Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 63
Текст из файла (страница 63)
сителыю е. Итак, ГДЕ Т„т(д) ЕСТЬ Л(ИОГОЧЛЕН СТЕПЕНИ НЕ ВЫШЕ ия( ОТНОСИ- тельно а, что н требовалось доказать. $ б. Дифференциалы н производные высших порядков О б о з н а ч е и и я. Пусть Е и Š— линейные нормированные пространства и у = г'(х) — абстрактная функция, определенная на Е„, с областью значений, расположенной в Е». Пусть х~Е„, у,= у((х)ЕЕ» и у»=уз(х)ЕЕ .
Символическое равенство у,(х)= у,(х) будет означать, что [[у((х) — у,(хЦ= о ([[ х [[") (у, (х) равно у»(х) с точностью до величины порядка выше и сравнительно с [[х[[). Можно доказать следующие утверждения: х х х 1. Если у[(х)-уз(х) и ут(х) уз(х), то у,(х) уз(х). 2. Если у((х)-уз(х), х=~Я) и ~($((=ОЦх(!), то й у' л уа' а б! лиФФВРенциллы и пРОизВОл. Высших пОРялкОВ 457 3.
Если Р(а) и Я(а) — многочлены от 7г с совпадающими коэффициентами при членах первых а степеней, т. е. л Р (й) — Я (а) = ~~Р~ а „)г~. Е=ь Ш то Р (й) = Я (й) . Будем предполагать, что операции умножения, фигурирующие в последующих формулах, имеют смысл. 4. Если йА(х)~( ограничено в окрестности х= О и у, (х) = уз (х), то А (х) у, (х) — А (х) уз (х). Аналогично у, (х) А (х) = уе (х) А (х). 5. Если у(х)=у,(х), г(х)=гг(х), то у (х) г (х) = у, (х) г, (х). В самом деле, в силу свойства 4 у (х) г (х) = у (х) г1(х) = у1 (х) г1(х) Отсюда и из свойства 1 следует свойство 5. Формула Тейлора. Мы определили сильный дифференциал первого порядка, рассматривая аппроксимацию функции у (х + )г) многочленом первой степени относительно 7г. Пусть теперь существует многочлен Р„()г) .= а,И + аеИЗ+ ... + а„))" степени и относительно а такой, что 7" (х + 7г) — У' (х) = Р„(а), т, е.
у(х+Ь) — у (х) =Р,(й)+ ге„(х, й), где /~ь)„(х, а)!)~(е()(Ь//) )/Ь//", е((/7гя) — ьО при (!7г/!-эО. (2) Многочлен Р„(а) назовем конечной строкой Тейлора и-й степени для функции 7 (х + а), его а-й член, 458 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЧП[ умноженный на п1, назовем и-Аь сильным диффереициалол функции г'(х), а функцию у(х) и раз дифференцируемой в точке х. Обозначая п-й сильный дифференциал через й'у'(х, й), имеем й "У (х, й) = и! а„й". Соответствующая й" Г (х, Ь)'симметрическая и-линейная форма имеет вид ! У(» йо Ьа...„д„)=П! а„й, ° йю Эту и-линейную форму а„назовем п-й сильной производной функции у(х) в точке х и обозначим у[л!(»). Таким образом, й"у'(х, й)= у["!(х) й".
и формула (1) принимает вид Г(х+ й) — у(х) = Г'(х) и+ — ул (х) пз+ ... + —, у'"' (х) й". Заметим теперь, что й"у(х, й)= —,",л у(х+Иц,, В самом деле, из (1) следует л-1 Г (х+ьй) Г (х)+ ~~;~~ гьа Ьь+ [ла Ь + а(х[ ьй) ь=! где р !!н (х[ [А) !! = 0 [нп !+о Имеем 4 б1 ДИФФЕРЕНЦИАЛУ И ПРОИЗВОД, ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 452 и, наконец, йе б" Ф(х; Г«) ~ А~.
о (ас)" О=о л — ! Х( ) Сы(х [Ь 2)Л ) =о В силу (2) имеем при Л1-ь 0 Ф '[х, [« — — ) АР«) (ьг)п откуда Пь †„ ы (лц ~«)[, , = О. В таком случае й" г (х, Ь) = п! а „Ь" = — „У (х + Ж [, о. Если й"г (х, Ь) существует в некоторой области, причем соотношение (2) выполняется в этой области равномерно относительно х, то мы будем называть с("((х, Ь) равномерным сильным дифференциалом. В этом случае в правой части (3) стоит равномерная разностная производная. Введем теперь другое определение и-го дифференциала. Пусть первый дифференциал йу(х, Ь) =Г"'(х) «существует в окрестности точки х. функции у'(х), а значит, и с(Г'(х, «) могут быть в свою очередь дифференцируемы по х. Мы приходим ко второму последовательному дифференциалу й[и'Г(х, Ь), «,[=й[Г'(х) Ь.
Ьг[=йу'(х, Ь,)«. Обозначая ~У (х' «1) =У (х)о «ь назовем Ги(х)о второй последовательной производной. Имеем йЩ(х. Ь), «г[=ут(х)о«1«= — „Е/(х+ Фг«Р «) [, 1 = о. 1 д у(х+И-[-гА)!, ) ~ 1 н=о дь =,к дс У'(х+'Ь+'ь«г) [п=г=о. 1 460 АНАЛНЗ В ЛННЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ (ГЛ. Ч!П Аналогично определяется п-й последовательный дифференциал, а ниенна, з предположении, что су>цествует (и — 1)-й последовательный дифференциал Д(Д(, . (Дг (х, Ь>) ) /12 . ° ) Лл 1) — г (х)о Ьл 1йп 2... Л1 и что этот дифференциал как функция от х дифференци- руЕИ. т.
Е. Чта У(п-1>(Х)О днффЕрЕНцнруЕМа, ПОЛуЧаЕМ Д(Д(Д( (Дг (Х Ь1)й2) ' )й 1)йл) =ДО'" Н(Х йл->йгг- "1 йгл)= = Дг (»' )гп))гл-1)гл-2 ' ' ' г!' (4) Вводя обозначение де(л — '>(х, ггл) = Г(л>(х)ойл, получим и-ю последовательную производную Г(п>(х)о и Д(Д(Д(... (Дг (х, й()) Лг...) Лл 1) йл) = = Г(л)(х),Лейл , ... Ьн Равенство (4) принимает вид дл1 (Х; Ьл, )гл 1...., й>) = у(л)(Х)О йлйл 1 .
Ь1 = л дл +~в А) Л г,=г,= ... =ге=о Полагая Ь, = Ь = ... = Ьл = Л, получаем гл Д'У (Х. Ь) = г(л) (Х)О Л" = — гг У (Х+ Гй) ),, (5) Из совпадения непрерывной равномерной разностной п-й производной с последовательной (см. стр. 410) и формул (3) и (5) вытекает предложение: если в области О существует и-й равномерный сильный дифференциал Д"г(х. Ь), непрерывный по х, то в (г существует и и-й последовательный дифференциал Д"Г(х, Л)о, причем д"у(х. Л)о=д"у(х.
Ь), или Г (л) (х) — у(л) (х) ьы днааагенциллы и пгоизвод, высших поиядхов Обратно, пусгпь существует и-й последовательный дифференииал й"У(х. Н), =Уии(~),Н" причем утт(х) есть равномерно непрерывнан фуннИип от х в некогпорой области О. Тогда в атой же области существует совпадающий с ним п-й равномерный сильный дифференииал. Докажем вто предложение индукцией по п. При и=1 предложение тривиально. Пусть оно верно для и — 1. Так как у'"(х).
=(у'(х)е)"-О то имеем тогда у (х+Н),= у (х),+у (х),Н+ — у (х)еН~+ ... ... +, учю(х)еН" +са(х; Н). где !!гв(х; НН! <е„,(М)!1Н!!" ', е„,(и) — ьО при и — ьО. Отсюда при О (Ю (! у'(х+ гН)е=/'(х)а+г~" (х)а И+ 2 Гу"'(х)еН~+' ... + г" у'Ю(~) Н" + (х; И). где 'ую( .; Иц (е„,(С аН~~)С" ' )(Н|!" ' <е„,(! ~~На) ~~Н 11" '. По атому ~(х+Н) 1(х) = ~~ (х+и, Н й1 = е 1 ~ ~У'(х)а+1Ув(х),Н+ —,, РГ'ю(х)еН'+ ...
а ... + ',, 1" 'Уоо(х)ай" ') Ий(+В„. АнАлиз В линейных НРостРАнствлх ~гл. чн! где )11„= У ы (х; И) л Л. о Отсюда у(х+ й) — у(х)+ у (х)ой+ — у (х)оЬ + +,а, У- ( ),Ьз+ ... ++~")(х),Л" + Р„, 1 Р„~! < У !!ы(х; и) ~! ~~л ~~ ж <е„(!~ь~~) ~!ь~~", о е„(п)-эО при и — эО. Таким образом, сумма в правой части последнего выра- жения для у (х+ Ь) есть строка Тейлора для функ- ции у (х) и УЧ (х1о Л" = г("у ( . й), т.
е. ("У(х, й1о — ("У(х, й), что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь и-ю производную сложной функции и произведения. Е Пусть у = 1р(х), х =ф(у), х ~Е~, у ц Ью г ~ Е;, тогда я=У(х), где У" (х)=ф(1Р(х)). ПУсть Уо=1Р(хо) и хо=ф(Уо)=У'(хо). Если 1Р(х) и ф(У) и Раз днффеРенцируемы соответственно в точках х„и уо, то и у (х) и раз дифференцируема в точке х„.
В самом деле, по предположению в Е существует многочлен и-й степени )о„(л) такой, что р(х,+ Л) — р(х,) =„Р„(Л). Ь С другой стороны, в Е„определен миогочлен и-й степени (,1, (д) такой, что ф Гуо+ Е) — 1Р (Уо) =„Оа М) В частности, при К= р(хо+ л) — р(хо) а а1 дИФФеРенциАлы и пРОизВОд. Высших пОРядКОВ 468 и, следовательно, при <р (хо+ Ь) = ф (хо) + К = уо+ В имеем «о+й) — у (хо) ф(ф(хо+ й)) ф(ф(хо))+(~ ® (6) Но а=ф(х.+Д) — <Р(хо)=„Р.( )' л поэтому О.(д) ~ д.(Р.(й)).
В силу свойства 2 многочленов, Я„(Р„(л)) есть многочлен относительно л. Этот многочлен может быть аппроксимирован с нужной точностью многочленом Йо(л) и-й степени относительно Ь вЂ” отрезком многочлена (ео(РР(гг)) СР (л ) = д (Р (й) ) = Д (й). (7) Далее, так как функция ф дифференцируема в точке хо, то )(д/)=()гр(хо+и) — ~р(х ) ! = 0((/й,'(), поэтому символ — можно заменить символом —, и равенн Ь л л ' ство (6) примат вид У(хо+ й) — У(хо) =„().
(8). в Отсюда и из (7) следует У(хо+А) — У(хо) л Й. (Уг) А (8) Существование многочлена )г„(л), удовлетворяющего соотношению (8), доказывает наше предложение. Если ф(х) и ф(у) и раз непрерывно дифференцнруемы по х, то и у(х)=ф(ф(х)) л раз непрерывно дифференцируема по х. В самом деле, в этом случае коэффициенты многочленов Р„(й) и Яо(л) суть непрерывные функции от х. Значит, и коэффициенты многочлена Я„(Р„(л)) суть непрерывные лба лнллиз в лиивиных пвостглнсгвлх !гл. ч!!! функции, а следовательно, и коэффициенты многочлена )т„(И) также непрерывные функции от И.
2. Пусть хЕЕ, у=/(х)сЕг, л=!р(х)сЕ, и определено произведение и элементов у~Е„и г~Е,, принадлежащее Е„. Если у(х) и !р(х) суть п раз непрерывно дифференцируемые функции от х, то и Е (х) = У (х)!р(х) и раз непрерывно дифференцируема по х. В самом деле, ~( -(-И) И~( )-(-Р.(И) ( -')-И) Иф( Н-д (И) где Р„(И) и Я„(И) суть многочлены и-й степени по И: О л Р„(И) = ~~ аа (х) И", ('„!„(И) = ~ч~~ Ь„(х) Иь., Ф=! в=! причем коэффициенты аа(х) и Ь„(х) — непрерывные функции от х. Отсюда у (х+И) юр(х+И) — /(х) <р(х)-+ +!У (х) (эл (И)+ Ри (И) !Р (х)+! л (И) Ял (И)1' Выражение, стоящее в скобках, есть многочлен с коэффициентами.
являющимися непрерывными функциями от х. Отбросив члены, содержащие И в степени выше н-й, получим многочлен )т'„(И)= ~ с (х)И~ «=! с коэффициентами, являющимися непрерывными функциями от х: У( ) а„(И)+ Р„(И) Ф(х)+ Р„(И) а„(И) Ф Л. (И). Поэтому у(х+-И) ср(х+-И)=у (х) !р(х)+!с„(И), (9) и равенство (9) доказывает, что Г (х) = у (х)<р(х) есть и раз непрерывно дифференцируемая функция от х. 5 Гс ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 4Г5 Заметим в заключение, что для функционалов, определенных в комплексных линейных пространствах, из существования первого дифференциала в окрестности некоторой точки следует существование в ней всех дифференциалов высшего порядка, а также представимость функционала аналогом ряда Тейлора.
5 7. Дифференцирование функций двух переменных Рассмотрим функцию двух переменных ср(х, у), где х ~ Е„, у~Е, ср(х, у)~Е,. Можно рассматривать (х, у) как элемент прямой суммы Е Я Ет пространств Е и Е„. Функция ср(х, у) называется а раз дифферекцируемой а точке (хо, уо), если цс(хо+И, уз+я) — Ф(хо, уо) ' а,(И. Ю')+ (й я) + а, (й, К)'-+ ... + а„(й, И')". и с (хо+И) с (хо)' У(хо+И) =уо+ь а Р„(й) = асй+ лойе-+ ... -+ а И". то Тогда ((у(~ = 0(йй)(), а значит, й(й, д))! = ()ИСС+ ()Е)! = ОЦИ1С). (2) Здесь аь(й, а)" — однородные формы й-й степени элемента (й, к) Е Е„Я Ею Очевидно, аь(й, У)ь есть сУмма й-линейных форм вида аьй,й, ... й, где каждое из Ис равно И илн е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
