Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Условие адиабатичности «1'(е = 0 можно записать в виде С» е1Т+ и11 Т вЂ” „= О, не' (1) где мы использовали уравнение состояния. Применяя соотношение Майера (пример 3) Ср — — С» + иез (для п молей) и интегрируя соотношение (1), получаем уравнение С» 1п Т + (Ср — С~ ) 1п У = = сопз1, которое в силу соотношения Сг/С» = у переходит в ТУ» ~ = сопзФ. (2а) 35 Примеры Если воспольаоваться уравнением состояния, то найдем (2б) (Мы можем также от уравнения состояния рУ = пВТ перейти к соотношению сер/р + ИУ/)е =- ЙТ/Т; исключая из него с)Т/Т с помощью (1), получаем Ыр/р + уды/)) = О, откуда следует (2б).) При адиабатическом изменении объема от Уе до Уа работа И', совершаемая газом, определяется следующим образом: га 1а ИУ И'=- — А=- ) рЛ'=. ~ р,1',)' — =-(так как рЪ'»=.- рЯ~ Уе Уа р гт = — "' ' (1'1 ' — Р'з ') = — (Ф' — рар'з) = (3) иН (Т1 — Т ) =-Сг(Те — Тз) (так как Сг(у — 1) —.
= Ср — С„= пВ). (4) В случае адиабатического расширения (рз) 'е'е) Та) Т,. Газ совершает работу за счет уменьшения внутренней энергии, поэтому очевидно, что температура убывает (см. гл. 3, пример 5). где с, и ср — удельные теплоемкости соответственно при постоян- ном объеме и постоянном давлении. гашение Когда мы говорим об адиабатической или изотермической свсимаемости, мы, конечно, подразумеваем сжимаемость при квазистатическом адиабатическом или квазистатическом изотермическом сжатии. Если рассматривать внутреннюю энергию и как функцию от р и г (мы имеем дело с единичной массой вещества), то условие аднабатичности Ыи + рс(и = О ааписывается в виде 1 д" ) (),+ и д" ) + ~1,(, О Следовательно, др ) р+(ди/ди), ( — ) =- де /ал (ди/др)а (1? 7.
Показать, что между адиабатической хса = — (1Ь)(дг/др)ал и изотермической сясимаемостью хт = — (1/г)(ди/др)т существует соотношение сс хал = хт с, Ги. 1, Термодииамиееское состоииие и иереый аакои Если считать, что и =и(Т(р, р), р), то (2) з если считать, что и= и(Т(р, р), р), то ( — ': ),=-(Ф),( —",.
)„ откуда следует (д ) +Р=Г(дТ) +Р( Т) ~( ) ='Р(д ) где мы использовали соотношение ср — — (ди/дТ)р -(- р(др/дТ)р. Подставляя (2) и (3) в (1), получаем ( ) др 1 ор (дТ/до1, (4) до )аи сс (дТ/др)о Теперь с помощью соотношения (др/до)г = — (дТ/дп) р/(дТ/др)„ которое вытекает из равенства находим (5) откуда непосредственно вытекает соотношение, которое требовалосьдоказзть. (Другой способ доказательства см. в гл. 2, задача 14.) 3 а м е ч а н и е. Так как ср/с„) $, нз соотношения (5) следует, что (др/др)ад ) (др/др)т или, иначе говоря, в любой точке р — р-плоскости наклон адиабаты больше наклона изотермы. 8.
Определить давление р„объем )сс и температуру Т, в критическом состоянии газа, подчиняющегося уравнению состояния ван дер Ваальса ( р -(- — ) (У вЂ” Ьп) = иге Т, где п — число молей, а р О, Ь ) О. Записать уравнение состояния в приведенных величинах Р = р/р„Ь = У/Ус и( = Т/Т,. Используя такое приведенное уравнение состояния, изобразить на р — Ь-плоскости изотермические линии, а также кривые (др/дЬ)~ = = О и (д (рЬ)/др)» = О (последняя кривая носит наавание кривой Бойля). 3 а и е ч а н и е.
Если на р — е'-плоскости изобразить кривые, соответствующие уравнению ван дер Ваальса при различных Т, то при достаточно низких температурах кривые будут иметь мак- Гя. 1. Термодипамическое состояние и первый еакоп 38 симум и минимум, а при высоких температурах становятся моно- тонными, как это видно на фиг. 7. Критическое состояние (крити- ческая точка) соответствует точке на кривой Т = Т„в которой (др/дг)т = О.
гвшкннв Запижем уравнение состояния в форме пЛТ апе Р= Р— Ьп Ре Тогда условия (др/ду)т=0 и (дер/де'е)т=0 принимают вид ЛТ 2ал (Р— Ьп)е Уа (2) ЛТ Зап ($' — Ьп)е Ре Отсюда следует, что е" — Ьп=2$'/3, или е'=ЗЬп и ВТ/-Ва~'27Ь. Подстановка этих значений в (т) дает р=а/27Ь'. Зто и есть значения р, е' и Т в критической точке, т.
е. 1 а 8 а р = — —, ее ='опЬ Т = — —. е= 37 Ье = с — 37 ДЬ (4) Подставим тепеРь в (е) Р= Р,Р, ее=- Р'сь и Т = Тс1 и Разделим обе части на р,. Тогда пЛТ,~ апе р= РсРсЬ вЂ” Рсдп Рсэ",Ье Подставляя сюда значения р„ )'с и Т, из (4), получаем 8$ 3 р= — — —, Зь — 1 ье' илн (5) В такой форме уравнение состояния не зависит явным образом от констант а и Ь, характеризующих конкретное вещество. Поэтому можно считать, что газы (подчиняющиеся уравнению ван дер Ваальса) находятся в одном и том же состоянии, если они характеризуются одинаковыми значениями р, Ь и Г (которые для каждого гааа выражены через соответствующие значения р„ее, и Т,). В этом утверждении заключается закон соответственных состояний. Отметим следующие особенности кривых ~=-сопзь на р — Ь- плоскости. Во-первых, можно не рассматривать области с отрипа- Примервз 39 полученную дифференцированием уравнения (5).
Первый член в правой части соотношения (5') болыпе второго при Ь '/з и Ь вЂ” э оо, поэтому в этой области (др/дЬ)~(0. Следовательно, (др/дЬ)~ <0 при Ь =- Ьо, Ь = Ьг н (др/дЬ)~) 0 прн Ь = Ьв. Так как правая часть соотношения (5') представляет собой разность двух монотонных функций, изотерма имеет минимум между Ьо и Ьл и максимум мелщу Ьв и Ьг. Обозначим через Ьо и Ьн абсциссы этих экстремумов, которые определяются равенством (дз/дЬ)~=0, т. е.
(Зэ — 1)з 41 =- —. ва (6) Соответствующие значения Ро и Ря можно получить, подставив в (5) значения Ьо и Ьн. При изменении Ф точки максимума (Ьн, Ря) и минимума (Ьо, Ро) описывают кривые ва Р— Ь-плоскости. Уравнения этих кривых можно получить, исключая параметр 1 нз (5) и (6), что дает Зь — 2 Р= з Ь (7) Эта кривая проходит через точки Р= — 27 при ь=Нз, Р—.. 0 при Ь ='/з и Р— э 8/Ьэ при Ь вЂ” ~ со.
Она имеет максимум в точке Ь =.1, Р =1 (критическая точка) и точку перегиба' прн Ь =з/„ Р =-"/зю Па фиг. 7 ей соответствует кривая /ВСНК. Совместные решения уравнений (5) и (7) определяют точки минимума С и максимума Н кривой (5). Изотермнческая кривая, описываемая уравнением (5) при 1 —.--1, проходит через точку максимума С(Р=1, Ь = 1) кривой, описываемой уравнением (7).
Па этой изотермической кривой точки экстремумов С и Н сливаются в точке перегиба С, которая является критической точкой. Если теперь рассмотреть уравнение (5) при фиксированном Ь, то Р будет монотонно возрастающей функцией от ц причем при 1> 1 уравнения (5) и (7) не имеют общих решений. При 0<1<1 нзотер- тельным давлением, где Ь < г а и Р < — 3/Ь'. При Ь )) Чз и Ь » )) 9/81 УРавнение (5) пеРехоДит в РЬ ж э/эд т. е.
пРп больших Ь газ ведет себя как идеальный. Когда значение Ь оказывается близким к '/ю давление Р становится бесконечным. Каждому значению Ь соответствует только одно значение Р, но заданному значению Р может соответствовать одно или три действительных значения Ь. В случае когда имеется три значения Ь, будем обозначать их как Ьо < Ьв < Ьг. Рассмотрим производную (5') П)гиверы мические кривые имеют максимумы и минимумы. Отсюда следует, что они имеют форму А/)СЕВРВ при 0(«(1 или ХСМ при «=1, нли Р/~ при «) 1, как показано на фиг. 7. Наконец, определим кривую Бойля. Из уравнения (5) находим а(рь) ) 3 8« дь /«ье (Зь — «)з ' Отсюда для (д(РЬ)/дЬ)« — — 0 имеем 8«= 3 (Зь «)ь Подставляя это равенство в (5) и исключая «, получаем 3 (Зь — 2) (8 () Эта кривая проходит через точки (Ь = «/„Р = — 27), (Ь =- з/е, 9=0) и (Ь=1, р=3).
Она имеет максимум в точке (Ь=--4/з, р =-"'/з), а при Ь вЂ” е ос, р — е 9/Ь. Точка перегиба имеет координаты Ь = 2, р=-З. На фиг. 8 изображена пространственная поверхность, соответствующая уравнению ван дер Ваальса. 3 а м е ч а н и е. На изотермической кривой при 0 ( «( 1 имеются участки, где р ~ О. Эти участки могут быть метастабильными 1(др/дЬ)«(01 или неустойчивыми [(др/дЬ)«) О1. Равновесие газовой (р ) 0) и жидкой фаз определяется правилом Максвелла (см.
гл. 4), поэтому в устойчивом термически равновесном состоянии давление р должно быть положительным. Фвг. 9. 9. В эксперименте Джоуля — Томсона газ, имеющий давление р«, медленно продавливается сквозь пористую (ватную) перегородку в область, где давление равно рз (перегородка не позволяет газу приобрести кинетическую энергию), как это изображено на фиг. 9. Показать, что в этом процессе перехода гааа из объема )г« в «га знтальпия Н = У + р«г сохраняется, а изменение температуры Т, — Т, определяется нз условия постоянства энтальпии.
Гя. 1. Теряодиноиичесное состояние и первый аанон Ркшеннв В начальный момент поршень Рз прижат к перегородке Я и газ находится между перегородкой и поршнем Р, в пространстве объемом г'» где он имеет давление р, и температуру Т» Затем поршень Ра начинает медленно двигаться к перегородке так, чтобы давление р, сохранилось постоянным. Одновременно с этим поршень Рз медленно отодвигается. Зто движение продолжается до тех пор, пока поршень Р, не придвинется вплотную к перегородке Я.
Меладу Рз и Я к этому моменту образуется область объемом аез, заполненная газом под давлением Ра. Полная работа, совершенная двумя поршнями, имеет вид о Ув А= — ~ Расула — ~ Рог((1=Раув Р6г Уа о Из первого закона вытекает /(Ра ( 3) / (Р» 1 а) Ра~ 1 Рауха (1) с/а, Ра)Та =в Па: Рэга нли га (Р» а'а) =се (Р» га) Следовательно, если энтальпию газа Н считать функцией от р и Т при фиксированной массе газа, то соотношение (1) можно записать в виде га (Ра Та) =та (/'"а Та). (2) Из него определяется температура Тз при заданных р» Та и рз. ЗАДАЧИ (А) 1. 11оказать, что если уравнение состояния имеет вид Р = Р (Т, г), то справедливо соотношение рсар = /ааг, где ар — — (др/дТ)г/Р— тепловой коэффициент давления при постоянном объеме, аг = (д)а/дТ)р/)с — коэффициент теплового расширения при постоянном давлении, /а = — 'ае (др/д)с)т — изотермнческий объемный модуль упругости.
2. Доказать соотношение аар=/о ( — —,+а„,ааТ), связывающее малые изменения Ыр, «1а" и ЫТ давления Р, объема а1 и температуры Т при квазистатическом процессе. Задачи 43 3. При нормальных теьшературе и давлении для кислорода ср — — 0,2203 кал~г град, с1 = 0,1578 кал!г град. Считая кислород идеальным газом, вычислить механический эквивалент тепла. 4. При постоянной температуре 20' С идеальный газ квазистатически расширяется из состояния с давлением в 20 атм; конечное давление равно 1 атм. Какую работу совершает 1 моль газа (в джоулях)? Какое количество тепла (в калориях) необходимо передать газу? Фиг. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
