А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 69
Текст из файла (страница 69)
9». д (х) Ра(х) — г (х) = — д (х), х ш В; я(х) =О, х Ф В. 3 13.2 1. Используем марковское свойство: Р„(т > (в+ 1) Т) = Р„~(т > иТ) () О„! (т ь Т)) = Р! (т> Т) Р„(йо) <(1 — б) Р (т> пТ); «т>аг! по индукции получаем оценку (!), а дальше пользуемся тем, что М»т<Т ~ Р»(т> лТ). а=о 2'. Решение аналогично доказательству теоремы 1 5 13.3. 3*. Инфинитезимальный оператор марковского семейства (т«н Р„) задается формулой А)(х) = а[/(х + 1) — !(х)) — а)'(х). Гладкая финитная функция е(х), определяемая формулой и-'х(! + 1 — х) при О < х < ! + 1, удовлетворяет уравнению Ао(х) = — 1 при х «ы (О, !].
Йэ этого вытекает, что о (х) = М„ (о (т« / г) + (г Л Т)! > М„ (т Л Т). Предельный переход при Т- о» дает нужную оценку. 4. Собственно, решать после того, как прочтен предыдущий текст, уже нечего. ! а 5. Искомая вероятность р(х) — решение задачи — а(х) р 2 (х) + Ь (х) р' (х) = О, р(с) = О, р(б) = 1. Общее решение уравнения есть С, ~ е ть«»!«~«"!ах+С»; решение, удовлетворяющее граничным условиям: (х) ~ е — зь(уко (у) г( /~ у-эЬ (у)!а(у) ( а е 1 8. Достаточно проверить, что — Л 1и ) х ( = О.
Теперь зай. 2 немея предельнымн переходами. Обозначим через т„тл, т, момент первого достижения окружностей радиуса г, )7 и точки О. При )г -г со момент те стремится к бесконечности, поэтому 1пп Р„(т < т ] = Р (т, < оь) (это — вероятность монотонного предела событий), т. е, вероятность когда-либо достичь д~ равна 1.
Далее, то —— 1пп т,, поэтому гэо г Р» (то<ел) = Пш Р„(т < и')=0 гФо при всех х ~ О; предельным переходом при Я -ь ао получаем Р„(т < ) =О. Почему нельзя получить Р„(те < со) предельным переходом от Р„(т, < оо) при г ) 07 Дело в том, что, тогда как ( 1 (т, < т ) =(те < т ), пеРесечение ( ) (т„< оо) ие совпаг>о г>о дает с (те < оо), потому что 1(гп т, может быть равен оо. гэа 7.
г„(т,<тл)=(~Д х ( — )(гг)(1)г — 1)к); имеем Р„(т <со) = — 1)ш Р„(т <т )=г/)х) ори (х)~>г; Р„(то<та)= Ьо =11ш Р (т <т )=О, и точно так же Р (т <оь)=0 прн » х ~ 0 (ср. задачу 2' ф 7А). 8. ш(х) = ф» — )хР))г; в частности, среднее времн выхода для траектории, начинающейся в центре шара, равно Й'/г. Совершенно так же, если  — область, ограниченная поверхностью второго порядка: ))= ) х о (х) = ~~ Аыхг»1+ ~~~~~В;х'+С~~О~. В имеем 1 — Ло (х) Аы.
2 Отсюда вытекает, что М„т < ео, если ~~~ Ам < О", в случае ограниченной области )7, т, е. эллипсоида М„т = о (х)/1 ~~~ А~г ~ . ! 387 Можно доказать (например, используя стохастические интегралы), что это выполняется и для неограниченной области и что М»т= = ос, если ~ Аы > О. ! й» М„„т = (хт з(па (а)2) — уз созз (а/2))(соз а прн а < и/2, М» вт < оо дли острого угла, М„ вт = оо для прямого илн тупого. 10*. Конечно.
11*. Проверяется, что и (х', х') = ~ р»,», (у) ) (р) г(у 1 — ограниченное решение задачи — Ли=О в Р, и(х', х') — ь)(р) 2 при (х', хт)-ь(у, О) г= дР 12. Вне компакта Ри — — РП(х: ) х) (Лг) изменим функцию и, оставив ее гладкой, но сделав финитной. Имеем для х сн Р: и (х) = М и Гй 1, где т — момент выхода и' » ( тм!' Я из Р Устремляем Л' к бесконечности„пользуемся леммой Фату: (х) >М 11щ ($ ) > М»ф($ ), х-~ потому что если т (»о, то и!$ 'г = ф($ ) прн достаточно тм) больших Л'; при т = оь нижний предел неотрицателен, а вместо ф (1 ) берется О. Доказываем второе утверждение: ти о (х) = М»о(йти)+ Ых ~ йг (й») г(5~ о 'ги т о (х) > М„!пп о(ат ~)+ М» Ош 8(8») Нз )~ М» ~ 8(а») г(з.
й а-» з е о 18*. Окружим точку х сферой 5 = (йз )у — х) = е); момент первого достижения этой сферы обозначим через тз. Для траекторий, начинающихся внутри сферы, О, т=т — т, 8, шт=ш,. 3 Пользуемся строго марковским свойством относительно момента тз: Р(х)=г»(штш()=г»(йт (а'тгп"))= =М Р1 (ш еп1)=М р($ ) Но ясно, что в силу сферической симметрии винеровского про- 388 цесса распределение йтл на сфере — равномерное; поэтому ййхр(йтл) — среднее р(у) по сфере 5. Итак, функция р в каждой точке равна своему среднему по любой сфере с центром в ней, не выходящей за пределы области, т.е. это гармоническая функция.
2 13.3 1. Выпустим винеровскую траекторию из точки (О, О) Вероятность того, что она достигнет и-го маленького кружочка до выхода из большого круга, не превосходит вероятности достичь этого кружочка раньше выхода из круга ((х, у): (х — 1/2")з + + уа ( 4) (рис. 44). Эта последняя вероятность равна (!и 2 — !и (1(2")!1(!и 2 — !и (1/2" )) (см. задачу б $13.2), т. е.
(л + 1)/(нз + 1). Ряд из этих вероятностей сходится, процесс Рис. 44 с вероятностью! до выхода из круга достигает лишь конечного числа из маленьких кружочков, откуда ( >О)= 2. Возьмем непрерывно дифференцируемую неотрицательную Фчнкцню 3(г) на (О, со), равную и' в 2е-окрестности точки О и нулю вне некоторого отрезка. Обозначим через их (у) следующую г функцию в )с: их(у) = н((у — х ) ).
Эти функции принадлежат Сеян, и легко видеть, что для х ~ш 0 (хс) нормы !2! ограничены сверху каким-то числом К. Мы знаем, что н„($ ) — ~ (.н„(3,) Нз о — мартингал; поэтому и„(й ) — ~ би„($,) Н~+ К( о — субмартингал, причем неотрицательный. !1ользуемся колмого- 389 Ровским неРавенством: длЯ х ки (Г (з(ха) Рх ($! ф (к (ха) при каком-то 1~(й) ~( Г( , !!,! — ( ы , !к,! к.
« к ] ~ .и р !) ч о л 'ч,~,!к! — )и,!к)~ «кк] — ь 'кк к !к!~!. а 3. Строго марковское свойство относительно момента т: для любого событии А кы У -т+ н любого события В ~ У >а Р„(А П 0 'В) = $ Рй (В) Р„(к(ы). Положим А=(5 ~ В), В=(т > О); имеем: 8 'В=О '(г>0) = =(О,т>0) =(О > 0) =!с), Левая часть ( ) равна Рк(0) =0; в правой части Рй (В) = 1, потому что — сингулярная точка границы Полу. т чаем 0 = Р (А). 4. Регулярные точки границы показаны жирными линиями на рис. 45.
Стрелки указывают направление сноса. Менее всего ясна регулярность граничных точек (О, 1), (О, — 1). 5*. Теоретико-вероятностный смысл— Рис. 45 абсолютная непрерывность с ограниченнной плотностью относительно друг друга распределений точек выхода из области для траекторий, исходящих из точек х и у. Однако, чтобы полностью правильно это понять, нужно рассматривать не геометрическую границу области, а крплицу Мартина (понятие о границе Мартина можно получить, прочитав $8.5 книги И то н М а к к и н а (1968)). РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ, ДОБАВЛЕННЫЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ $ 1.2 3.
Из (2) получаем пользуясь формулой р (х)=(бе1А! !р (А !х) преобразования плотности при невырожденном линейном преоб- разовании случайного вектора. 11. Необходимость ясна; докажем достаточность. Согласно микротеореме ! достаточно установить существование конечного предела М ьг+а ьг ьг+л' !!гп а а ь'-та Мйг+ьйг+в Мйг+лйг М~гйгта + М3гйг = !цп а-+з йй а'-та М3, ~,. с(з Нз', г используется непрерывность смешанной производной. 13. Существование процесса с такой корреляционной функцией можно установить с помощью задачи 3 3 !.3: $! =Уа'1+У!г+У !з+ ... +У 1" + где у* — некоррелированиые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями 1/й!.
Бесконечная диффереицируемость процесса в среднем квадратическоьг вытекает из бесконечной дифференцируемости его корреляционной функции. Матрица ковариаций: 2е е 1 е 0 е 3 3.3 3'. Пример: $г — произвольный стационарный в широком смысле случайный процесс, з)г = $гть Имеем М(йг — пргг кг (!= О при ! ( 1, тогда как, вообще говоря, М(3 г — пргг  — г! ФО. 3 3.3 3. Нужно доказать, что из С ~м !Нг, р(С) = 0 вытекает р'(С) = 0; достаточно доказать для любого е > О, что р'(С) ( С е.
Выберем по данному е положительное 6 ( в/2 так, чтобы при любом л из рг г (А) < 6 следовало р' (А) ( е/2. 1 ''' а г ''" гп Выберем в алгебре 'цилиндрических множеств множество 391 Числитель представляется в виде г+» гть' — е 7е 0 е 1 е 0 е О е ! 1 1 е С )з —— (х.: (хг,..., хг ) щ Аа1з) так, чтобы (Р. + Р ) (С 1з ЛС) < д; тогда, в частности, р (С 1,) < б, т. е. р~ ~ (А ( ) < б, откуда и р (С гз)=рг ~ (А 1з) < е!2. Получаем: Р' (С) ~ (1з' (С ю) + Р' (С,з бС) < а/2 + а/2 = а.
14. Распределение П„абсолютно непрерывно относительно П ~"ч '(ря с плотностью — '(х.) = О,если х, — хртаО, ' (хз) = еч при х~ — хз = О. Так как эта плотность обращается в О на множестве положительной рй-меры, то распределение р1 не абсолют- но непрерывно относительно р, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
