Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Количество тепла, полученное газом, равно г, ()г з = — ~ С» дт = — С» (Т вЂ” Тг) ( О, г, где С» — молярная теплоемкость при постоянном давлении. В про- цессе 3 — ~ 1, представляющем собой квазистатическое нагревание при постоянном объеме, работа не совершается, т. е. Аз, = О. Если С» — молярная теплоемкость при постоянном объеме, то поглощенное тепло можно записать в виде тг О,, = ~ с, ат=. с, (т,— т,).
т, Из первого закона термодинамики следует, что для замкнутого цикла сумма всего полученного тепла н произведенной работы должна быть равна нулю. Следовательно, ~г г-(-Да з+~)з,г+Аг г+Аг з+Аз г=О Подставляя сюда найденные вьппе выражения для каждого из слагаемых, находим (С» — С~ )(Тз — Тг) + рг (Уг — геег) = 0 (1) Из уравнения состояния для ( эзель идеального газа РУ = ВТ имеем ргу, =Вт, Рг»г = Втг Рг (»г — згг) = В (Тг — Тз) Подставляя в ($) последнее из этих равенств, получаем требуемое соотношение (С» Сг)(тз Тг) + В (Тч Тз) 0 Гя.
1. Тернодинаниыеское состояние и персий ескон ИЛИ 12. Критическим является такое состояние, в котором р, Т и Ье одновременно удовлетворяют следующим соотношениям: (др/д)е)т = О, (дср/д)ее)т = О и уравнению состояния. Так как (дУ)т Р( ( ") +7(Тт то из условия (др/д(е)т=:О следует па 'в' — пЬ ЛТ ' а из условия (д«р/дЧ'")т —— -О имеем е'3 2па (à — пЬ)«ЛТ (2) Поделив обе части 'уравнения (2) на соответствующие части урав- нения (1), получаем и пь 2 ус= 2пь па (в — пь) с — 7(ус с Подставим в уравнение состояния выражения для Ь'с н Т,. Это даст пЛТ, 7 па Ь а е'с — пЬ ы ЛТс(ес ) 4ьеее Введем теперь приведенные величины р= р/рс, (=-Т/Т„Ь =У/Ь;, чтобы получить закон «соответственных состояний>. Подставляя пйТс/рс)ее= «/зее, иЪМ,—.— '/а и ла/ВТ,)е,= 2 в выраясенне пЛТ~( ( па Рсус (Ь вЂ” пЬ/~ с) ( 7(Тс вс(и получаем 13.
Согласно соотношению (1.15), внутренняя энергия смеси химически нейтральных идеальных газов равна сумме внутренних энергий отдельных компонентов. Если масса 1-го компонента газа Для определения критической температуры Т, подставим найден- ное значение $'с в (1). Тогда 5Т Решения равна М;, а ее удельная теплоемкость при постоянном объеме гг„ то М е(и = ~', М;сг; гТТ, где ЛХ= ~~ М; — полная масса смеси, и — внутренняя энергия еднниды массы смеси. Теплоемкость смеси при постоянном объеме определяется соотношением ч трмя$ "'= г=~ м --.. Для воздуха она принимает следующее значение: сг =- 0,23 и Х 0,158 + 0,77.0,176 = 0,036 + 0,136 = 0,172 каяlг град. 14.
Возьмем в качестве оси х прямую, проходящую через иголку и через прямоугольный постоянный магнит, как показано на фнг. 16. При этом направление магнитного поля Нэ также будет. совпадать с осью х. Поле Нз (х) равно нулю при х = — оо и монотонно возрастает при увеличении х. Игла медленно подносится к магниту вдоль оси х от — оо до точки х, где приобретает магнитный момент т, направленный, конечно, вдоль оси иголки. Размагничивающее поле иголки, направленное навстречу полю постоянного магнита Нз, можно считать пренебрежимо малым.
Так как размеры иголки невелики, ее можно рассматривать как магнитный диполь д(Ю с магнитным моментом ш (х), зависящим от координаты х. Сила, действующая на иголку, определяется выражением К(х)=т(х) „. (1) Фкг. $6. Чтобы иголка перемещалась от х = — оо до точки х = хе босконечно медленно, нужно ее удерживать с силой, незначительно меньшей — К (х) Производимая атой силой работа (получаемая за счет механического источника, например при перемещении груза в поле. тягкести) над системой иголка — магнит имеет вид е1 х1 Н(еы Ае-= — ~ К(х)дх= — ~ т(х) — „г)х~=- — ~ шг(Н~.
(2г й Х о Однако только часть этой работы идет на намагничивание иголки, остальная работа расходуется на соадание запаса потенциальной энергии. Если магнитный диполь с магнитным моментогз Гл. л. Териодиналсинеское состояние и нелсона закон изл (х) = т, поместить в поле Н (х,), то его потенциальная энергия равна — тлН (хл) (энергия взаимодействия между диполем я постоянным магнитом).
Чтобы вычесть ее из (2), рассмотрим сле.дующий процесс: пусть нам некоторым способом удалось зафиксировать намагниченность иголки т, = т (х,), после чего мы ее перемещаем из точки х, на — со. При этом постоянный магнит будет притягивать иголку с силой К(х) = т1 (3) таким образом, внешний механический источник должен совергпить работу х1 .А, = — ') К' (х) слх;.. т, ) — с(х — "- Г дн(к) Ык Н( ) .
~ д(т(к)Н(~))с(х (4) Ык — О Следовательно, работа, необходимая только для намагничивании иголки, будет иметь вид т1 Я1 А,+Аз=- ~ Н(х) — () с(хае ~ Нс(т. — СО о (5) 3 а м е ч а н и е. Если рассматривать иголку и постоянный магнит как единую термодинамическую систему, то их энергия взаимодействия войдет во внутреннюю энергию системы (У'.
Если 1У вЂ” внутренняя энергия иголки, то 7У' = 7У вЂ” Нт + совал, с(Н' = ИУ вЂ” Н с(т — т с)Н = — т ИН. так что Отметим зависимость величин ГУ и УУ' от определения термодинамических систем. Несмотря на свою очевидность, она частоприводит к недоразумениям.
15. Так как плотность воздуха р зависит от высоты з, столб воздуха нельзя считать однородной системой. Тем не менее в состоянии теплового равновесия температура Т должна быть однородной. Если неоднородную систему можно разбить на такие части (подсистемы), что каждую из них допустимо считать однородной, а взаимодействие между ними пренебрежимо малым, то энергия полной системы будет равна сумме энергий ее частей. Цилиндрический объем, лежащий между з и з + ссз, можно считать однородной подсистемой такого рода с внутренней анергией Решеггигг р (з) Яи (Т) еоа и потенциальной энергией р (з) Лаз, где Ю вЂ” площадь поперечного сечения цилиндра, и (Т) — внутренняя энергия единицы массы воздуха, рассматриваемого как идеальный газ, а д — ускорение силы тяжести.
Так как суммарная энергия слоя, леяеащего между з и з + оз, равна Я [и (Т) + д (з)) р (з) Ыз, то полная энергия всего воздуха в цилиндрическом объеме от з =- О до з = со имеет вид ге К(Т) =Я ~ [и(Т)+яз) р(з) де. о Зависимость р от высоты определяется уравнением др(з)/Из =- = — р(з)д (см. решение задачи 8). Чтобы исключить р(з), проднфференцируем уравнение состояния р(з) =ВТр(з))т; тогда Нр (г) р (г) тз ег ВТ откуда [по(з) = — —,+ сопз1, жег йт илн р (з) = р (О) е- ема'. Вместо плотности воздуха р(0) вблизи поверхности Земли при з = О удобнее ввести полную массу воздуха в цилиндрическом объеме ге ОО М ~ р(з)Яо[з р(О)Я ') е-тег/кто[о р(о) ~лт те о о что дает ср (з) ))Тте е-тег~ят нт С помощью этого соотношения получаем энергию рассматриваемого объема воздуха ег ь (Т) ~ [н(Т)+оз) е-тег/ят,[з РТ о со =М ~ ~и(Т)+ — ~ е-14$= о = М [ и (Т) + — ) зе 4 о[Я [ = М ~ и (Т) + — [ .
о Гл. л. Термодинамическое состояние и кереий кокон 60 Отсюда видно, что энергия является функцией только температуры Теплоемкость определяется выражением Воспользовавшись соотношением Майера ср —— с, г- Н/т, получаем С Мер 16. Количество тепла, полученное системой в квазистатичесьоы процессе, определяется первым законом термодинамики сг(л.= с(с/ —, + рейс.
Если считать внутреннюю энергию функцией от Т и Г, то Тогда первый закон термодинамики принимает вид Р() = ( — ',; ) )Т+ [( ',~ ) + р] Л . Для энтальпии Н=1/+р1' имеем соотношение йН = Н(/+ рЛ'+)се)р, откуда сШ+ р Л'= с1Н вЂ” У с(р. Следовательно, можно записать )'0=- )Н вЂ” У )р. Удобно рассматривать Н как функцию от Т и Тя Н ( дН) ДТ ~( дН) 11ри этом выражение для количества теплоты запишется следуюшиьг образом: .
(2) а) Теплоемкость при постоянном объемш равна производной д'фс(Т при И)с = О„поэтому иа (1) вытекает, что Ст —— (дС/дТ);.. При постоянном давлении с(р = О, тогда из (2) следует Ср ——- = (дН/дТ)р. б) Как было показано в решении примера 2, теплоемкость при постоянном давлении можно получить из соотношении (1), если считать У функций от р и Т, определяемой уравнением состояния, н подставить в (1) с(г' = (д1//дТ)рс)Т + (дПдр)т с(р, что дает Решения 61 Если положить здесь др=О, то для производной о'()/оТ получим С,-С +(( —",,) +р]( —,",) . Это первое из равенств «б». Чтобы получить второе, выведем из соотношения (2) выражение для Су.
Так как др=(др/дТ)удТ+ +(др/дУ)тдУ, то "~='"Т-[( — ) -УП( — -) "-( — -) "'1 При ЫУ= О производная о'()/дТ равна С вЂ” С +Ц вЂ”.) — У1 ( — ) Подставляя сюда соотношение «в», получаем второе из равенств «б». в) Так как Н=с/+рУ, то г) Так как (дУ/дТ)р — — 1/(дТ/дУ)р, первое из равенств «б» мояпю записать в виде (С С,)(дт) (дС) р. Считая обе части этого соотношения функциями от р и У, продифференцируем их по р; тогда дСу ( дт ) (д(дпдУ)т) +1.
(3) Рассмотрим теперь третий член в левой части и первый член в правой части этого уравнения. Хотя они являются частными производными по р при постоянном У, для удобства будем считать Ср и (д/РдТ)у функциями от переменных Т и У. Если в теалоемкости Су (Т, У) переменную Т считать функцией от р и У, определяемой уравнением состояния, то можно записать ( дСу ) дСу(Т(р, У), У) ( дСу ) ( дТ ) Аналогичным образом, если считать аргумент Т функции (д(//дУ)т = = — д(/(Т, У)/дУ функцией от р и У, то для того, чтобы получить частную производную по р, нужно сначала продифференцировать по Т, а затем умножить на частную производную от Т по р: ( д(дС/ду)г) д»//(Т, У) ( дТ ) ( дС ) ( дТ ) >>2 Гв. 1. Термоди~амичеокое еое>помнив и первый кокон откуда ( эст ) ( ат ) э(эзар)т =-[(Ф),( — ':)„+(Ф),1(~;), (4) Таким образом, мы пришли к искомому результату.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
