Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 67
Текст из файла (страница 67)
о задачи нл экстввмум 489 Э н1 Если 11631+ 11А211 <г, 1Л,1<г, 1дэб .г; ТО следовательно, прн 0< 1 < 1 1л,+е(л,— л)1 <г Д(л,) — 1(и,Ц <,11 и, — л,(1. Поэтому неравенства (7) запишутся в виде 11», — х,',~(1 — е,) <ЦХ(х,) — Х(хэ) 11 <1х, — х,Ц(1+ с»). Тем самым доказано, что наше отображение есть отобра кение почти нзотермнческое. 9 11. Задачи на экстремум Рассмотрим применения некоторых из введенных выше понятий к вариационным задачам. Пусть 7 (х) — функционал, определенный в пространстве Е».
Точна хе~ Е» называется точкой минимума (маисилсума) этого функционала, если для всех точек х некоторой окРестности точки х, У(х) ) 7(хе) (соответственно У (х) <., <У(хе)). Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Дадим теперь определение линейного в малом пространства. Пусть дано метрическое пространство Х. Если каждая достаточно малая окрестность произвольной точки х ~ Х допускает почти изометрическое отображение на окрестность нуля некоторого банахова пространства, то пространство Х называется линейным в малом. Предыдущий пример показывает, что в пространстве типа В всякое многообразие, все точки которого правильные, есть линейное в малом пространство.
Понятие дифференциала распространяется на функции, заданные в линейных в малом пространствах. Пространства допустимых линий в ряде классических вариационных задач суть пространства, линейные в малом, и вариации рассматриваемых в них функционалов дают примеры дифференциалов функций в пространствах, линейных в малом. 490 АНАЛИЗ В ЛННЕИНЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ |ЧН Теорема 1.
Если хь есть точка экстремума функционала г (х) и последний ди(1|(г|еренцируем в этой точке, Ч(хь Ь)=~ (хь)Ь, то 1'(х ) =О, т. е. дг (хь, Ь) = 0 при любых Ь ЕЕ„. В самом деле, У'(хе) Ь = — „, У(хе+ 1Ь) ~~=ь. Но г(хь+1Ь) есть числовая функция аргумента1, достигающая экстремума при 1 = 0; поэтому Ч (хе. Ь) = У' (хь) Ь = иг 1 (хе+ 1Ь) * =е = О Так как Ь вЂ” произвольный элемент из Е, то требуемое доказано.
Рассмотрим теперь задачу нахождения условного экстремума. Пусть ф (х) — функция, определенная на Е,. с областью вначений в Е„, х Е Е , |р(х) ~ Е, и Г(х) — функционал, определенный на Е„. Точка хе, для которой |р(х,) = О, называется точкой условного минимума (соответственного максимума) функционала у (х) при условии |р(х) = О. если У(') >г (хе) для всех х из некоторой окрестности точки хе, удовлетворяющих условию |р(х) =О.
Т е о ре м а 2. Если точка хе условного минимума сйункционала У(х) при условии |р(х)=0 есть правильная точка многообразия |р(х) = О, то существует такой линейный функционал 1, определенный на пространстве Е„, 1~Е~, что для функционала Е(х) = у (х) — 1|р(х) имеем Р'(хе)=0, то есть ИГР(хе, Ь)=0 при любых Ь из Е. 5 11] 491 ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ Докажем прежде всего, что с(Е" (хо, Ь) =О для всех Ь, определяющих линейное касательное многообразие в точке хо, т. е. для всех Ь~ То.
В самом деле, пусть Ь~ То и гЕ,Е'(хо Ь)= стыд. ПРи любом Е точке хо+ Ей соответствУет в силУ теоРемы 2 предыдущего параграфа точка хо+Ей+и(Е) многообразия гр(х) = О такая, что ]]и(Е),'~ есть величина высшего порядка малости сравнительно с Е. По определению дифференциала мы имеем Е (хо+ ЕЬ + и (Е) ) = Е (хо) + аУ (хо ЕЬ+ и (Е) ) + о] (Е) =— = У(хо)+Е (хо) ЕЬ+ Е (хо) и(Е)+ го(Е) = = Е'(хо)+ ЕЕ+ е'(хо) и (Е)+о(Е). При Е-ь О Е" (хо) и (Е) + а(Е) есть величина высшего порядка малости сравнительно с сЕ, и поэтому знак разности У (хо+ ЕЬ.+ и (Е) ) — Е (хо) совпадает со знаком сЕ, так что с переменой знака Е эта разность меняет знак.
Но тогда точка х не может быть точкой экстремума функционала. Следовагельно, предположение, что стьО. неверно, и требуемое доказано. Итак, в условиях теоремы ЕЕЕ (хо, Ь) = О для всех Ь, лля которых гр'(хо)Ь=О, т. е. Еф(хо Ь)=О. Из этого следует. что ЕЧ ( Оо' Ь]) ]ЕЕ (хо' Ь2)' если Ь, и Ья принадлежат одному и тому же классу смежности Т~Е ЕТо. Введем функционал Х (Т) = 1Ее (хо Ь) где Ь вЂ” любой элемент из Т. Имеем ]]((Т)1= ]еЕУ (хш Ь)] = ]е'(х ) Ь)-ь]].г'(х )]]]]Ь]1, 492 Анализ В линаиных НРостРАнстВАх [Гл. чн[ откуда, переходя в правой части к точной нижней границе по И ~ Т, получим ) у (Т) ) ~()()" (хе) [[ [[ Т [[.
Следовательно, )((Т) — линейный функционал, определенный на Е [Т . С другой стороны, Т = (ф'(хе))-1 у. где у — элемент из Ет такой, что !р'(хэ)И=у для любого И ЕТ (см. стр. 483). Слеловательно. с[у (х, И) = )( (Т) = у ((гр' (хэ)) ' у) = [(у). Так как у = ф' (хе) И = г[!р (хе, И), то мы получаем, что ,[у(х. И)=[ Ар(х„, И). Отсюда, полагая гт (х) = у (х) — Ьр(х), будем иметь, что с[Р (хе И) О для всех И Е Е„, что и требовалось доказать.
П р и и е р. Изолеримеглрическан задача. Будем искать экстремум функционала у (х) при условии е!(х) = О, ! 1, 2, ..., и, где у (х), р!(х) — функциональа, определейные на Е. Рассматривая !Т, как компоненты л-мерного вектора чл обозначим через лг(х) вектор с компонентами ф (х), [ = 1, 2, ..., в.
Пусть экстре!!ум достигается в точке хл~Е. В свау теоремы 2 существует линейный функционал [(!Р) такой, что для гл(х) =У(х) — Щ(х) л[Г(хл, А) =О. Но так как в и-мерном пространстве векторов !а э УВ=ХАуп 1=1 где Хл — постоянные, то г (х) ~ / (х) — " ', Л[лг (х). л=! Следовательно, в точке хэ экстремума э У'(х,) — ~ А[в (хэ) =О. ! 1 Получаем правило нножитылей Лагранжа ДОПОЛНЕНИЯ !. Классы с.р, р) 1 функпия х (!), определенная и измеримая на отрезке |О, 1|, называется принадлежащей классу !, (О, 1) или, иначе, функцией с суммируемой р-й степенью, если 1 / | х (с) |' сй ( со. о Интеграл понимается в смысле Лебега; р — некоторое положительное число.
В дальнейшем считаем, что р )~ 1. Если р = 1, получаем класс суммируемых функций, который обозначим через 1.(0, 1). Докажем, что если х(г)ЕА»(0, 1) и у(С)ЕА»(О, 1), то х (() + У (1) ~ г р (О, 1). Возьмем два числа: а и Ь. Тогда | а + Ь / «( | а | + | Ь ! . Рассмотрим два случая: 1) |а| ) |Ь|, тогда | а + Ь ', «( 2 | а | |а+Ь|» (2»| а |» (2»(| а |»-+|Ь |»); 2) | Ь | )~ | а |, тогда | а+Ь |» «(2»| Ь ! Р «(2»(| а |»+ |Ь |»). Таким образом, всегда | а+Ь!» (2»(|а | »+| Ь'). Положив теперь а =х(Г), Ь=у(Г), получии |х (Г) + у (г) |Р ( 2 ( |х (() |Р + | у (г) |Р). дополншпгя Так как ~ ( х 9) )р Л < со и ~ ! у (1) (р Ж ( со, то и У ! х гг) + у (г) ~р л ( о что и требовалось доказать.
Пусть дано множество числовых последовательностей л = (Ц таких, что ~ ( $;)» ( со. Обозначим это множество через Гр. Совершенно так же, как и в предыдущем случае, убеждаемся в том, что если л ~ Гр и уцГр, то л+уЕЕр, т. е. если то Неравенство Гельдера. В различных математических исследованиях широко используется известное неравенство Буняковского. Мы установим сейчас обобщение етого неравенства, прнпадлежащее Гельдеру.
Рассмотрим функцию т= г", где а) О. Имеем т'=цг' ' > О при ~) О. Значит, т=~» — возрастающая функция для положительных 1, и потому для таких Р определена однозначная функ- 1 ция 8=та. 495 1. КЛАССЫ Ср. Р)1 Построим график функции т= г~; возьмем два вещественных положительных числа 9 и т), построим соответствующие точки на осях г и т и проведем через зги точки прямые, и параллельные осям. Получим два криволинейных треугольника (рис.
6). площади кото- " рых суть соответственно 1 —.!1 !! а+1 1+ () С другой стороны, очевидно Рн 6 ~1+~1)~1Ч причем равенство имеет место лишь при т) =,',~. Таким образом, 1 — -!1 5ч р! ча $!)<„)!+ ! а Положим а + 1 = р, — + 1 = д. Ииееи 1 а 1 ! — + — = 1. Р т Числа р и д, связанные соотношением (1), назовем сопряженныни друг другу. Очевидно, при Р) 1 также д~ 1. Итак, для любых $ и т) и пары сопряженных чисел р и д имеем ьр 1ч ~ — + —.
Р т (2) < 1 ~ 1л (01Р Л! е Возьмем две функции: х (1) Е !.р (О, 1) и у (1) Е ~р(0, 1), и положим !х (!) ! 1 у (!) ! 1 дополняния Подставляя эти величины в (2), найдем ~ х (!) П у (!) ! ! ! ~(~*В)! л) ~(~а!!гш~) < ~ (О~ + ~у(!)~ ! Рй~ ) х (!) ~л д! о б~ 1у (!) !о Л! В правой части стоит суммируемая функция. Значит, функ- ция, стоящая в левой части, также суммируема. Интегрируя. найдем Полученное неравенство есть неравенство Гельдера для интегралов. В частном случае при р=д=2 оно обращается в неравенство Буняковского. Пусть теперь х= Я!). у=(!)!) и хЕ1р, уЕ1о. Положим в неравенстве (2) ) ч!! 2")ч;1' ~! й 1л Получим !Вг!! !1!) ! ф» )' (х,~ ~ )' ( ) ~г!' ) ч, !' й~%~' йХ!й!)о ! !' !=1 ! 1х(!) !)у(!) ~дг 1 1 < †+ ††' ! ! й г((~*<ора) !((~ «>~ «) или ! ! ! / ! '!р1 ' ~ ) х (1) у (1И г(1 < ~ ~ ) х (1) Р' д1) ~ / ) у (1) )о д1 ! .
(3) о о о !. клАссы ьр, р>! Суммируя по 1 аналогично предыдущему. получим нерааен- слгео Гельдера для сумм ! ! ~ч'„~а,!),~ ~ ч',~р,!»~ ~ч'., ~г),~о), (4) также обращающееся при р = д = 2 в неравенство Буняковского для сумм. Неравенство Минковского. Пусть х(Г) и у(Г) принадлежат Ь (О, 1). Покажем, что тогда ! ! ! !» /' ~ )х(Г)+у(ГИ дс!~ (~/ 1х(Г)! г(Г/ + о о ! ! + ~ ~у(г)(рсй~ . (5) !о Для локазательства заметим прежде всего. что если е(Г)~Е»(О, 1), то ~е(Г) ~» '~У. (О. 1).
В самом деле, откуда и следует, что (! е(г)1» ) — суммируемая функция. рассмотрим, далее, интеграл ) ~ х (г) + у (г) ~ ю. о Применяя два раза неравенство Гельдера к функциям ~ х (Г) + у (Г)!» ' ~ (., (О. 1) и х (Г) Е (., (О, 1) н. непРеРыВ!юсть В сРеднем ФункциЙ кллссл ! (о! 499 'р Прил!еняя неравенство Гельдера два раза к последовательностям []я!+т~1]Р '] ~1 и ]$,.] ~1т соответственно ]г)!] Е1р, имееи СО Ш О Х]Ь!+ц,]' < Х]~,+ч!]'-']Ь;]+Х]~,+ ч ]'-']ен]< 1 1 1 -(е ~л«-ч!'-"]' [[е ~л1]'«-[е~,~']']= 1 1 1 =(Е 11«ър] [(Х 11 Г] «-(Х1«1] ]. Отсюда, деля обе части этого неравенства на 1 ~х]~,+.,] )' и замечая, что 1 1 1 — — =— ч р получаем неравенство Минковского длн сумм (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
