Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мнемонический способ написания уравне- Т иий (3.1) — (3.4) основан на использовании Фиг. 55. диаграммы, пргщумавной, кажется, Максом Барном еще около 1929 г. Прежде (всего надо нарисовать две стрелки, перпендикулярные одна другой: одну сверху вниа от Я к Т, а другую слева направо от р к У, как покааано на фиг. 55. Рисуя стрелки, вы должны сказать себе, что солнце (Явп). посылает лучи вниа на деревья (Тгеез), а ручей течет с вершины (реа1с) в долину (Ча11еу). Далее вы дополняете диаграмму названиями четвертей круга Е (=гг), Г, б и Н в алфавитном порядке по часовой стрелке. Теперь вы можете испольэовать диаграмму следуюшнм образом.
Напишем, например, Задачи 173 уравнение (3.4). Естественными переменными для термодинамического потенциала 6 являются р и Т, стоящие на краях квадранта 6. В выражении цля дд вы пишете — Я и + У в качестве коэффициентов при ЗТ и Ыр соответственно. Знак минус у Я свяаан с тем обстоятельством,что для того, чтобы от Т дойти до Я, нужно следовать в обратном направлении по отношению к стрелке ЗТ.
В описанной выше диаграмме член 2' рк(У; опущен по той причине, что диаграмма двумерна, а этот член одинаков для всех уравнений (3. () — (ЗА). В случае необходимости можно нарисовать более общую диаграмму, включив ~~~" )ги()рз и члены, свяаанные с другими видами работы. Некоторые примеры можно ншчти в учебнике Колена ((), где показано также, как применять диаграмыы для написания соотношений взаимности Максвелла.
13. Получить термодинамический потенциал Гиббса для смеси идеальных газов, состоящей из и, молей одного и пз молей другого компонента. 14. Путем измерения натяжения Х резиновой ленты, растянутой до фиксированной длины (, найдено, что Х = А Т, где А (>О) — постоянная, зависящая только от длины (, а Т вЂ” абсолютная температура. Показать, что внутренняя энергия (Т такой резиновой ленты является функцией только температуры, а энтропия ее Я уменьшается с увеличением длины. 1б. Показать, что при адиабатическом растяжении описанной в предыдущей задаче резиновой ленты температура повышается. Показать также, что лента будет сжиматься, если повышать температуру, оставляя натяжение постоянным.
16. Из рассмотрения свободной энергии вывести уравнение Гиббса — Дюгема (8.12). 17. Показать, что в соответствии с третьим законом термодинамики коэффициент теплового расширения (1/(г) (д(г!дТ)р и коэффициент (др(дТ)г стремятся к нулю при Т -+ О. 18. Пусть Х и х обозначают соответственно натяжение проволоки и ее длину. Показать, что ( — ) >О и ( — ) >О. 19.
Показать, что 20. Парамагнитное тело имеет изотермическую магнитную восприимчивость ут. Найти свободную энергию Р как функцию намагниченности М и температуры Т и получить из нее внутреннюю энергию У и энтропию Я. 174 Гл. о'. 7'ермодикпмипеские фуккэии и услоеил раекоеесил !Б) 21. Система состоит иэ Л' частиц одного сорта; Н, Т, е' и )л обозначают соответственно внутреннюю энергию, абсол1отную температуру, объем и химический потенциал на одну частицу.
Доказать следующие соотношения: 22. Вывести формулу для вычисления теплоемкости при постоянном объеме С1, как функции абсолютной температуры Т, объема у" и химического потенциала )ь. 23. Сравнить теплоемкость системы при постоянном объеме и постоянном числе частиц Си, к с теплоемкостью той же системы Си,„при постоянном объеме и постоянном химическом потенциале. Объяснить физический смысл полученного результата на основе принципа Ле-Шателье — Брауна. 24. Показать, что для парамагнетика имеет место следующее соотношение между иаотермической и адиабатической восприимь чивостями: с. йз 2т с„ здесь См — теплоемкость при постоянной намагниченности, а Сн — теплоемкость при постоянном магнитном поле Н. Изменение объема парамагнитного вещества предполагается пренебрежимо малым. При условии, что зависимость намагниченности М от Т и Н задана, получить такнсе формулу для вычисления См — Сп.
(Испольэовать преобрааование переменных с помощью якобиана.) 25. Рассмотреть парамагнетик, восприимчивость которого подчиняется закону Кюри: тт = С~Т, а теплоемкость при нулевой намагниченности имеет вид: Со = ЫТе. Получить теплоемкость при постоянном магнитном поле Сн, теплоемкость при постоянной намагниченности См и адиабатическую магнитную восприимчивость тз(Но) = (дМ/дН)е (Н = Но) при бесконечно малом изменении магнитного поля вблизи заданного значения Но.
26. Показать, что изотермическая восприимчивость тт удовлетворяет условию дат)дТ -е- О при Т -м О, 27. Показать, что с помощью адиабатического размагничивания нельзя достичь абсолютного нуля температуры. Задачи 28. Задачу, рассмотренную в примере 8, можно решить также, используя свободную энергию Ра (Т, Х) = Р (Т, х) — Хх.
С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в примере 1, выяснить физический смысл этой свободной энергии и, в частности, г)Ра (Т, Х). 29. Свободную энергию парамагнетика с изотермической магнитной восприимчивостью уг, помещенного в магнитное поле Н, часто записывают в виде Р (т н)=Р*(т О) — — уу,н. Аналогично в качестве свободной энергии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е в электрическом поле К можно использовать функцию Р" (Т, Е) = Р* (Т, О) — — (е — 1) ЬР, где )Р— объем.
Следуя предыдущей задаче, провести сравнение этих свободных энергий со свободными энергиями Р (Т, М) и Р (Т, Р), где М вЂ” намагниченность, а Р— поляризация. Получить также выражение для энтропии в обоих случаях. 30. Диэлектрик с зависящей от температуры диэлектрической проницаемостью е(Т) помещен между пластинами плоского конденсатора, соединенного с батареей, являющейся источником Дррремг~рчр Д Г': Фвг. 56.
Фиг. 57. постоянной э. д. с. (фиг. 56). Исследовать теплоемкость в случае замкнутой цепи и ее поведение при размыкании, Объем диэлектрика предполагается неизменным. 31. Определить количество тепла, выделяющееся в конденсаторе, описанном в задаче 30, при квазистатическом возрастании разности потенциалов от 0 до Ф. 32. Объяснить, почему диэлектрик втягивается в конденсатор, если ввести его между пластинами конденсатора, как показано на фиг. 57. ПБ Гл, а. Термодинамические Функции и услввил равновесие [В) 2 к с РЕШЕНИЯ 1. Доказательство аналогично приведенному в примере 1. В данном случае мы должны лишь рассмотреть кваэистатический процесс, так как температура по определению однородна. Рассмотрим уравнения для инфинитеэимального процесса.
а) Температура Тоо теплового резервуара не меняется, когда он отдает системе А конечное количество тепла. Так как над тепловым резервуаром не совершается никакой работы, можно считать, что изменение его состояния связано только с отдаваемым ИМ КОЛИЧЕСТВОМ тЕПЛа 22'(Г'. ИЭМЕНЕНИЕ ВНУтРЕННЕй ЭНЕРГИИ У~е> и энтропии яы> резервуара определяется первым и вторым законами термодинамики я'ев~ (1) 33. Химический потенциал однокомпонентного идеального газа имеет вид р = ~р (Т) + )ГТ [и [р!рг (Т)). Получить выражение для (большого) термодинамического потенциала У (Т, К, р) и доказать справедливость соотношения (3.5). 34.
На фиг. 58 приведены экспериментальные данные для температурной зависимости напряжения в случае определенным образом вулканиэированной резиновой ленты, длина которой поддерживается постоянной. Пусть [в — естественная г нормальная длина ленты при температуре Т„а 1 — ее действи- 522 тельная длина. Полное натяжение (равное напряжению, умноженному на поперечное сечение) связано с с соотношением а -506 Х=-АТ ~ —— Г Г ео — [1-,'— а (Т вЂ” Тс)) ( — ) Здесь я — коэффициент теплового. еэ и г.
55. расширения, равный примерно 7.10 ' град '. Вычислить изменение температуры ЬТ в случае, когда резиновая лента, находящаяся при температуре Т„быстро адиабатически растягивается от ее естественной длины гв„до длины, в Х раэ большей. (Зтот эффект называется эффектом Джоуля.) Представить графически зависимость ГвТ от Ь.
Реелени и 177 Если внутреннюю энергию и энтропию системы А обозначить через П и Я, то внутренняя энергия и энтропия составной системы будут 17* =1(>' + У(е> и Яэ = 8 + 8<'>. Эти величины являются функциями состояния составной системы. Так как составной системе не сообщается тепла, то в соответствии со вторым законом имеем (Бе= О, или (13~ )= — (ло. (2) Учитывая (1), можем написать ~(>(е) Т(е) ~у(е) Т(е) (у Таким образом, изменение энергии составной системы НПе = ()У+ (1(7(') может быть записано в виде Ю* = Ж вЂ” Т(') ИЮ = иУ вЂ” Т л(Я, (3) так как Т<'> = Т, Последнее выражение записано в переменных, определяющих состояние системы А, и представляет собой в действительности ()Г. б) Применим к составной системе первый закон термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
