Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 12
Текст из файла (страница 12)
18. >Выражение для работы в постоянном магнитном поле Н имеет вид о'А = НН, поэтому из первого закона термодинамики следует, что поглощаемое тепло определяется соотношением в)'() = сШ вЂ” Ы'А = в)с> — 1И1. Если считать У и 1 функциями от температуры Т и гзагнитногеп поли Н, то Искомая теплоемкость Сп равна ЩИТ при ч(Н = О. Таким обра- зом, мы нашли решение задачи. С другой стороны, считая Т в функции Сг(Т, 'е') функцией от р и е', получаем выражение (эср) аст(т(р,р),р) (эсу) (эт) +(эсг) с помощью которого соотношение (4) можно переписать в виде ( эс>> ) ( ат ) э(эс>эр) ( эс>> ) ( эт ) Подставляя это равенство в (3), получаем требуемое соотношение 17. Используя решение задачи 5, а также следующие соотношепия: со =7р!р, дт (с,— сг) т — — = (ср — ст) Т =-- (т — 1) стТ> р М получаем, что с' = у (у — 1) сгТ, или стТ = сзЛу (у — 1)). Кроме.
того, нам известно, что и =- с„Т + совет и й = и + ри = и + (ср — с,) Т = и + (у — 1) с„Т = = ус,Т + сопаФ. сз Решетка ' 19. Для единичного объема магнитного вещества, участвующего. в квазистатическом процессе, первый закон термодинамикн,'записывается в виде сд"Ч = и'У вЂ” НоМ [согласно уравнению (1.5) и примеру 11.
Сравнивая это выражение. с аналогичным соотношением для газа: д1 ~ = ддйи' + рЛР, находим. соответствие р -е- — Н, У -е- М. Так как величины и»отер»же ти растиреаие д д т=(%)т и "=-(~") з соответствуют величинам 1/(др/ду) г н 1/(др/дУ)аю то искомый результат можно получить, обращаясь к решению примера 7 и действуя аналогичным образом. 20. Внутренняя энергия теплового излучения в замкнутой полости с объемом 1Р определяется выраже- ддаадати »ест снсатие Йеаьесоие орин д и» «р «е ое сжатие Подставляя сюда выражения для У и р, получаем д1'йр = д) (о)/Те) + —,оТе Л'= — оТе рЛ/+4оТег'6Т. 3 Следовательно, условие адиабатичности принимает вид — пТ41Р ( — + 3 — ) = 0 или после интегрирования 1п)Р+.
31пТ =сопв1, 'а'Тэ = сопвг. Исгюльзуя уравнение состояния, находим рр ре = соней. Теплоемкость при постоянном объеме равна У нием У = 'г'и = о'г'Те. Так как давление р = и/3 = оТе/3 не зависит от У, величины р и Т не являются независимыми. Поэтому в качестве переменных естественно выбрать (а', Т) или (еи, р). Для квазистатического процесса пер— вый закон термодинамики записывается в виде 3Н = ~'~) — рему.
Гл. л, ТермоВинаминесиое состонние и первый зенон а теплоемкость при постоянном давлении можно считать бесконечной, так как при фиксированном давлении температура излучения в полости не может меняться. Как показано на фиг. 17, цикл Карно образуется квазистатиче<киззи процессами, при которых система переходит из состояния 1 з состояние 2 путем изотермического расширения, из состояния 2 в состояние 3 путем адиабатического расширения, из состояния 3 в состояние 4 путем изотермического сжатия и возвращается в состояние 1 путем адиабатического сжатии. Пусть в процессе 1 — ~ 2 объем возрастает от 7з до 7з при постоянной температуре Тп Работа, получаемая тепловым излучением, записывается в виде Уз Аз. з = — ~ рЛ'= — — аТ,'(7з — 7з), Уз .а полученное тепло гз 4 с 4 () з з = — аТ,' ~ Л' = — аТ, '(7г — 7з).
.Следовательно, их сумма Аз з+Ь з=аТ~(7г — 7з) соответствует возрастанию внутренней энергии. Очевидно, что для протз цесса 2 — и3 ~з з=О, а чтобы вычислить Аз з= — ~ рд7, Уз воспользуемся соотношением р74/з =- р 7нз = аТ47аз 1 3 Следовательно, Аз з=. — — аТв7 1з ~ 7 — в'зд7-- аТ~~7„~з(7-пз — 7-з'з)— 1 гз = аТ,'7~~з77'~з — аТ,'7, Из равенства 7зТ =7,Т, 'находим температуру системы в состоя- нии 3. Она равна То=Те(7з/7з) ~', откуда Аз. з =.
аТ',7з — аТ',7з. При этом происходит такязе увеличение внутренней энергии. (Действительно, Чз з — — О, поэтому в силу первого закона термодинамики должна возрастать внутренняя энергия.) В процессе 65 3-~ 4 температура постоянна и 0з,г = — пТ', (Р, — Рэ), Аз г= — 3 аТ,(Р,— Рз). Для процесса 4 — +1 имеелз (2~ ~ —.0 и Ах ~ —.
пТ,'Р,— пТВ',. Так как Гз) р„то ~)ь,з) О. Это означает, что происходит поглощение тепла от теплового резервуара (с температурой Т,). Из равенств РзТ,' —. РэТ, 'и Г,Т,'.—... 1',Т,' вытекает, что Г,В'„=- =у,!Г,)1. Следовательно, ()з ь~О. Это в свою очередь означает, что тшьчота передается более холодному тепловому резервуару (с температурой Тз), так как Т,— Т~(рз!$;) "'(Т, в силу того, что Гз) Рз. Полная энергия, полученная системой от теплового резервуара ()~ з — (()з х( — (7~,з+()з х, равна полной произведенной работе -(Л~ г Лз- з ~ Аз х ! Аг-.~).
Поэтому 3 пТ (Є— Рз) -- ив пТ,'(Г~ — Рз) г 3 1 откуда следует уравнение !1лаузиуса (~ы,з(Т, —;-Оз ~'Т, = О. 21 (См. пример 9). В стационарном потоке линии токов не изменяются со временем. В целом я<идкость не находится в состоянии термодинамического равновесия, так как из-за движения жидкости скорость и, плотность о и давление р являются функциями точки. Однако можно считать, что достаточно малые элементы объема находятся в состоянии термодинамичоского равновесия (локального равновесия), т. е. можно считать, что изменения их состояния происходят квазнстатически.
В таком случае давление полностью определяется плотностью и температурой элемента объема с помощью уравнения состояния. Из уравнения неразрывности жидкости следует, что количество жидкости, проходящей за единицу времени через поперечное сечение Я, трубки тока, перпендикулярное направлению потока, как показано на фиг. 18, равно количеству жидкости, проходящему за то же время через другое сечение Яз, т. е.
р~Я~э~ = рз8зэз. Обозначая через 1 расстояние вдоль трубки тока, моя<но записать д (раап)!д1 = — О. Теперь применим первый закон термодинамики к объему жидкости, заключенному между сечениями Я~ и Я„ расположенными на расстоянии й друг от друга. Так как мы пренебрегаем теплопроводностью, можно не рассматривать теплообмен этого объема жидкости с окружающей средой. Ксли пренебречь еще вязкостью и гравитационной силой, то совершаемая работа будет выражаться только через внешние давления р, на поверхность Я~ и рз на Яз. Работа, соверзпаемая над язидкостью за единицу времени, равна р~Я~э, — рзЯхпз. Для бесконечно малого Л ктсэ Гл.
л. Уериодинамикеское соскеолние и корвин еакон она равна — Жд(род)/д1. Будем считать, что плотность внутренней энергии и жидкости с помощью уравнения состояния можно выразить через плотность Р и температуру Т. Элемент объема жидкости, находившийся в момент времени 1 между сечениями Яе Ф и г. 18. и Яа, по истечении интервала времени Ж будет расположен между сечениями, смещенными относительно Я, и Я, на р,М и роли соответственно. Поэтому его энергия возрастает на величину — Р1 (не+ 2 р ) осре ссг+ Рз ~из+ 2 ре ) озрз ог.
1 ст Г 1л1 В первом порядке по Л возрастание энергии на единицу объема будет равно д ~рдо ~и + — оа) ~ с11 д1 В силу первого закона термодинамики это приращение энергии должно быть равно ранее полученному выражению для совершенной работы, т. е. д ~рдо ~и+ — оа)1 д1 Это равенство можно переписать в виде д ~рдо (и+ — оз+р(р) ) д1 =О С помощью уравнения неразрывности д (рЯа)/д/ = 0 получаем Е (и + —, аз+ р/р ) 1 --- о Отсюда следует, что сумма и + р/р + '/зпз постоянна вдоль линии тока. Так как величина 1/р представляет собой удельпый объем„ то Й = и + р/р есть плотность энтальпии, '/зг' — кинетическая энергия единипы массы. 22.
В предыдущей задаче мы нашли, что сумма плотности энтальпии й и кинетической энергии ч/,аз постоянна вдоль линии тока. Для идеального газа с постоянной удельной теплсемкостью нэ уравнения для внутренней энергии и = е„Т + сопз$ следует, что Ь = и + р/р = е„Т + сопз$. Следовательно, для него величина е„Т + </еа' постоянна вдоль линий тока. При адиабатнческом изменении состояния идеального газа величина р<' тптТ постоянна, поэтому она должна быть постоянна также и вдоль линий тока.
Если теперь мы предположим, что в камере с перегретым паром, где он находится прн температуре Т = 300' С = = 573' К и давлении р = 5 атм, скорость потока равна нулю, то с Т-р —,, из =-О. <9 573=281 кал/г = 1,174 10" ем'/еек'. Р Когда р —" 1 ата<, температура становится равной Т= 573.( —.Р) ' ' ' 'К="573 5 з ззз'К Для вычпслеппя х =- 5 '"' возьмем логарифм правой и левой частей: 0.248 )а 5 †.. — 0,248.0,699 — — 0,1734 †. 1,8266, откуда следует, что х = 0,671. Таким образом, Т вЂ” 573 0,671 = 384' К = 111' С.
Теперь нетрудно получить верхний предел скорости аз = 2(1,174.10<э — 0,49.384 4,18 101) = 0,774 10ю смз/сека, т. е. а = 880 м/сек. 23. Пусть независимыми переменными системы А будут р,„и и,„ а переменными систем В и С вЂ” соответственно рв, ав и ра, аа. Если А н В находятся в равновесии, то между четырьмя переменными рл, ал, рв и ав существует некоторое соотношение. Запишем его следующим образом: ре (Рлт ил~ Рв ав) 5е Гя. 1. Термодииамииеекое еоеепояяие и первый, заков Аналогично, если В и С находятся в равновесии, то будет иметь место соотношение г1 (Рв вв Рс.
Вс) = О (2) Согласно нулевому закону термодинамики, А и С также находятся в равновесии, тогда из (1) и (2) следует, что должно иметь место соотношение ~2 (РА ВА РС, сс) = О, (3) Коли разрешить (1) и (2) относительно рв Рв = % (РА ВА св) Рв =- 1гз (Рс сс вв) то соотношение 1г1 (РАт ВАт вв) 1гз (Рс сс~ вв) (4) должно быть эквивалентно уравнению (3). Следовательно, соотношение (4) долязно не зависеть от вв и должно быть эквивалентно соотношению типа ~1 (РА ВА) = 12 (Рс сс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
