В.В. Еремин, И.А. Успенская, С.И. Каргов, Н.Е. Кузьменко, В.В. Лунин. Основы физической химии (1134485), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

e x + y = e x ⋅ e y2. e x − y = e x / e y3. (e a ) b = e ab4. e0 = 115. e − x = xeln x6. e=xx7. e = 10 x lg e ≈ 10 0.4343 x( )8. Производная показательной функции: e x′= ex9. Показательная функция мнимого аргумента: e ix = cos x + i sin x .ПриложенияНатуральный логарифм ln xln x = log e x1. ln( xy ) = ln x + ln y2. ln( x / y ) = ln x − ln y( )3. ln x y = y ln x4.

ln 1 = 05. ln(1 / x) = − ln x( )6. ln e x = x7. ln x = ln(10) ⋅ lg x = 2.303 ⋅ lg x′8. Производная натурального логарифма: ( ln x ) = 1 / xФакториалОпределение:N ! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ N (N – натуральное число), 0! = 1.Обобщение факториала на дробные числа – гамма-функция:∞x ! = Γ( x + 1) = ∫ t x e −t dt .0Оценка факториала при больших значениях аргумента (формула Стирлинга):ln N ! ≈ N ln N − N (N >> 1).ПроизводнаяОпределение:f ( x + ∆x ) − f ( x )d.f ( x) = lim∆x → 0∆xdxГеометрический смысл:f ′(x) = tgα, где α – угол наклона касательной к графику функции f(x) вточке x.Производная суммы:ddd[ af ( x) + bg ( x)] = a f ( x) + b g ( x) (a, b = const)dxdxdxПроизводная произведения:ddd[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) g ( x) + g ( x) f ( x)dxdxdxПроизводные простых функций:d ax = ax a −1dxd axe = ae axdxf ′( x) ≡429Приложения430d1ln x =dxxdsin(ax) = a cos(ax)dxdcos(ax) = − a sin(ax)dxПроизводная сложной функции:dddf ( g ) ⋅ g ( x) .⎡⎣ f ( g ( x) ) ⎤⎦ =dxdgdxПроизводные функции нескольких переменныхЧастная производная функции f(x, y) по переменной x:f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )⎛ ∂f ⎞f x ' ≡ ⎜ ⎟ = lim.∆x⎝ ∂x ⎠ y ∆x →0Частная производная по одной из переменных рассчитывается при постоянных значениях всех остальных переменных.

Частные производныетакже являются функциями нескольких переменных.Свойства частных производных:⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂y ⎞⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f ⎞1) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ∂x ⎠ z ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ z1⎛ ∂y ⎞2) ⎜ ⎟ =⎝ ∂x ⎠ z ⎛ ∂x ⎞⎜ ⎟⎝ ∂y ⎠ z⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −1 (цепное соотношение Эйлера)⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂z ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ yВторые частные производные:⎛ ∂2 f ⎞∂ ⎛ ∂f ⎞⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ – чистая вторая производная⎝ ∂x ⎠ y ∂x ⎝ ∂x ⎠ y∂2 f∂ ⎛ ∂f ⎞= ⎜ ⎟ – смешанная вторая производная∂y ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ yСоотношение взаимности: смешанные частные производные дваждыдифференцируемой функции равны друг другу независимо от порядка∂2 f∂2 fдифференцирования:.=∂y ∂x ∂x∂yПолный дифференциал функции двух переменных:⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f ⎞df = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy .⎝ ∂x ⎠ y⎝ ∂y ⎠ xВыражение M ( x, y )dx + N ( x, y )dy является полным дифференциаломнекоторой функции двух переменных в том и только в том случае, когда⎛ ∂M ⎞⎛ ∂N ⎞⎜⎟ =⎜⎟ .⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ yПриложения431ИнтегралЕсли F ′( x) = f ( x) , то функция F(x) называется первообразной дляфункции f(x).Неопределенный интеграл∫ f ( x)dx = F ( x) + C , где C – постоянная интегрированияСвойства неопределенного интеграла1.

Интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции:dg ( x)∫ dx dx = g ( x) + Cd ⎡f ( x) dx ⎤⎦ = f ( x)dx ⎣ ∫2. Интегрирование – линейная операция:∫ [ af ( x) + bg ( x)] dx = a ∫ f ( x)dx + b∫ g ( x)dx, где a и b – константы3. Интегрирование по частям:∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx4. Простейшие неопределенные интегралыx n +1n=+ C (n ≠ −1)xdx∫n +1dx∫ x + a = ln x + a + Ce axaxedx=+C∫acos(ax)∫ sin(ax)dx = − a + Csin( ax)∫ cos(ax)dx = a + C∫ ln( x)dx = x ln x − x + СОпределенный интегралb∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) , где a и b – пределы интегрированияaСвойства определенного интеграла1. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак:b∫aaf ( x)dx = − ∫ f ( x)dxb2. Определенный интеграл – линейный функционал:bbbaaa∫ [cf ( x) + dg ( x)] dx = c ∫ f ( x)dx + d ∫ g ( x)dx(c, d = const)3.

Область интегрирования можно разбивать на несколько частей:b∫acbacf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dxПриложения4324. Замена переменных:bu (b )au (a)dx∫ f ( x)dx = ∫ f [ x(u)] du du5. Интегрирование по частям:b∫abbf ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) a − ∫ f ′( x) g ( x)dxa6. Некоторые определенные интегралы∞∫e−∞∞∫− ax 2dx =π(Re a > 0)aπ (2n − 1)!!⋅(Re a > 0)a 2n ⋅ a n2x 2 n e − ax dx =−∞∞∫x2 n +1 − ax 2en!dx =2a n +10∞∫e− axdx =0∞∫xn − axe(Re a > 0)1adx =n!0a n +1ππ00(n ≥ 0)22∫ sin (nx)dx = ∫ cos (nx)dx =∞∫e− axcos(bx)dx =0∞∫e− axsin(bx)dx =0a2a + b2b2a + b2π(n – натуральное число)2(a > 0)(a > 0)Степенные рядыРазложение в рядРяд Тейлора:∞f ( n ) (a )f ( x) = ∑( x − a) nn!0=nРяд Тейлора–Маклорена:∞f ( n ) (0) nf ( x) = ∑xn!n =0Элементарные функции:∞xnex = ∑n =0 n !∞sin x = ∑ (−1) nn =0x 2 n +1(2n + 1)!Линейное приближениеf ( x) ~ f (a) + f ′(a)( x − a)f ( x) ~ f (0) + f ′(0) xe x ~ 1+ xsin x ~ xПриложенияx 2n(2n)!n =0kk!(1 + x) k = ∑xn!()!nk−nn =0∞1= ∑ xn1 − x n =0∞cos x = ∑ (−1) n433cos x ~ 1(1 + x) k ~ 1 + kx11− x~ 1+ xxnln(1 + x) ~ xnn =1Равномерно сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать:∞f ( m +1) (0) mdd ∞ f ( n ) (0) n ∞ f ( n ) (0) n −1≡∑f ( x) =x =∑xx∑dxdx n =0 n !m!n =1 ( n − 1)!m =0∞ln(1 + x) = ∑ (−1) n +1Пример:∞dd ∞x 2 n +1x 2nsin x =( −1) n= ∑ ( −1) n= cos x∑dxdx n =0(2n + 1)! n =0(2n)!⎛∞∫ f ( x)dx = ∫ ⎜⎜ n∑=0⎝Пример:f∞(0) n ⎞f ( n ) (0) n +1x ⎟ dx = ∑x +C⎟n!n = 0 ( n + 1)!⎠(n)∞∞dxx n +1n=xdx=+ C = − ln(1 − x) + C∑∫ 1 − x ∫ n∑=0n =0 n + 1Раскрытие неопределенностей 0/0Если f(x) = p(x) / q(x), где p(x) и q(x) непрерывны и дифференцируемынужное число раз, и если p(a) = q(a) = 0, тоp ( x)p ′( x)= limlim,x →a q( x)x → a q ′( x )если этот предел существует.Доказательство основано на линейном разложении функций p(x) и q(x)в ряд вблизи точки a:p ( x)p (a) + p ′(a )( x − a )p ′(a )( x − a ) p ′(a )= lim= lim=limx →a q( x)x → a q ( a ) + q ′( a )( x − a )x → a q ′( a )( x − a )q ′(a)eax − ebxaeax − bebx= lim= a−bx →0x →01xПример: limДельта-функцияДельта-функция, или функция Дирака δ(x) определяется условием:∞∫f ( x)δ( x)dx = f (0) ,−∞где f(x) – произвольная функция, непрерывная в нуле.Из определения следует, что дельта-функция равна 0 при всех x, кромеx = 0, где она имеет бесконечно большое значение, такое, что∞∫ δ( x)dx = 1 .−∞Приложения434Дельта-функция представляет собой производную от ступенчатойфункции Хевисайда:dδ( x ) =H ( x) ,dx⎧0 при x < 0⎪1⎪где H ( x) = ⎨ при x = 0⎪2⎩⎪1 при x > 0Свойства дельта-функции11) δ(ax) = δ( x), a > 0a2) δ(− x) = δ( x) ,3) f ( x)δ( x) = f (0)δ( x) ,4) δ( f ( x)) = ∑i1δ( x − x i ) , где xi – корни уравнения f(x) = 0.f ′( x i )Интегральное представление дельта-функцииδ( x ) =∞1iωx∫ e dω2π −∞Аппроксимации дельта-функции (δ(x,α) → δ(x) при α → ∞)11⎧<x<⎪α при −1) δ( x, α) = ⎨2α2α⎪⎩0 при остальных x1α⋅π 1+ α 2 x 2αexp(−α 2 x 2 )3) δ( x, α) =πα sin(αx)4) δ( x, α) =π αx2) δ( x, α) =Дифференциальные уравненияОсновные уравнения закона действующих масс в химической кинетикесводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка видаdx= f ( x, t ) ,dtгде x(t) – концентрация или давление, t – время, или к системам дифференциальных уравнений первого порядка⎛ x1 (t ) ⎞ ⎛ f 1 ( x 1 ,..., x n , t ) ⎞d ⎜⎟ ⎜⎟K ⎟ = ⎜K⎟dt ⎜⎜⎟ ⎜⎟⎝ x n (t ) ⎠ ⎝ f n ( x 1 ,..., x n , t ) ⎠Приложения435Метод разделения переменныхdx= f ( x ) c начальным условием x(0) = 0dtdxf ( x)Уравнение первого порядкаxимеет общее решение: t ( x) = ∫0УравнениеНачальное условиеРешениеdx= − kxdtx(0) = ax (t ) = ae − ktdx= k (a − x)dtx(0) = 0dx= k (a − x) n , n ≠ 1dtx(0) = 0dx= k ( a − x)(b − x) ,dta≠bx(0) = 0dx= − kx + f (t )dtx(0) = at ( x) =1alnk a−x(x(t ) = a 1 − e − ktt ( x) =)1 ⎛11 ⎞−⎜⎟k ( n − 1) ⎝ (a − x) n −1 a n −1 ⎠t ( x) =1(a − x)blnk (a − b) (b − x)at⎛⎞x(t ) = e − kt ⎜ a + ∫ f (t )e kt dt ⎟⎜⎟0⎝⎠Матрицы и определителиЕсли m⋅n выражений расставлены в прямоугольной таблице из m строки n столбцовA = a ika11 a12a 21 a 22=......a m1 a m 2.........a m3a1na 2n,...a mnто говорят о матрице размера m × n.

Выражения aik называют элементамиматрицы. Матрица A размера n × n называется квадратной. Квадратная матрица порядка n называется:• диагональной, если aik = 0 для всех i ≠ k,•единичной, если a ik = δ ik ={0 при i ≠ k.1 при i = kЭлементы, стоящие на диагонали квадрата, выходящей из левого верхнего угла в правый нижний, называют главными диагональными элементами.

Характеристики

Список файлов книги