Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 31
Текст из файла (страница 31)
при постоянном )ь) (/) Т) я ~ (~Т)и. (2) Так как (ЬТ)ее == Е)/Ст к, а (/гТ)„= ~)/Сг, „, неравенства (2) и (1) имеют один и тот же смысл. 3 а м е ч а н и е. В случае постоянного давления нельзя рассматривать теплоемкость Ср, „для однокомпонентной спстемы, так как в этом случае переменнйе Т, р и )у не являются незави. спмыми, а связаны уравнением Гиббса — Дюгема. 24. Эта задача аналогична задаче 19 в гл. 1 и задаче 14 в гл. 2; ее решение, однако, можно упростить, используя якобваны.
Имеем / дМ ) д(М, 5) д(М, 5) д(М, Т) д(Н, Т/ '(а ( дН /в д(Н, Я) д(М, Т) д(Н, Т) д(Н, Я) (дд/дТ)ел(дМ/дЕ1)т (дМ/дН)т Т(дд/дТ)м См (дЗ/дТ)п Т (дд/дТ)я Сп Проводя преобразования, аналогичные (3.39), находим С =Т/д8) =Т д(Н,М) =Т д(г,МНд(Т,Н) ( дТ /м д(Т, М) д(Т, М)/д(Т, Н) (дМ/дН)т (дм/дн)т ( ( дт )и (д11 )/т ( де/ )/т (( дт 1нч (дМ/дТ)в (дМ/дТ)й ( дТ /и (дМ/дН)т П (дМ/дН)т () При переходе к последней строке мы применили соотношение Максвелла (2) Это соотношение получается, если вместо е)/с = — Яе/Т+Нс)М рассмотреть Ре=-Р— НМ и с)г в = — Я оеТ вЂ” М е)Н.
(3) (Здесь все величины Я, М, См и Сн определены на единицу массы магнетика.) 191 РяШяиия 25, В соответствии с условием эадачи дн(т, о) ь Т ' = — См=о= — ° = =Те. Интегрируя, получаем 8(Т,О)= — — — +В (В=-соле(). (2) Проинтегрируем теперь соотношение дР(Т, 0)ЯТ = — Я (Т, О), в итоге имеем Р (Т, О) А-ВТ вЂ” 2Т (А = соне(). Ь (3) Подставив выражение М = — (С = сопа1) СН Т в соотношение (5) аадачи 20, найдем Ь ТМЯ 2Т+ 2С (4) Таким обраэом, дГ ь Мя Я(Т М)= — —,= — — —— дг 2ТЯ 2С ',(6) откуда (дТ) Тт ( С'=)' дЯ~ Ь Так как соотношение (6) можно переписать в виде ь сн Я(Т Н)= — — —— 2Та 2Та (8) то и, следовательно, )(е= ( — ) дМ ) (дн/дн)м и и (д8/дМ) ЬМЯ/Стнб С Ь ЬМ/СЯНЯ+М/С Т Ь+СН1 ' (11) Сн=Т (дТ ) = Тя (9) Для получения адиабатической магнитной восприимчивости по самому фиэическому смыслу этой величины следует исключить Т из (6).
Учитывая (4), получаем З~Н,М)  — Ь( — ) (10) 192 Гв. г, Термодинвминеские Функции и условии равновесии 26. В соответствии с третьим законом при Т- 0 энтропия стремится к некоторому предельному значению, не зависящему от Н. Это значит, что (дЯ!дН)т -н 0 (Т вЂ” ко). Следовательно, учитывая соотношение (2) из задачи 24, получаем 11ш(дм/дт)я = т ю Л = О.
ПодставлЯЯ М = 2тНе находим 1!ш — = О. отт т- ю Замечание. Отсюда видно, что как закон Кюри т = С(Т, так и закон Кюри— Вейсса т =- С!(Т вЂ” В) справедливы лишь до некоторой конечной температуры. При т Т вЂ” ~- 0 должны наблюдаться отклонения от этих законов. 27. Если построить энтропию парамагнвтного вещества как функцию температуры при постоянном Н, то в соответствии с третьим законом она будет стремиться при Т -+.
0 к постоянному аначению (нулю) при любом Н. Кривые для Н ф: О и Н = 0 стремятся к одному и тому же пределу при Т -и О, как показано ва фиг. 61. Для не слишком больших Н можно использовать соотношение (6) в решении аадачи 20: н н (т, о) — — ( — х, ) м я(т, о)+ — ( — х,) и . При Т -н О, как было показано в предыдущей задаче, (с(2ТЫТ) -и О.
Это значит, что если при некоторой конечной температуре уменьшать магнитное поле от заданной величины до нуля, то температура"при этом будет уменьшаться лишь до определенного конечного 'значения и никогда не достигнет 0' К. 28.
К концу пружины привяаана пластина, на которой установлен груз массой М. Вес этого груза уравновешивает натяжение пружины,Х. Пусть гю — высота, на которой находится пластина при Х = 0 и М = О, а х — растяжение при Х = Мд (д — ускорение свободного падения). Полная потенциальная энергия И' груза, помещенного на пластину, и части грува (массой М'), оставшейся на высоте гю (фиг.
62), равна Й' = Мд (гю — х) + М'дгю = = — Мдх+ (М+ М') «гю = — Хх+ сопвЪ, Решения 1эз Г яе'е ц ~Д1ЗДД г1Я я еэяг. 62, бодная энергия совпадает с потенциальной.) Если обозначить через 1е упругую постоянную пружины, то Х = Йх (2) и У'= г (Т, О) + — Йх', (3) так что Р = — 1сх- — Хх+Г (Т, О) — — — + Р (Т, О), 1 я лз сУ'е=дГ(Т, О)+(Йх — Х) Их — хееХ=ИР'(Т, О) — хдХ. (4) (5) Последний член в (5) можно переписать в виде — ха= О ( — Йхз) +Л$'=се ( — Йхз) — Н(Хх), т. е. е(гш представляет собой сумму возрастания свободной энергии пружины и уменьшения потенциальной энергии грузов при растяжении пружины. 3 а м е ч а н и е. Следует проверить, что (дгне1дТ)х = — Я, а величина Р + ТЯ = й1 действительно представляет сумму внутренней энергии пружины и потенциальной энергии грузов.
29. Как было показано в задаче 20, при однородном намагничивании парамагннтного тела объемом У его свободная энергия возрастает на величину '/зУМ~1Хг, где М вЂ” приобретенный телом магнитный момент (на единицу объема; полный магнитный момент Далее, если г (Т, х) обозначает свободную энергию пружины при температуре Т и растяп'енин х, то Ре = Р (Т, х) — Хх = Р + И' + сопз$ (1) есть свободная энергия всей системы, включая грузы. (Так как грузы представляют собой чисто механическую систему, то их сво- 194 Гя. о. Термодинаминеские функции и условия равновесия равен при атом всМ).
Таким образом, Р (т, М) — Р (т, О) + — )с —, (1) где Р (Т, 0) — свободная энергия при М = О. Энергия взаимодействия между внешним полем Н и магнитным моментом имеет вид НМв = — ХтН в'- (Эта величина аналогична энергии взаимодействия груза с гравитационным полем в предыдущей задаче.) При этом величину Р =Р+И =Р(т, О) — — , 'у,неУ (2) Р ~т, Р) = Р,:(т, О)+ ',"'Р', Р (т, Е) Р ~т, О) — УЕ . (6) (4) Энтропию Я можно получить как из Р, так и из Р".
В случае магнетика имеем =-( —.) = ° —,"Я") '= =Е(Т,0)+ Уе УгМ =З(т, О)+ — 'т"Хтн сХт (5) Я=. — ( — ) =Я(Т, 0)~- 9 У"етН ° (5) Аналогично, для диэлектрика (вт) ( зг ) ~(Т'О)+9 30. Иа соотношения (6) предыдущей задачи имеем Е(2, Е) =Е(т, О)+ — Е. можно рассматривать как сумму свободной энергии системы и энергии взаимодействия парамагнетика с магнитным полем. Для диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е электрическая поляриаация Р (величина, аналогичная магнитному моменту М в рассмотренном выше примере) в электрическом поле Е принимает значение Р =- (е — 1) Е/4л. [Величина (е — 1)!4л соответствует величине у.) Таким ооразом, согласно соотношениям (1) и (2), 195 Реисения а) Когда цепь замкнута, между пластинами конденсатора удерживается постоянная разность потенциалов Ф и устанавливается постоянное поле Ео = Ф/а (фиг.
63). Из соотношения (1) находим (2) Здесь Се(Т) = Тй$(Т, О)~оТ. б) Если цепь вообще не замыкалась, то Е = О и теплоемкость равна Со (Т). Когда цепь замыкается при температуре Т„на Фвг. 63. пластинах конденсатора появляется поверхностный заряд о =- = Р/4н = еоЕе/4н [здесь Р— электрическая индукция, ео = = е (То)[. При размыкании цепи поверхностный ааряд остается и индукция Р в диэлектрике сохраняет постоянную величину.
Теплоемкость в этом случае будет Так как Р=еЕ, имеем ( Ойе ) 2Ее йе Подставляя зто выражение в (3) и учитывая, что е,Ео=еЕ=Р, получаем (4) 31. При изотермическом квазистатическом увеличении потенциала от О до ср диэлектрик поглощает тепло сГЧ=ТдЕ. Зависимость энтропии Я от электрического поля дается соотношением (6) в решении задачи 29: и (Т, Е) — Е (Т, О) = У вЂ” — . йе (Т) йз оТ Зн' 13и вэе Гл, 8. Термодинамические сдункэии и условия равновесия Если расстояние между пластинами конденсатора равно а, а раз- ность потенциалов Ф, то электрическое поле Е = Ф/а.
Таким образом, при увеличении потенциала от 0 до Ф в диалектрике выделяется тепло дз (Т) Фз дТ Язов (2) Эту формулу можно переписать в другом виде: О= — 'СФ ""''(" . 2 И(зТ здесь С = зА/4па — емкость плоского конденсатора, А — площадь пластин. Величина в/зСФв представляет собой электростатическую энергию, запасенную в конденсаторе. 32. Пусть а обозначает расстояние между пластинами, Ь вЂ” ширину, / — длину пластин конденсатора, а х — расстояние, Фиг.
64. на которое вдвинут в глубь конденсатора диэлектрик (фиг. 64). Объем диэлектрика все в поле Е равен все = аЬх. Оставшийся объем конденсатора, не занятый диэлектриком, вго = аЬ (в — х). Так как электрическое поле Е = Ф/а постоянно, можно испольэовать выражение для свободной энергии Ра, полученное в решении задачи 29.
Полная свободная энергия аапишется в виде Р„осй = Р(Т, О) — — ' (з — 1) Ез+ — „" Е' = 197 Решения 33. У= — рУ= — Д4Т, (4) (2) р = <р -~- йТ1 и— Р Ро Из (2) следует р= р,е(и-еиьт= (3) или 7 (Т 11 р) = — р геена ое/от. Дифференцируя (4) по (о и т', получаем, учитывая (3), ~ дХ) Рот — ) = — — еО'-Ро'ат = — Х дР, )т,т 'яТ (4) (5) ) = рое(и-Ю!от = р 1 — ),-- °вЂ” дТ н дР)т 1 о Имеем также ) = Ро7еы яlьт ~ Ро+ ~ Р— т) д!вРО др 9 ~рт = —,Ч (ЬТ дТ дТ Т Но в силу (2) это означает (7) 34. Скорость изменения температуры резиновой ленты при ее адиабатическом удлинении дается выражением (1) Здесь С, — теплоемкость при постоянной длине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
