Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Теорема. Если цс(х. у) есть и раз дифферекцируемая функция е точке (хо, уо) и у =С (х) есть п раз дифференцируемая функция х е точке хо, нричем уо= с (хо), то ф(х, г(х)) есть я раз дифференцируемая функция от х ири х= хо. В самом деле, если 466 АнАлиз В линейных НРостРАнствАх 1гл. чн1 Так как ф(х, у) есть и раз днфференцируемая функция (х, у), то л ф(хо+" Уо+К) — ф(хо Уо)=„о1(Д б)+не(й б) + ° ... +а„(Ь, д)" (3) ( мы в силу (2) заменили в (3) символическое равенство (" я) Ь'1 символическим равенством ) . Но поскольку из (1) слеп)' дует. что а»()2, и)"-а»()2.

Р„()2))», то 1Р(хо+й Уо+К) — 1Р(хо Уо)=„' '5 а»(л, Р„(Ь))~. (4) »=1 где а»(л, Р„()1)) есть сумма членов вида а»111)22... л». в которых каждое 61 равно 12 или Р„(л). Поэтому а»(в, Р„(н))», а следовательно, и вся сумма в (4), есть многочлен относительно Ь. Отбрасывая в нем члены степени выше а относительно л, мы получим многочлен ус„(л) степени и относительно л, для которого .()ФХ "(' .(»' Итак ф(хо+й Уо+Ю) — 1Р(хо Уо)=л)~л(й) Ь что и требовалось доказать. Введем теперь понятие час1лных производных функций двух переменных.

Имеем с(ф !(хо, уо); ()2, А)! = а, (й1, й) = а1)2+ аза, ~~ ф !(хо' УО) ("' е)! — п2 ()2 К) = пи12 + п1211к+ п21йл+ п22й и т. д. Введем обозначения п1=ф„(хо Уо) по=ф (хо Уо), 21 фу» ( О' УО)' 22 Руу 1, О' УО)' ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ Имеем = — „, Р(х.+1И Уо)1,=, й уруп иу уР (хо' УО+ 1К) 11 о йу 1Р,",И2 = —. <Р (хо+ (И уо)! о ду 'Р»уий — ду ду сР(хо+11и УО+Рае)!и,и о. ду ~Ру»в дт дт ~Р (хо+ ~1И' УО+ ~24)~2 -1 -о ййу 'Руув' = йуу 'Р(хо Уо+св")11=0 а,И пнИ2 а12ИА а218И ать' ду —,„, Р(хо+11И Уо+12А') является непрерывной функцией от 11 и Р2. $8.

Теорема о неявных функциях Рассмотрим прямую сумму Е„ЩЕ пространств Е» и Еу и оператор 1Р(х, у), переводящий Е Щ Е„в Е;1 х ~ Е, у ЕЕу. х=ф(х, у)ЕЕ,. Будем считать, что 1) уР(хо, уо) =О, (1) 2) ф(х, у) непрерывен в окрестности точки (х, у ), 3) 1Р(х, у) имеет непрерывную производную 1Р' (х, у) в окрестности точки (хо, у ) и существует [ор'[хы У )) Теорема 1. При выполнении условий 1) — 3) существуют положитвлоныв константы 6 и е и оператор у =)'(х), х ~ Е„, у ~ Еу, определенный в окрестности [( х — х (~ (Ь точки х, и такой, что уравнение У=((х) (2) ит.

д. Если Р(х, у) имеет непрерывный по (х. У) второй дифд д ференциал, то а12Ид = а21дИ, так как операции — и— д21 ату переместительны. если 466 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСГРАНС'ГВАХ (ГЛ. РГИ равносильно в некоторой окрестности точки хе уравнению ф (х, у) = О, (3) т. е. каждая пара (х, у), //х — хД<б, удовлетворяющая уравнению (2), удовлетворяет также и уравнению (3), и обратно, каждая пара (х, у), удовлетворяющая уравнению (3) при ях — хе// (б, !/у — уе)! (е, удовлетворяет уравнению (2). Оператор у'(х) непрерывен по х и Г (хе)=уз. Доказательство. Уравнение (3) равносильно следуюШему уравнению: У=А(х, у), (4) где оператор А (х, у) определяется равенством А (х, у) = у (ф (хо' уо)! ф (.с, у).

(6) Для доказательства сушествования и единственности решения уравнения (4) применим принцип сжатых отображений. Так как дА (х, у) — =~-!ф(х.у.)! ф(х»вЂ” =!ф'( «)! 'М ) — ' ')! то ~ ( д (г) ((( х — хе() ( г, ~~ у — уз~~ ( г), где о(г) — ьО при гьО (6) в силу предположенной непрерывносги ф'(х, у). у Поэтому оператор А(х, у) удовлетворяет условию Липшина по у ~!А(х, у ) — А(х, уе)~! (о(г) ~~у,— уз~~, ~!х — хД~(г, ~~уг уо~~~( г 4=1 2 Далее !!А(х, у) — у (! <(((фДх, у„)! !!((ф(х, «)!! <р(г) (),'х — хв~/ ( г). 4 в1 ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ Где (8) р(г)-э 0 при г — ьО в силу непрерывности ~р(х, у) и условия гр(хе, уе) =О.

Выберем число е ) 0 настолько малым, чтобы д(е) = =Ч(1,— зто возможно сделать в силу (6). Из неравенства (7) вытекает, что при /!х — х !/(е оператор А(х, у) на шаРе !!У вЂ” Уе!!=..е пРостРанства Е„авлЯетсЯ опеРатоРом сжатия. Выберем теперь Ь (е настолько малым, чтобы р(Ь) ((1 — д) е. Тогда при !!х — хе!!~(Ь оператор А(х, у) отображает шар !!У вЂ” Уо!!(е в себя и уравнение (4) имеет единственное решение в шаре !!у — уе!! (е. Обозначим зто решение через у= 7(х). Мы видим, что уе — — 7(хе). Для завершения доказательства теоремы нам осталось показать, что оператор 7 (х) является непрерывным.

Имеем 7" (х) = А (х, 7'(х)), откуда !! У (х) — У(хе)!/~(//А (х, У(х) ) — А (х, ((хе) )!!+ + /!А(х, 7'(хе)) — А(хе, 7'(хе))!!4д /!У(х) — У(хе)!!+ +!!(Р'("' У)Г'!!!!'Р(" «.)!! и, следовательно. /!.7(х) — У(хо)!!~( 1 — !! !р (хо' уо)! !!)!'р(»' уо)!! ( ) Мы видим, что оператор 7" (х) непрерывен в точке х . Аналогичным образок проводится доказательство непрерывности в других точках окрестности !/х — хе!/~(Ь.

Теорема доказана. Замечание 1. Согласно принципу сжатых отображений оператор 7 (х) может быть получен как предел последовательности операторов «=7'„(х),;!х — хе/! ~(Ь, !!.7а(х) — Уо!! 4е, определяемых равенствами Уо (х) = уо ~а ( ) ~а-1 ( ) ~гру 1~е' Уе)] 'р (»' .г а (х)), (10) )г=1, 2,... 470 АНАЛИЗ В ЛИНЗИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. Ч[Н При этом имеет место следующая оценка скорости сходимостн: ![У( ) — Л( П( —,' Йф„'( 0 уе)1 '~~)~ф(х уз)|! (1 ) 3 а м е ч а н и е 2, Если дополнительно известно, что в рассматриваемой окрестности ф'(х, у) существует н ограничена, 1[ф'(х, у)11 (а, то справедлива оценка [1 Т (х) — Т (хз) 1[ ( с, [[х — ха [['.

Действительно, в этом случае !1ф(х, Уо)[1=!~ф(х, Уз) — [Р(хо Уо)~1 (а (!х — хо[! и неравенство (9) дает требуемый результат. Замечание 3. Пусть ф' (х, у) ограничена, ))ф„'(х, у) 11 (а и [р'(х, у) удовлетворяет неравенству ~~ф„'(х, у) — ф'(х, у))! <а))х — х ))+Ь|(у —.у,)!. (13) Тогда справедлива следующая оценка быстроты сходимости: !~ Т (х) — гь (х) [[ ( сз [[х — хз 11~ [[ф (х, уз) [[. (14) Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 оператор <р(х, у) является и раз дифференцируемой функцией в некоторой окрестности точки (хз, уз) из В таас"; .

Тогда оператор у = 7(х) — также и раз дифференцируемая функцая х в Ь-окрестности точки хз. Предположим сначала, что ф(х, у) является многочленом ь [р(х, у) = ~~'., а„(х — хз, у — уз)". ь=! (12) и (Ь)=О, и„(Ь) = и,,(Ь) — В '[р(хз+Ь, уз+и„,(Ь)), В р !хз' уз)' Так как результат подстановки многочлена в многочлен снова приводит к многочлену, то методом математической Положим х — ха=Ь, у — уз=и, Т(х)=уз+и(Ь). Тогда оператор и(Ь) может быть получен как предел последова- тельных приближений ТЕОРЕМЛ О НЕЯВНЫХ ФЯНХЦНЯХ 47! индукции убеждаемся в том, что все и (И) являются много- членами от И.

В нашем случае все частные производные первого и второго порядков функции гр(х, у) непрерывны, а следовательно, и ограничены в некоторой окрестности точки (хш Уе). Поэтому (см. замечание 3) )~~и(И) — и„(И))((са)~ИП~ игр(хо+И Уо)1~ Так как и„(И) ЯвлЯетсЯ многочленом, а !)1Р(хе+И, Уе)!)-ьО при )(И() — ь О, то последнее неравенство означает, что и(И) а раз дифференцируема в точке И = О.

Следовательно, у =7(х) и раз дифференцируема в точке х= хе. Перейдем к общему случаю. По условию теоремы р(., у) = р(х, у)+Их — ха~~+Ь вЂ” уз~!)" ы(х — х, у — уа). где 1Р(х У) = ~ аа(х хв У Уо) а=! и ~~ы(х — ха, у — уе)()-ьО при (,'х — хе~1, !)у — УД вЂ” ьО. Так как функция гр(х, у) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и является многочленом, то существует л раз дифференцируемый оператор Я(х), для которого1р(х, 7(х))=-0. Из тождеств ~'(х) = В (Ву (х) — гр (х, 7 (х) ) ), ) (х)=В (Вт(х) — гр(х, )'(х))) получаем, что //7'(х) — 7'(х)(/ (()В ' ((,'!В(7(х) — Г'(х)) — 1Р(х, 7(х))+ + гр(х, 7(х)) — 1р(х, 7(х))+ гр(х, 7(х))Ц < ~(~~В '~!ЦВ(7'(х) — 7(х)) — (1Р(х, 7(х)) — 1Р(х 1'(х))Ц+ +!!В '/!(/1р(х, 7(х)) — 1р(х, 7(х))~/.

(!5) Введем в рассмотрение оператор В(х, у, у), положив 1Р (х, У) — 1Р(х, У) = 1 = / р'((х, у)+г(у — у))а17(у — у)= — В(х, у, у)(у — у). о АнАлиз В линеиных пРОстРАнстВАх 1гл. чп! Нетрудно видеть, что В(х, у, у) непрерывен по совокупности переменных и В(х, у, у) — ьВ при х — ьхо, у, у — эуо. В силу непрерывности операторов /(х) и /(х) можно указать такое Ь: ) О, что 11В '))() — В(х, /(х), /(х)))! (д ( 1 при 11х — х<Д (Ьо.

(16) Тогда из неравенства (15) получаем, что !~ / (х) — / (хЦ ( — 11 В ' ~) )/ гр (х, /(х) ) — гр (х, / (х) Ц. и следовательно, так как !//(х) — Уо() (с,11х — хо(1 (см. замечание 2), 11/(х) — /(х)',/-(г11гр(х, /(х)) — гр(х, /(х))11-( (с()(х — х 11+(!/(х) — Уо~()" (!ы(х — хо, /(х) — Уо)11 ( (с(1+с,)" 11х — х 11"1!ы(х — хо, /(х) — уо)11. Мы видим, что (17) / (х) — ' / (х). Так как оператор /(х) и раз дифференцируем в точке хо, то из последнего соотношения вытекает, что и оператор /(х) также и раз дифференцируем в точке хо.

Характеристики

Список файлов книги