'(с) и бх(0)=у(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
