Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В заключение отметим, что знак равенства в формулах (5) и (6) имеет место, лишь если у (1) = 1гх (С), 1г > О, почти всюду на [О, 1) и соответственно 111=!гаг, й>0, 1=1, 2, 3, Все полученные неравенства легко переносятся на случай функций многих неаависимых переменных. П. Непрерывность в среднем функций класса бр(О) Обозначим через 1. (О) класс функций гр(х, у), определенных в плоской области О, с интегрируемой р-й степенью, р > 1.
В 1. (О) можно ввести норму: ]] !р]] = Я] грр] дхалу) р о. дополнения Свойства классов и пространств Ь [О, 1[, неравенства Гельдера, Минковского, полнота и т. д. непосредственно переносятся на Ер(0). Докажем одну теорему, которая обычно не излагается в курсах теории функций вещественного переменного. Те о р е и а. Лл2бая функция ф(х, у) ~ [р(0) непрерывна е среднем, т. е. для любого г) О можно найти Ь) О такое, что 1 с )1!!! .1-!, г,-ч — ы, г1~ г г ) <.
о всякий раз когда )г йг+не < Ь. При этом если точка (х+й, у+й) оказывается ане области О, мы полагаем !р(х+ и, у+ я) = О. Пусть Нр — граничная полоса, состоящая из точек области О, удаленных от ее границы на расстояние, не превышающее р, и Ор — — 0", Н„. Будем считать р настолько малым, что шез (Нр) < 2), где г) — некоторое наперед заданное положительное число (границу области 0 мы считаем достаточно гладкой).
Так как на Ор функция ф(х, у) ~ Ьр(бр) суммируема, то по теоРеме ЛУзина найдетсЯ замкнУтое множество Ряс=бр та- 1 кое, что на Р„функция гр(х, у) непрерывна и щез(бр х Р!)<2). При этом. очевидно, шез (О', Рч)< 2Ч. Пусть и и !г удовлетворяют условию [!йг+кг < р. Для фиксированных й и я, удовлетворяющих этому условию, обозначим через Р„множество точек вида (х — И, у — А). где (х, у) пробегает Ргс Ясно, что Рч~б, что множество Рч ! 2 2 ,1 замкнуто, так как оно получено из Р„ сдвигом на вектор 1=( — й, — й), и что шез(Р2)= шез(Р„).
Поэтому также шез (О '~ Р'„) < 211. Пусть, наконец, Р„= Рч П Р„. Тогда Є— замкнутое 1 2 множество, и на Рч функция !р(х, у) непрерывна, а следовательно. и равномерно непрерывна. Кроме того, шез (О ~ Р„) = шез ((О ~ Рч) ([ (О ~ Р„) ) < шез (О ~ Рч) + + щез (О ч Рч) < 42). Н. НЕПРЕРЫЗНОС1Ь В СРЕДНЕМ ФУНКГН!П КЛАССА 1р!Оа1 501 Будем считать теперь !) настолько малым, что для заданного е) О всякий раз, когда Ег=О и п1ев(Е) < 411. Оценим интеграл ( (~а! .!.а. а-а-аа — аа*.
а!!'а аа)а. а Имеем 1 Я~а!;а. аа-аа — а(, аа'» аа)'< аа 1 < ( ~ ~( )ар(х+Ь. у+и) — !р(х, у)1раах1(у)" + '! 1ч 1 -а()'1"!аа -';а аа-аага аа)а»- !а о 1 -а~ 1(!аа.. аага аа)а. '1О~'ч В силу (1) 1 < /! !а!*а.а, а-ааа~ а" аа) а'Уч ! а-( !' (!а!, аара аа)' < а.ат-а "ч Будем считать далее Ь < р настолько малым, что при ~/Р.+Р <Ь ~ ар (х -1- Ь, у + й) — аь (х, у) ~ < 2 (аев (аа))р дополнвния равномерно на г'„. Тогда ! < / /1е! ~-ж.
!-!-ч — т(.. !!! ~.ш,)'<,'. <з! гч Из (2) и (3) следует, что ! ~ ~~гр(х+Ь, у+А) — <р(х, у)~'!1х!1у)л <е о всякий раз, когда у!ля+Да < б, и теорема доказана. Ш. Теорема Боля — Брауэра Мы докажем здесь известную теорему Боля — Брауэра о существовании неподвижной точки при непрерывном отображении замкнутого выпуклого тела и-мерного евклидова пространства в себя.
Эта теорема широко используется в функциональном анализе при доказательстве существования решений операторных уравнений. Так как все замкнутые выпуклые тела и-мерного евклидова пространства гомеоморфны друг другу, то достаточно доказать теорему Боля — Брауэра для непрерывного отображения л-мерного симплекса в себя *). Мы приведем замечательное доказательство этой теоремы, принадлежащее Кнастеру, Куратовскому и Мазуркевичу. Рассмотрим л-мерный симплекс ле и обозначим через хе, х,, ..., х„его вершины.
Любую А-мерную грань сичплекса (О ~(л ~(и) будем обоаначать через <х!,, х!,... ..., х! ), где х!, лг = О, 1, ..., л, образуют совокупность вершин этой грани. Пусть симплекс гв симплициально разбит на некоторые симплексы з. Каждой вершине х симплексов г отнесем число !р(х) следующим образом. Рассмотрим грань наименьшего числа измерений основного симплекса ге, содержащую точку х. Пусть это будет грань (х!, ху, ..., х! ). Число !р(х) полагаем равным одному из индексов 1в, 1,, ..., 1а. Например, если х совпадает с вершиной х, симплекса ге.
то !р(х) =1; если х лежит на одномерной грани (хн х1), не совпадая ни с одной из ее вершин, то мы можем положить гр(х) равным одному из ') Встречающиеся здесь топологнческие понятия см. [26). и!. тсогеыА БОля — БРАуэРА хг г чисел 1 или 7, и т. д. Наконец, если х лежит внутри зв (не принадлежит ни одной й-мерной грани, к = О, 1, ...
..., и — 1), то 1р(х) мо1кет равняться любому из и+1 чисел О. 1, 2, ..., и. Назовем 1р(х) нормальной функцией вершин, Симплекс з нашего разбиения назовем репрезентативным, если его вершинам отнесены и+1 различных чисел О, 1, 2, ..., и. На рис. 7 мы «риводим разбиение двумерного симплекса с указанным отнесением вершинам симплексов разбиений чисел О, 1, 2. Заштрихованный треугольник есть репрезентативный симплекс. ! Лемма 1 (Шперн е р а).
Каково бы ни было симплициальное разбиение симплекса зз 17 и какова бы ни была 17 нормальная функция вершин гр(х), заданная Рис. 7. на вершинах симплексов разбиений, всегда сущесгпвуют репрезентативныеные димплексы и притом в нечетном числе. Доказательство проводится по индукции. Для случая и = О, когда симплекс сводится к точке. теорема тривиальна. Считая теорему верной для симплексов п — 1 измерений, докажем ее для симплексов п измерений.
Пусть дано симплициальное разбиение п-мерного симплекса зз и на вершинах х симплексов з разбиения определена нормальная функция вершин ц1(х). Назовем (и — 1)-мерной репрезентативной гранью (п — 1)-мерную грань симплексов разбиения, на и вершинах которой функция ф(х) принимает значения О, 1...., и — 1. Число (п — 1)-мерных (репрезентативных граней симплекса з разбиения обозначим через а(з). Возможны три случая. 1. функция ф(х) на вершинах симплекса з, принимает все и + 1 значений О, 1, 2, ..., и, т. е. з, — репрезентативный симплекс и он содержит единственную репрезентативную (и — 1)-мерную грань, а именно противоположную Пополнгния вершине х.
для которой у(х) = и. Отсюда а(я,) = 1 н ~~'.,а(я,) =р„, где р„— число репрезентативных и-иерных симплексов; сумма в левой части равенства берется по всем репрезентативным снмплексам. 2. Функция ~р(х) на вершинах нерепрезентативного снмплекса яа принимает и значений О, 1. 2, ..., и — 1. Одно из этих значений она должна принимать два раза. Следовательно, яя имеет две репрезентативные (и — 1)-мерные грани, а(я,) =2. 3. Функция >р(х) на вершинах симплекса яа выпускае~ одно из значений О, 1, 2,..., и — 1; следовательно, а(яз) = О. Отсюда ~~.", а(я) =~ а(я,) (шос! 2).
(2) Левая сумма берется по всем и-мерным симплексам я разбиения, правая по репрезентативным и-мерным снмплексам я, этого разбиения. Произведем другой подсчет (и — 1)-мерных репрезентативных граней. Возможны два случая. 1. Репрезентативная грань попадает внутрь основного симплекса яэ, она есть общая грань двух симплексов разбиений, и в сумме ~'.,а(я) мы ее считали два раза.
2. Репрезентативная грань попадает на границу яз. Из определения такой грани и функции гр(х) следует, что она может находиться только на (и — 1)-мерной грани (хз, х,, ..., х„ ,) основного симплекса. Обозначим через р„ , число (и — 1)-мерных репрезентативных граней, попавших на (хе,хи ...,х„ ,). Имеем ~ а(я) ==о„, (шод 2). (3) Из (1), (2), (3) следует р„—.= р„, (шоб 2). Но для (и — 1)-мерных симплексов мы считаем лемму доказанной, р„, нечетно н, следовательно, р„нечетно и потому отлично от нуля. Лемма полностью доказана. 1!1.
ТЕОРЕМА БОЛЯ вЂ” БРАУЭРА Лемма 2. Пусть симплекс ге покрыт и+1 замкнутыми мнолсествами Р, Р,, ..., Р„таким образом, ч:по каждая его и-мерная грань (хь, хь, ..., хь ) покрыта множествами Рь, Рь, ..., Рь . При э пих условиях в га существует точна, принадлежащая всели и+ 1 множестваль Ро ь'=-О, 1, ..., п. Разобьем г, симплициально н на вершинах х симплексоа разбиений определим следую:цую функцию ьр(х): рассмотрия грань (хь, х;, ..., хь ), 0 (й (и наименьшего числа измерений, заключающую точку х. Эга точка попадет в одно из множеств Рь, Рь,..., Рь, покрывающих 1хь, хь,..., хь ), Примем ф(х) равным индексу того из этих множеств, которое содержит х (или любому из таких индексов, если точка попала в несколько из множеств Гь, Рь, ..., Рь 1. Ясно, что ьр(х) есть нормальная функции вершин. В силу леммы Шпернера среди симплексов нашего разбиения должен существовать репрезентативный симплекс гн На его вершинах х функция ьр(х) принимает все и+1 значений О, 1...., и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
