А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 65
Текст из файла (страница 65)
С). 360 Так как по условию Мя'= 1, то отсюда получаем МХ!!. !и'>Р'(О, =С), и в (ч) имеет место равенство. Микротеорема доказана. 12*. Задача решается с яспользованием условия сингуляриости, данного в задаче 7, которое оказывается не только достаточным, но и необходимым (в случае абсолютной непрерывности конечномерных распределений). 13. Разумеется, абсол!атной непрерывности нет при с = 1, потому что при этом Р (П, =- О) = 1, а Р (ш! = 0) = О, и р„ и р сингулярны. Пусть с Ф !. Возьмем 0 < !! « ...
1, ! < < 7„ = 1. Совместная плотность распределения Рч! ...и, ч (х! . хл — ! хл)= 'в — ! ч и 1 Х ) 1 — с) .~-Е ч/2п(7! — !з,) Х ехр ~ — ) х — хг, + (г! — 1,,) х 1 /(2(1,— !! !)]~, (ч) (Полагаем !в=О, хе=О. формулу (ч) мох!но получить, например, пользуясь тем, что и — гауссовский процесс со средним 0 и корреляционной функцией Кч (Г, з) = ! Л з — (2с — сз) !з.) Деля этУ плотность на Р (хп..., х„), полУчаем мГ! ччл гмЕ„ 1 (( 1 х~ ) — — ехр ( ~ !в — Это означает, что имеет )1 — с! (~ (! — )' 2 место абсолютная непрерывность бесконечиомерных распределений с плотностью р (г(х) )1 — с! хй ((~ (! — с) ) 2 ) (здесгч в отличие от формулы (*), хг — не независимое переменное, в значение функции х. в точке !). 16.
В случае грч Ф О, естественно, имеет место сингулярностьб будем рассматривать случай грч = О. Для 0 = !з < !г « ... < г, < 7', 1, < чо находим (хч = 0): йг! ... г„(х! -. хч) = =Р! ! (х!, ..., х„):Р и (х!, ..., х„)= Г . !Рг! — Фг! ,". (р! — чг, )2 1 ехр ду ' ' (х — т ) — — ху с с-! (л.л ! — ! ! ! ! 2 2л ! -! 36! Согласно задаче 11, остается проверить, что Ми*=1.
Но зто т вытекает из того, что 21 = ~ ф бм, — гауссовская случайная вет личина с нулевым средним и дисперсией о = ~ ф~ Жг 2 о М ч-о92;о92 1 ез -з*д2о") 1 16*. То, что Р' — вероятностная мера, устанавливается легко. Абсолютная непрерывность распределений: из Р (й, ~ С) = = р(С) =О, С щ го', вытекает Р'Ц, ~С) = М)(11 с)и =О. Однако, вообще говоря, и чь — Я.) (= М(п) У )). с(р' Такая конструкция дает возможность из одного случайного процесса получить различные другие (см., например, Д ы н к н н (1963, введение, 2 6, гл.
10, й 4)). 12*. Положим Ь= щах и, Ч = ю + ЬС т= гпак 2)р о<2<2 г с<г<т р (Их) р, (г(х.) рй (г(х) ' р (г(х.) = у (х), "' = й (х.), и = Ь (э,). В силу задачи 15 имеем п=ехр(Ью — ЬзТ(2). Упомянутая формула (9) дает у (х) = М ье т ) Ь = х) = е" )Р 1(У,х)ЫУ: Рй(х), а р (х) = рь (х) у (х). Итак, считаем: при х ) 0 р„(х)= ~ е" )р 1(у,х)бу= х зьд — ъ*т/2 г (2х ) е — (2х — У)у(2т) б ь — ьт2 / 2 Тз -1 +ЬТ)у(221 2Ь тзхб2 ( Х Ь2 ) / 2 При х < 0 плотность, естественно, равна нулю.
Теперь выясним, что будет с этим распределением при Т-ь ос. Если Ь = О, плотность равномерно в каждом конечном промежутке стремится к нулю, т.е. распределение уходит на 363 -1-са. Эта означает, что с вероятностью 1 зпр ю = с= о-;< 11»п »пах сис — — ьь. То же будет и в случае и > О, хотя т- о<с<т бы потому, что в этом случае»)с ) юс. Напротив, при Ь < О первый член в выражении для плотности стремится к нулю, а второй — к 2( Ь ) е ! потому что 1пп Ф ! ) = -тсь(хс с' — х — ьт ч т- ч ч~Г = Ф (+ со)=1) Таким образом, распределение »пах т) в о<с< этом случае — показательное с параметром 2)Ь(.
18". Аналогична предыдущей задаче, если мы обозначим рассматриваемый максимум через т, имеем (платность бесконечномерных распределений вычислена в задаче 13): р (х) = ~ ехр [ [! — 1 '2 ~~Р~ » (р, х) с(у = Х ~/ — (2х — у) е 1" "'Сос(у= еы(с — ср ох'( (1 с) — [х -2»сс -с)11121! — с)'1 1. Т(2и + (4сх — 2сзх) Ф ( )~. Конечно, эта формула действует при х ) О, а прн х < О плотность равна нулю. Устремив с к единице, получим предельную плотносггн р(х) = 4хе э" Ф (+ со) =4хе т" при х ) О; р(х) =О при х~(О. Так как это выражение имеет интеграл 1, то зто — плотность предельного распределения, т.е.
плотность распределения случайной величины щах (ю — Сюс). о<с<с й 5.4 3. Использовать характеристические функции. 4. Для произвольной ограниченной непрерывной функции 1 на )с» функционал г" (х.) =1( щах х ) ограничен и непрерывен, о<с<т поэтому МР(Я~) -ьМг(ю,) (Ь ) О), или $ (»Ур а-и ~ (с(р 5. К распределению тождественного нули. 6». Произвольная последовательность неслучайных функций, сходящаяся в каждой точке к нулю, тогда как их максимумы не сходятся к нулю. ('-.)=Ц ($ - )- а-з з,— ! 3. (т <и)= Ц П (5 ФГ!)() з<ч <и « ..
иа<з з=з з — ! П (5з !ыГ!)Д П ($.Ф Гт)П(5з аорт)П, !=л +! пь ! ... и П (5! М Г,) П (5„, = Г,) = У. г-нь — ! 3. 3 а м е ч а и из. Задачу 3 мы решим на основании задач 4, 5, решения которых мы сейчас приведем 5. Пусть т — марковский момент относительно У Имеем (т < !) = () (т<! — 1/и)! каждое слагаемое здесь прин ! надлежит У <!! !/„! '- У <!, а значит, и сумма принадлежит У <!.
Обратно, пусть (т < !) ш У ! при всех !. Пользуемся тем, что (т «</) = П (г < !+ 1/л), где й — любое натуральное число; з ь получаем, что (т < !) != У для й = 1, 3,, откуда (т~~/) !ы П У <!+Па = !!1! У <э=У<!+. ь-! з>! 4. Если 5!(ю) непрерывно справа, то для открытого множества Г ( < !) = () (5, = Г). рзп г<! То, что любое элементарное событие, принадлежащее правой части, принадлежит также и левой, ясно, причем даже и не для открытых множеств. Обратно, если т < !, то существует з < ! такое, что 5, ш Г. Раз множество открыто, а траектория непрерывна справа, то она не может сразу же после з выйти из Г, т. е для и, достаточна близких к з справа, $нш Г (рис.
38). Среди этих и есть и рациональные, причем меньшие !. Итак, мы представили (т < !) в виде суммы счетного числа событий, принадлежащих У"< г! значит, (т < !) !и У'<г, и в силу задачи 5 т — марковский момент относительно семейства У<сь. 3. Через Г„обозначим 1/л-окрестность Г: Г„= (х! р (х, Г) < < 1/н); это — открытые множества, дающие в пересечении Г.
Если траектория непрерывна, то моменты т„первого достижения Г„(т„= !п( (й 5г эп Г„)) сходятся к т, причем если т) О, то т» < т (рис. 39; если т=О, то все т„тоже равны Зб5 нулю). Докажем сходимостьс раэ т» — неубывающая последовательность, то существует т, = 1!ш гл !и (О, со). Ясно, что л.+ т,< г. Поэтому при т =оо имеем т=со; если же т < со, то в силу непрерывности траектории имеем з = !пн 5 .
Но— тоже в силу непрерывности траектории — а принадлежит гра- л нице Гл, и для любого п)й точка $ содержится в множестве л Рис. 38 Рис. 39 (х: р (х, Г) ай 1/й). Предел, $т, также содержится в этом множестве, а значит, з !и П (х: р (х, Г) (1/й) =Г. Но это озна- а=! чает, что в момент т, мы уже достигли множества Г, т. е. т(~т . Окончательно имеем г= г = Вш гл. лз Отсюда выводится, что при 1 > 0 (т<!) = П (тл < !), л=! и из результата задачи 4 получаем, что (т<!) !и У <! при 1>О. Что же касается 1=0, то (т<0)=(т=О)=йо!нГ), и зто множество принадлежит У .! — — У о по совсем другой, более простой причине. 8. Очевидно. 7. Донажите, что (т(~ с) ~"У"т.
Измеримость этого множества относительно У' — результат задачи 6; далее, для 1!и Т 8. Пусть А !и У'т; докажем, что А !и У'л. Во-первых, по условию А еы У ый во вторых, А Д(а < !) = А Д (т ~< !) Д(а(~ !) ~ У ! как пересечение принадлежащих этой а-алгебре событий А Д ( г ~< 1) и (а ~< !). й.
(а- !) =(а <1)()(т <!) !и У'!. 1О. В силу задачи 8 наименьшая из этих а-алгебр — У т да, так что достаточно показать, что (т < а) !и У д . Во-первых. (т < а) ~у, потому что (т < а) !()! (т~(г)()(а ) г) = раа. г Ц ((т(г)х (сг<г)). Далее, (т < а) П(г Л и~<1)=(г<о) П рац.
г П (т < 1) = ( ) ( г < г) П (о' > г) () (т < 1) П (а > 1). Здесь вав. г<г каждое слагаемое суммы по рациональным г принадлежит Я, ~:— ~ У ь последнее слагаемое тоже принадлежит Уь значит, этой а-алгебре принадлежит и сумма.
и 6.2 !. Нужно доказать для Сы Ж нзмеримость множества (г)т~= С) относительно У н измеримость (пт~н С)1)(с<1) относительно У ь Эти нзмеримости следуют из результата задачи 6 э 1.3 в применении к (Т, У ) = (Т, Яг) (сеотнетственно (Т П( —,1(, Я<,)). 2. Так как ~~(ы) непрерывно по 1, достаточно доказать, что случайная функция й согласована с семейством Уь Но У оизмеримость случайной величины й вытекает из теоремы Фубини. 3. Функция ь, на (О, г) х 1) измерима относительно Я1о г1 Х У г в снлУ микРатеоРемы 3 з 6.2, значит, отобРажение (з, ый)-ь(з, $,(ы)) пространства ((О, Т) Х 1), Я1з ОХ У'г) в ( (О, 1) Х Х, Я)о г1 Х Я) измеримо, а значит, и числовая функция 1(з, Ц, (ы)) измерима относительно Я)о г1 Х У'н Далее применяется предыдущая задача.
4. Результат почти вытекает из задач 1 и 3 — остается неясной толька измеримость ф = Ьт на множестве (т = сч) (где, в частности, интеграл может расходиться). Другой возможный путь решения — представить ф как ~ 1(з, з ) 7< (3) Жз.
о Этот же результат сохраняется и для неограниченной функции 1. 2 7.1 1. М(~г — ~,)(й„— йг) = ММ((~г — ~,)(й. — ~г) 1У г) = =М((йг — К,) М(й„— 2,1У,)) =О 2. М(й„„(У „)=М(М(й„„з ~У-„ь,)( У а)=М(2„„)У „)=й„, и т. д. 2 7.3 1. $т измеримо относительно У т; достаточно доказать, что $ дР ~( ь оР для любого А ~= У . Разобьем интегралы ° т 1 м т' л А по А на интегралы по А Д (т = л) и докажем для каждого из них неравенство отдельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
