Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. вершины г, принадлежат и+1 различным множествам РР Будем производить симплициальное разбиение ге на все более н более мелкие симплексы. Пусть диаметры симплексов т-го разбиения не превосходят 6, где 6 — «О при т -«со. Рассмотрим последовательность репрезентативных снмплексов ь г,, г, ..., г„,, ... 1-го, 2-го, ..., т-го, ... разбиений. Вследствие компактности га множество вершин симплексов !г ) имеет предельную точку х'. Выбрав произвольное 6 ) О, рассмотрим те симплексы г, для которых 6 . б 6 ( —. В шар радиуса — с центром в х' попадет по крайы 2 ней мере одна вершина одного из симплексов гт, а следовательно, в шар радиуса 6 вокруг х' все и+1 вершин такого симплекса.
Так как вершины г принадлеькат и+1 различным множествам Ра, РР ..., Р„, то в любой 6-окрестности х' найдутся точки всех множеств Ро 1=0, 1, ..., и. Следовательно, х' есть предельная точка для всех РР а так как Р, замкнуты, то х* принадлежит всем Р;, 1 = О, 1,..., и. Теорема Боля — Бр а уз ра. При всяком непрерывном отображении )'(х) и-мерного сильплекса г в себя существует неподвижная точка этого отображения, т. е. дополнения точка х*~г такая, что У(х) =» . Введем на г барицентрические координаты ро р1 рл Х Во=1 о=о Для точек г все н,)~0. Пусть точка х(ро, (гн..., р„)~г перейдет при преобразовании у в точку у(чо, о,, ..., Я„) ~г, у=у(х).
Снова ~'.,то=1, ч;)~0, 1=1, 2, ..., и. Пусть о=о точка х (ро, нп ..., р„) лежит на грани (хс, хо, ..., х~ ), 0<к <и. КООРДИНатЫ Н~ ТОЧКИ Х ПРИ Уй~Ее, Еп ..., го равны нулю. Так как 1=р +1то+ +р, =Х > + + + 'о '1 'о о=о ' ' 'о то невозможно одновременное выполнение неравенств р <т~ р~ <т~ " ро <т~ 'о о 1 1 о о и по крайней мере для одной из этих координат будем иметь р, г Г Поэтому если обозначить через Р, множество точек, у которых координата р, не возрастает при преобразовании у', то всякая точка х грани (х~,, х~, ..., х~ ) покроется одним из множеств Р;, Ро, ..., Р~г.
'о' Множества Р, удовлетворяют всем условиям предыдущей леммы *). Поэтому на г существует точка х*(р*, р,, р,), принадлежащая всем этим множествам. Ни одна из координат р*,. при преобразовании у не возрастает, и если г'(х*)= =у'(т„, т,, ..., т„), то и, )~ т*н ) = О, 1, ..., и. (4) ~) Замкнутость Р~ следует из непрерывности У.
1!1. ТЕОРЕМА БОЛЯ вЂ” БРАУБРА Из (4) и свойств барицентрическик координат вытекает, что 1 = ~~'., 111 )~ ~~л~ У1 = 1. 1ья 1=О Теперь из (4) и (5) слелует, что Ггг,=уг 1=0, 1, ..., и, т. е. у (х") = х*, и, следовательно, точка х* есть неподвижная точка преобразования. Теорема Боля — Брауэра доказана. Следствие. При непрерывном отображении ограниченного замкнутого выпуклого тела 5 и-мерного банахова пространства Е в себя существуелг неподвижнап точка.
Пусть ен ег, ..., е„— базис в Е. Элементу Х = Э1Е1 + СгЕг + ... + ,'чЕ„ отнесем точку х=51, зг, .... $„)~Е, где Е„ есть и-мерное евклидова пространство. Это соответствие 1р изометрично и нзоморфно и переводит замкнутое выпуклое множество 8<=-Е в замкнутое выпуклое множество $~Е„. Пусть у — непрерывное отображение о в себя. Тогда у" = 1рг" 1р ' есть непрерывное отображение 8 в себя. По теореме Боля — Брауэра существует неподвижная точка х* этого отображения 1рфр '(х') = х*. Но тогда У'1Р '(х').=1Р '(х") и х" =1р '(х') есть неподвижная точка отображения )'. дополнкния ТЧ. Два определения и-й производной функции вещественного переменного Существуют два определения и-й производной числовой функции х(г) в точке г.
1. Введем обоаначение л бв>х(Г) ='~',( — !)л-'Слх (г+(й — —,,") ДГ) «=о и назовем Ьл>х(г) Нентрированной разностью п-го порядка функции х(г) в точке д Тогда положим хм) (г) = Игл — л Ьл>х (г) т.+о (д>) в предположении, что этот предел существует. Если указанная центрированная разность стремится к хгл> (Г) равномерно на отрезке а (Г (д, то хил(Г) называется равномерной разностной производной и-го нарядна.
2. Определим последовательную и-ю производную функции х(г), обозначив ее х>т(Г)о, и-кратным последовательным дифференцированием функции х(г) в предположении, что все предшествующие производные х'(Г)о, хл(>)о, ..., х>л '> (Г) определены в окрестности точки д Пусть хот)(Г)о определена на отрезке и (г (Ь и непрерывна. Тогда существует хгл>(Г), причем хм> (г) = хгл) (г)о. В самом деле, как легко видеть, 1 бл (г) >л) (Г+ л од() и В и (дг) л 2 2' Так как при Дг' — л 0 правая часть равномерно стремится к хт)(Г)о, то х>л) (г) = В>п ' „б"„,х(Г) =хм)(Г),.
д> о (дг)л Можно доказать и обратное предложение — из существования на некотором отрезке непрерывной равномерной разностной производной хгл>(Г) следует существование на этом 1У ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ л-й ПРОИЗВОДНОЙ 509 ОтрЕЗКЕ раВНОй Ей ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОИ ПрОИЗВОднОй Х1л1(Г)О1 Х(л) (!) Х1л) (Г) Проведем доказательство для случая и= 2. Пусть функция х(С) имеет на отрезке [О.
1[ непрерывную вторую равномерную разностную производную хл(1). Обозначим через у (С) интеграл ХУ о о Вторая последовательная производная ул(Г)о равна подынтегральному выражению хл(Г), и так как ул(Г)о= хо(Г) непрерывна, то она совпадает со второй разностной производной у (г)о = у (1). Таким образом, [у (!) — Х (Г))л = О. Покажем, что разность а(Г) = у(1) — х(Г) может быть только линейной функцией: х (1) = у (Г) -+ а + 1)г. Так как функция у(1)+ а+и имеет вторую последовательную производную у (г)о= х (г)о то получим тогда, что хл(Г)о = хл(г). Итак.
пусть на отрезке [О, 1[ имеет место тождество ал(1) =О, Положим а1 (1) = а (г) — [а (0) + [а (1) — а (0)[ г[. Имеем а, (0) = а, (!) = 0 и а" ,(1) ==-О. Пусть е — произвольное положительное число. Рассмотрим функцию Р (1) = а, (С) + его. 510 ДОПОЛНЕНИЯ Так как (еР)а=2е) О. то ба(1)=2е > О. При 0 (1 (1 имеем ]1(1)( е. В самом деле, если бы для некоторого 1~ [О, 1] мы имели ]1(1) ) е, то максимум [)(1) был бы больше е, а так как р(0)=0, ]1(1)=е, то этот максимум достигался бы во внутренней точке 1а отрезка [О, 1]. В точке максимума (а вторая центрированная разность Ад!]) (1а) =- Р(1о+ А() — 2Р(1о)+ Р(та — ДГ) (О ибо [] (!о) ~~ ]) (!о — А!).
Отсюда дн (1а) = 1!гп — ! Ааг]](1о) ( О д! О (ДО! и мы получили противоречие с предположением ]Г'(Га)>е)0. Следовательно. ])(1) (е, 0 (1 (1. Но тогда при 0 (1 (1 а!(1) =р(1) — егт (]](1) (е. Аналогично доказывается и неравенство а! (1) ) — е. Итак, при любом е > 0 имеем — е (а!(1) (е, откуда а!(1) =— О, и, значит, а(1) =а(0)+ [и(1) — а(0)]1= а+ И, что н требовалось доказать. Заметим в заключение, что для числовой функции х (1!,Гя, ..., 1„) от и вещественных переменных имеет место равенство А., г, ..., !; д!х(г! га г„)= пл двл опгвдилвния л.п пгоизводноп 511 где уз~,, ~,, ..., с„; ых (1~ 1.) =- ( — 1)" 'х(тн т,, ..., т„), гн сз ", г» т;=1,+Ы прн 1=1,, 1з...., 1з и т,=1, для остальных 1 и сумма берется по всем подмножествам (1и 1„..., 1а), О (1,~(1,~~ ...
~(1„~(п множества (1, 2, ..., и). Здесь, как и в дальнейшем, О; — числа, заключенные между О и 1. Это равенство доказывается методом индукции. Прн и= 1 оно сводится к теореме о конечных приращениях. Пусть оно верно для смешанных разностей (и — 1)-го порядка.
Имеем Л~,, гв..., г„; ых(1~ 1з 1,)= =Лс,,...,~а нгз н...,с„;их(1ь ..., 1а +Ь1...,, 1„)— — Я , ..., г и г„ „ и ..., г„; мх (Г~ 1», ° ° ° гала)= а, - и а,ч.~ " ' и Ф, +О», 111 1)) (2) (последнее равенство получено на основе применения теоремы о конечных приращениях). Но в силу предположения индукции ,,„х(1ь ..., 1, +О, ~1, ..., 1)= ые2 гизи Отсюда н из (2) следует (1). ЛИТЕРАТУРА 1. Алекс андрон П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехнздат, 1948. 2. Ахиезер Н.
И., Лекции по теории аппроксимаций, «Наука», 1965. 3. Ахиезер Н. И. н Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гостехиздат, 1950. 4. манах С., Курс функц!онального знал!зу, Киев, 1948 (на украинском языке). 5. Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ, 1952.
[5а] Виленкин Н. Я. и др., Функциональный анализ (серия: «Справочная математическая библиотека», «Наука»,, 1964), 6. Вулих Б. 3., Введение в функциональный анализ, Фнзматгиз, 1958. 7. Гельфанд И. М., Райков Д. А., ШиловГ.В»Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1959. 8. Гид ьберт 1. (Н!1Ьег! Гь), Огнпдгпйе е!пег аВйеще!пеп Тйеог!е г(ег !!пеагеп !в!енса!й!е!сйнпйеп, 1924. 9.
Г иль берт Д. и Курант Р., Методы математической физики, !'ТТИ, 1951, 10. Данфорд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные операторы, общая теория, ИЛ, 1962. 11. Дитк ин В. А., Операционное исчисление, УМН, т. П, вып. 6 (22), 1947. [11а] Ди т к пи В. А. и П рудин коз А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление (серия: «Справочная математическая библиотека»), Физматгиз, 1961). 12. Канторович Л. В. и Ак илов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
