В.В. Еремин, И.А. Успенская, С.И. Каргов, Н.Е. Кузьменко, В.В. Лунин. Основы физической химии (1134485), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При 3 < r < r∞ = 3.5699456… предельного значения нет: численность популяции, независимо от начального значения x0, колеблется между несколькими значениями, число которых равно 2k, k = 1, 2, … ∞ в зависимости от r. Такой режим называют периодическим.4. При r∞ < r < 4 поведение системы становится полностью хаотическим и непредсказуемым. При увеличении n численность популяцииможет принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор {xn}имеет свойства случайной последовательности чисел.Таким образом, при изменении параметра r, который определяетроль нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до хаотического:ПоведениеРавновесное13ХаотическоеПериодическоеРис.
28.12r∞4rВо многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесныесистемы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временнуюГ л а в а 6. Элементы неравновесной термодинамики409структуру; процесс образования таких состояний называют самоорганизацией. Многочисленные исследования в области нелинейной динамики показали, чтоСамоорганизация возможна в нелинейных, сильно неравновесных системах в определенном диапазоне изменения управляющих параметров.Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между двумя горизонтальными плоскостями.
Когда температуры верхней инижней границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жидкость является совершенно однородной. Вывести жидкостьиз состояния равновесия можно путем небольшого подогрева нижнегослоя. При постоянном подводе теплоты в системе установится стационарное состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнегослоя к верхнему, а свойства жидкости – температура и плотность – буа)дут линейно изменяться от теплойобласти к холодной.
Такое явлениеназывают теплопроводностью. Оноописывается уравнениями линейнойнеравновесной термодинамики.При увеличении разности температур между нижним и верхнимслоями наблюдается новое явление:при ∆T, превышающем некотороеб)критическое значение ∆Tc, жидкостьT1 < T2структурируется в виде небольшихячеек – так называемых ячеек Бенара(рис. 28.2.а). Жидкость в этих ячейках находится в движении – такойрежим называют тепловой конвекцией, причем в соседних ячейкахнаправление вращения потоков жидкости противоположно (рис. 28.2.б).а) Ячейки Бенара.
б) ДвижениеОбразование ячеек Бенара – примержидкости в ячейках Бенарасамоорганизации в сильно неравновесной системе.Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства:1) нарушение симметрии системы – при образовании ячеек Бенаражидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается;2) бистабильность – в организованной системе возможно несколькоустойчивых стационарных состояний (в ячейках Бенара – с левымили правым вращением потока жидкости), причем выбор междуними происходит случайным образом.T2Рис. 28.2Г л а в а 6.
Элементы неравновесной термодинамики410Зависимость стационарных свойствсистемы от управляющих параметровназывают бифуркационной диаграммой. Типичная бифуркационная диаграмма представлена на рис. 28.3.При λ < λc существует единственλcλное устойчивое стационарное состояВлияние управляющегоние. Эту область изменения λ назыпараметра λ на стационарноевают термодинамической ветвью.свойство X системыПри переходе через критическое значение λc происходит бифуркация – устойчивое стационарное состояние становится неустойчивым (показанопунктиром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния(бистабильность).
К какому из этих двух состояний перейдет система изнеустойчивого состояния, определяется случайными флуктуациями.Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенараприведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когдасвойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мереотклонения от равновесия жидкость проходит через последовательностьрежимов:XРис. 28.3Равновесие0ЛинейныйрежимСамоорганизацияХаос∆Tc∆TЭта последовательность является довольно общей для многих видовсистем – физических, химических, биологических, социальных.Устойчивость стационарных состоянийПринципы анализа устойчивости продемонстрируем на примередвумерной динамической системы:(28.4)⎧ dx⎪⎪ dt = f ( x, y ).⎨⎪ dy = g ( x, y )⎪⎩ dtПусть стационарное состояние описывается координатами x = y = 0.Вблизи этого состояния система уравнений (28.4) является линейной:(28.5)⎧ dx ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f ⎞y⎪ =⎜ ⎟ x+⎜ ⎟⎝ ∂y ⎠ y = 0⎪ dt ⎝ ∂x ⎠ x = 0.⎨⎪ dy = ⎛ ∂g ⎞ x + ⎛ ∂g ⎞y⎜ ⎟⎪ dt ⎜⎝ ∂x ⎟⎠y∂⎝⎠0x=0y=⎩Г л а в а 6.
Элементы неравновесной термодинамикиПредставив решение в виде x = exp(λ1t), y = exp(λ2t), сведем систему дифференциальных уравнений (28.5) к системе линейных алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существуетпри условии:⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ −λ⎝ ∂x ⎠ x = 0⎝ ∂y ⎠ y = 0=0.⎛ ∂g ⎞⎛ ∂g ⎞⎜ ⎟ −λ⎜ ⎟⎝ ∂x ⎠ x = 0⎝ ∂y ⎠ y = 0411(28.6)Это – квадратное уравнение видаλ2 – bλ + γ = 0,(28.7)оно имеет два корня:λ 1,2b ± b 2 − 4γ.=2(28.8)Стационарное состояние будет устойчивым, если действительныечасти обоих корней отрицательны: Re{λ1,2} < 0. В этом случае любоеотклонение от стационарного состояния со временем экспоненциальнозатухает.
Когда хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, Re{λi} > 0, стационарное состояние неустойчиво, малыеотклонения со временем экспоненциально растут. Если оба корня –чисто мнимые1, то система имеет нейтральную устойчивость и совершает периодическое движение по замкнутой траектории вокруг стационарного состояния.Линейный анализ устойчивости не позволяет описать динамику системы при удалении от неустойчивого стационарного состояния.
Для полного понимания надо исследовать нелинейные эффекты (пример 28-2). Внелинейных системах устойчивые стационарные состояния могут представлять собой не только отдельные точки, как в линейном режиме, но ицелые траектории или поверхности. Такие состояния называют аттракторами, так как они «притягивают» к себе все близлежащие траекториив фазовом пространстве. В системах с тремя и более измерениями аттракторы могут представлять собой фрактальные объекты дробной размерности, их называют странными аттракторами.
Первый странныйаттрактор был открыт Э. Лоренцем в 1963 году при исследовании нелинейной системы уравнений, описывающих динамику атмосферы:⎧ dX⎪ dt = σY − σX⎪⎪ dY= −Y + rX − XZ .⎨⎪ dt⎪ dZ⎪ dt = −bZ + XY⎩1То есть действительная часть равна 0.(28.9)412Г л а в а 6. Элементы неравновесной термодинамикиухРис. 28.4Аттрактор Лоренца приr = 28, σ = 10, b = 8/3Эта система обладает очень богатымрепертуаром различных сценариев поведения, зависящих от управляющих параметров r, σ, b. Один из странных аттракторовдля этой системы изображен на рис. 28.4.При увеличении размерности сложность динамических систем стремительновозрастает.Общей теории нелинейных динамических систем, находящихся вдали от положения равновесия, не существует.
Сочетание нелинейности и неравновесностиможет приводить к невероятно сложномудинамическому поведению, в которомбольшую роль играют флуктуации и неустойчивость к начальным условиям. Именнотакие системы являются типичными в нашей жизни, и именно поэтому изучениеокружающего мира представляет огромныйинтерес для исследователей.ПРИМЕРЫПример 28-1. Модель «хищник-жертва», предложенная Лоткой иВольтеррой, включает следующие реакции:A+XX+YYk1k2k32X2YD ,где концентрация A – управляющий параметр. Найдите стационарныесостояния этой системы и определите их устойчивость в линейном приближении.Решение.
Система кинетических уравнений для X и Y имеет вид:⎧ dX⎪⎪ dt = k1 AX − k 2 XY.⎨⎪ dY = k XY − k Y23⎪⎩ dtПриравнивая нулю правые части этой системы, находим два стационарных состояния:1) X0 = 0, Y0 = 0;2) X0 = k3 / k2, Y0 = k1A / k2.Г л а в а 6. Элементы неравновесной термодинамикиОпределим их устойчивость.1) Вблизи X0 = 0, Y0 = 0 система уравнений в линейном приближении имеет тривиальный вид:dX= k 1 AXdtdY= − k 3Ydtи решение, которое является неустойчивым по координате X:⎪⎧ X (t ) = X (0) exp ( k1 At ) .⎨⎪⎩Y (t ) = Y (0) exp ( −k 3 t )Любая небольшая флуктуация числа «жертв» – X – будет экспоненциально возрастать со временем, поэтому данное стационарное состояние неустойчиво.2) Вблизи ненулевого стационарного состояния система уравненийприобретает вид:⎧ dx⎪⎪ dt = − k 3 y,⎨⎪ dy = k Ax1⎪⎩ dtгде x = X – X0 и y = Y – Y0 – отклонения от стационарного состояния.Для этой системы уравнение на собственные значения (28.6) выглядит следующим образом:−λ − k 3=0k 1 A −λи имеет чисто мнимые, комплексно сопряженные корни:λ1,2 = ±i(k1k3A)1/2.Это соответствует нейтральной устойчивости.
В стационарном состоянии переменные X и Y испытывают периодические колебания с частотой (k1k3A)1/2. При малом возмущении этого состояния система перейдет в другое стационарное состояние с периодическими колебаниями.В этой системе управляющие параметры не влияют на устойчивостьстационарных состояний.О т в е т .
Два стационарных состояния – неустойчивое и нейтральное.Пример 28-2. Нелинейная динамическая система Пуанкаре описывается уравнениями:⎧ dx22⎪⎪ dt = αx + β y − x( x + y ).⎨⎪ dy = −β x + αy − y ( x 2 + y 2 )⎪⎩ dt413414Г л а в а 6. Элементы неравновесной термодинамикиНайдите стационарные состояния этой системы, определите их устойчивость и постройте бифуркационную диаграмму.Решение. Заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ система Пуанкаре приводится к виду:⎧ dr3⎪⎪ dt = αr − r,⎨⎪ d ϕ = −β⎪⎩ dtоткуда непосредственно следует: ϕ(t) = ϕ0 – βt.
Приравнивая нулю правую часть первого уравнения, находим стационарные состояния:1) r0 = 0;2) r0 = α (α > 0).При α < 0 имеем единственное устойчивое стационарное состояниеr0 = 0. При α > 0 оно становится неустойчивым, но появляется второестационарное состояние, в котором система совершает равномерное периодическое движение по окружности.
Стационарные состояния такоготипа называют предельными циклами. Определим его устойчивость.Придадим окружности небольшое возмущение: r = α + δr и посмотрим, как оно изменяется со временемd δr= α( α + δr ) − ( α + δr ) 3 = −2αδr − 3 α (δr ) 2 − (δr ) 3 ~ −2αδr ,dtδr (t ) = δr (0) exp ( −2αt ) .Возмущение экспоненциально затухает, поэтому предельный цикл –устойчивый, он притягивает к себе все соседние траектории.Бифуркационная диаграмма:r0уст.уст.неуст.0αТочка бифуркации: α = 0.О т в е т . При α > 0 имеется устойчивый предельный цикл.ЗАДАЧИ28-1. С помощью численного эксперимента определите, в каком диапазоне значений r численность популяции (28.3) колеблется между 4 значениями.Г л а в а 6. Элементы неравновесной термодинамики28-2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
