Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Оказывается, что плотный газйпри охлаждении может Основные иелелгенил 70 ) о о. гь г з е р-р)р. гр и г. 5. Рельеф р — 1'-поверхноотп для аргона. перейти в жидкое состояние. Существует большое число уравнений состояния, описывающих плотные газы. Мы упомянем только два из них. Уравнение состояния аан дер Ва льва ааписывается в виде (р+ — ', ) ( — Ь) = Л7, (1.17) где и = Ин — молярный объем газа. Благодаря своей простой аналитической форме зто уравнение часто используется для приближенного описания реальных газов. Постоянные а и Ь для Гл 1. Терм«вин«киче«кое состояние и керенй закон различных газов приведены в табл. 1, взятой из книги Эпштейна (41.
Тоблнц« 1 «, ео-е, «с«м ° емегмолье Ь, смей«ель Вириальнве разложение (уравнение состояния Камерлипг Оннеса). Для реальных газов часто применяется следующее разложение: ри = ЛТ ~ 1 ь- — + — .5... ), (1.18) или ри = ВТ (1 + В,р + В,р' +...), (1.10) где Аю Ае . Вю Вз,..., являются функциями температуры и называются вириальными коэффициентами. Идеальный парамаенетик и закон Кюри. Намагниченность М магнитного тела является функцией внешнего поля Н и температуры Т. Вещество называют идеальным парамагнетиком, если его уравнение состояния имеет вид М=((11 ) (1(0) =О). (1.20) В частности, если величина Н!Т мала, то уравнение (1.20) записывается в приближенной форме: ЛХ= —; (1.21) это соотношение нааывается законом Кюри, а С вЂ” константой Кюри.
Неметаллические кристаллы, содержащие ионы парамагиитных металлов, часто подчиняются этому аакону, однако он несправедлив при температурах, блиаких к абсолютному нулю (см. гл. 3, задача 26). Но Ме н лг дз О СО СО, бзО НзО С12 8О 0,03415 0,2120 0,2446 1,301 1,346 1,361 1,486 3,959 3,788 5,468 6,501 6,707 23,71 17,10 26,61 30,22 38,52 32,58 39,87 42,69 44,18 30,52 56,26 56,39 Примерю э 12. Замена независимых переменных (1.22) ( — /.=— ди ) (дг/ду)и ду ), (де/дх)у (1.23) что следует непосредственно из равенства (1. 24) Коли - == сопа1, то дз = О и отношение дх/су = (дх/ду), должно иметь вид (1.23).
БРИМЕРЫ 1. Магнитное тело помещено в катушку и намагничивается магнитным полем, создаваемым током, протекающим через катушку. Для простоты предположим, что в намагничиваемом теле поле .Ы и намагниченность М однородны. Показать, что отнесенная к единице объема тела работа, совершаемая электрическим источником в процессе намагничивания, равна А=) Е1 ° ЙМ. о Предполагается, что магнитное тело не деформируется в процессе намагничивания. Иногда в термодинамике в качестве независимых переменных рассматриваются р и У, а иногда Т и У. Поэтому запись частных производных в виде дс//дУ не определяет однозначно выбора независимых переменных, и у частных производных ставятся индексы, указывающие, какие переменные сохраняапся постоянными, например (дУ/дУ)р, (д(//др)г.
Некоторые термодинамические соотношения являются обычными соотношениями между частными производными с рааличным выбором независимых переменных. Поэтому подобные соотношения получаются просто заменой независимых переменных. Особенно удобно следующее тождество: если три переменные х, у и з связаны функциональной зависимостью, то можно считать з функцией от хну, или х функцией от у иг, или у функцией з их.
В этом случае мга имеем зо Гл. 1. Тернадинанинеснае состолние и первиз еаеон Ркшвник Рассмотрим случай, когда катушка намотана вокруг достаточно длинного цилиндрического магнитного тела (фиг. 6). Магнитное поле в катушке, у которой на единицу длины приходится п витков, равно На — — сепвьГ)с, где Х вЂ” ток, проходящий по катушке. Прле Н внутри магнитного вещества равно сумме поля На и размагннчивающего поля Нм, которое, впрочем, мало, если образец имеет форму длинной иглы. Следовательно, в этом случае можно считать, Шкг.
6. что Н = Не. Если катушка намотана по всей длине с цилиндра, имеющего площадь поперечного сечения о, то магнитный поток через катушку равен Ф = пп)В =- УпВ, где У =- ос — объем магнитного тела, а В = Н + 4пМ вЂ” плотность потока в магнитном теле. Если ток Г возрастает, то Н и М, а следовательно, и В такх.е изменяются таким образом, что, согласно закону индукции Фарадея, возникает противо- э.д.с. — (1!с) ссФЮ =- — У (п!с) всВй)п Работа, совершаемая электрическим источником для компенсации атой противо-э.д.с. за время в)с при прохождении через сечение проводника заряда .Г в)г = —, с~всоа Л~ пн равна — —,Г вй' =- — УН ИВ = .= —,' У(Н8Н+4пНЕМ) =-.д ( —,'"), УН бМ.
Первый член правой части этого выражения вс (УНЧ8л) представляет собой работу, необходимую для создания поля Н независимо от наличия намагничиваемого тела. Следовательно, второй член правой части Нс)М можно считать отнесенной к единице объема работой, необходимой для увеличения намагниченности М на величину дМ. Отсюда следует, что отнесенная к единице объема работа, необходимая для увеличения намагниченности от 0 до М; Примеры м равна А = ) НЫМ.
(Коли бы было воаможно зафиксировать о окончательную величину намагниченности М, то работа йеНЧ8л могла бы быть возвращена электрическому источнику в процессе уменьшения Н до О, так как в этом случае мы имели бы ЫВ =- дН.) 2. Пусть е)'д — теплота, необходимая для иаменения температуры 1 г вещества на величину геТ при сохранении величины х постоянной. Для простоты предположим, что имеются только две неаависимые переменные, а именно удельный объем и и температура Т.
Показать, что теплоемкость с, определяется уравнением с„( ) ( ), [( ) р~~( ) где и — внутренняя энергия на единицу массы и р — давление, РЕШЕНИЕ Так как масса системы сохраняется постоянной, мы ьюжем ограничиться рассмотрением работы, совершаемой под действием давления. Иа соотношений (1.5) и (1.7а) следует., что первый закон термодинамики для единицы массы можно ааписать а форме д'д = ди + рди.
Иаменение Ыи внутренней энергии и, вызванное приращением 6Т температуры Т и приращением ди удельного объема и, можно записать в форме е)и = (ди7дТ)„дТ + + (ди~ди)тди. Подставляя это выражение в соотношение для е)'д, получаем Хотя параметр х определяется как функция от Т и и, для равновесных состояний можно считать и функцией от Т и х, если выбрать Т и х в качестве независимых переменных.
Тогда, если величина х сохраняется постоянной, а Т меняется, то е)и = (ди~дТ)„йТ. Подставляя этот результат в соотношение (1) и деля его иа е)Т, получаем искомое соотношение. 3. Доказать соотношение Ср — — С1 + В (соотношение Майера) между изобарической теплоемкостью и теплоемкостью при постоянном объеме для одного моля идеального газа. РЕШЕНИЕ Первый закон термодинамики для инфинитеаимального квази- статического процесса для одного моля гааа имеет вид [см. (1.5) и (1.7а)) г)'() = ИУ + рдУ. 32 Гл.
1. Термодиномииесиое состояние и первый гонон Так как внутренняя энергия с/ идеального газа не зависит от объема )г, мы можем считать д(/ = С» (Т) дТ и д'д = С, (Т) дт + рЛ. (1) Теплоемкость при постоянном объеме (а"се/ИТ)» и есть С». Поэтому перепишем соотношение (1) в виде с('() = С с/Т + с( (рр) — тр (2) н, подставив туда уравнение состояния р1с = ВТ, получим д'д = (С, + В) дт — Рдр, (3) или С,=(Д) =С,+В. 4. Вычислить механический эквивалент тепла о', если иавестно, что для воздуха при нормальных температуре и давлении (т. е. при Т = 0' С, р = 1 атм) плотность р = 0,00129 г/см', удельная теплоемкость при постоянном давлении ср — — 0,238 нал/г град и ее отношение к теплоемкости при постоянном объеме у =- ср/с» = .= 1,41.
Предполагается, что воздух является идеальным газом, объем которого при этих условиях равен 22,4 л/моль. ркшьник Газовую постоянную В, выраженную в длс/моль град, можно получить из уравкения состояния идеального газа рве = ВТ. Эту постоянную можно также выразить в нал/моль.
град, воспользовавшись соотношением Майера Ср — С» = В (пример 3). Если обозначить последнюю величину через В', то Х = В/В'. Нормальное состояние является равновесным состоянием с температурой Т = 0' С =- 273' К и давлением р = 1 атм = 1,013 10' дик/см'. Объем 1 моль при нормальных условиях»' = 22,4 10' см'. Отсюда следует р» 1 013.10в.22 4 10г Т 273 — 8,32 10е орг/ноль-град = — 8,32 дгсс/моль. орад. Удельную теплоемкость при постоянном объеме можно представить как малярную теплоемкость при постоянном объеме, деленную на массу моля воздуха (средний молекулярный вес), которая равна т = рве = 0,00129.22,4 10' =- 28,9 гlмоль; отсюда следует Ср — †т —— 28,9 0,238 = 6,88 вал/моль.
град. Теплоемкость на 1 моль при постоянном объеме С» = тс» =- тор/у = Ср/у = 6,88/1,41 = 4,88 нал/моль град. Следователь- Приз ерн зз но, мы имеем В' = Ср — Ск — — 2,00 кал(моль град, откуда (= —, = — '® — — 4,16 дж(кал. 5. а) Вычислить количество тепла, необходимое для нагревания воздуха от 0 до 20' С при постоянном объеме, если первоначально он находился при атмосферном давлении н занимал объем 27 мг. б) Какое количество тепла потребуется для нагревания воздуха от 0 до 20' С прн постоянном давлении, если начальный объем был равен 27 м'? в) Пусть воздух находится в термически иаолированной комнате объемом 27 м'. В комнате имеется небольшое отверстие, через которое воздух может просачиваться наружу, где давление равно 1 атм.
Какое количество тепла необходимо подвести в комнату, чтобы температура медленно увеличивалась от 0 до 20' С? Физические характеристики воздуха следует взять из условия примера 4. Теплоемкость воздуха можно считать постоянной. гкшшшк а) Рассмотрим нагревание при постоянном объеме. Массу М воздуха в объеме 27 мг при температуре 0' С и давлении 1 атм легко вычислить, зная его плотность при этих условиях р = =- 0,00129 г(см', М = 0,00129 27.10' = 3,48 10' г. Теплоемкость при постоянном объеме Ст можно вычислить, зная удельную теплоемкость с„= — "= — '=0,169 кал(г град, с>э 0,2зз т С 41 Ст = Мст — — 10,169. 3,48 10' =- 5,88 10' кал(град. Если теплоемкость постоянна, то количество тепла, необходимое для увеличения температуры от Т, до Тз, равно т, о,= ~ С,ат=(тг — Т1)С„= т =20 5,88.10г=1,176 10' кал. б) В случае нагревания при постоянном давлении вместо С„ будем пользоваться теплоемкостью при постоянном давлении Ср — — Мср —— уС1 = 1,41 5,88 10г = 8,29 ° 10г кал(град.
34 Г*. 1. Уермодинамическое состонние и аереий закон Тогда требуемое количество тепла е,р равно ~р — — (Тз — Т,) Ср — — 20 8,29 10' = 1ф658.10а кал. в) Так как нагревание происходит медленно, можно считать, что давление в комнате сохраняется равным 1 атм. В етом случае нагревание воздуха происходит при постоянных давлении р н объеме У, а изменение массы воздуха М (Т) можно определить яз уравнения состояния рУ = ВТМ~т (т — средний молекулярный вес воздуха), откуда М (Т) Т = сопзс. Коли при температуре Тз масса воздуха в комнате равна Мм то М (Т) = МзТ,1Т. Так как нагревание массы М (Т) воздуха происходит при постоянном давлении, его теплоемкость будет равна М(Т) сю откуда следует, что количество тепла (е, требуемое для увеличения температуры воздуха до Тю равно т, т, <3 — — ~ М (Т) с йТ = с М,Т, ~ — =- с М,Т,1п — '.
тз т, Так как Т, =0'С= 273' К, Тз — — 20' С=- 293'К н С„ .†.= 8.,2с3 < х 10ч кал/град, то сз = 8,29 10' 273 1п †,, = 2,26.10'0,0706 = 1,596 10з кал. 6. Доказать, что для квазистатического адиабатнческого процесса, совершаемого идеальным газом, справедливо соотношение рУ» = сопаФ (уравнение Пуассона), и определить работу, совершаемую гааом при квазистатическом адиабатическом переходе из состояния (рм У„Те) в состояние (рю Ую Тз). Удельную теплоемкость моя<но считать постоянной. гашение Для идеального газа при квазистатическом процессе первый закон термодинамики имеет вид Щ = С»г(Т + рг(У [см. пример 3, соотношение (1)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
