А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 64
Текст из файла (страница 64)
4 4 2. г)„= ~ (! — е ") е" ь(оЛ), !ч(Л)=(2 — 2 сох Л) Х вЂ” я, к! Х ! (Л), причем для существования г! нужно ~ (2 — 2 соз Л) Х и Х( (Л) (Л < 3. Уравнение, описывающее схему: Сг)!+Р г)! =к!. Ясно — 1 что дла стационаРного РешениЯ Мг), =)!Мйг = Жо. Из $г = го + + ~ е'х~~(Н) получаем где Р(ОЛ) = Р"з+ С1 Спектральная плотность „.л Уч( ) — ! Р(ЗЛ)) ! ( ) — (, а)( вычисляем дисперсию (капример, пользуясь вычетами): ()т) = ~ Т (Л)»(Л = (Л» б!)а,»(1 + ЯСа).
2. Докажем второе. Пусть и» вЂ” пй» в среднем квадратическом, яа„ла равномерно, где »л шх з»ь пзп(Л)=соме +с»лас +с»лзс' + »Л агк Згк йап (Л) = сало + са»с + салас + Апас + (суммы — конечные). Легко видеть, что й~п(Л) йал(Л) = сзп|сглос' + (с~лзсапз + с|л,сь»о) е а"+... ый>о. При этом и, я„-». я»яа в среднем квадратическом: ((к»пиал к»ь»а1~4»«11(к!л К») йап((с + 1(к! (кап ь»а)1(а» »« «((йш 4»»((с ((4»ал((с+ 113» ае ~13ал ка((с ° О. (Л) = (4 + Зе ) 4 3. ((Л) = (» (Л) )» (Л), где ) 3 -аз 9 -ааа. — — с + — е — ... Имеем 16 64 ( 3)"' ( 3) 4ы~ 336 Теория непосредственно применима лишь в случае Мйл =О; поэтому положим $л = $л — Мйп = $л — 2. Наилучший прогноз о есть о 3 (О»л) = 2 + (ь»л) = 2 + ( — ) ВО = 2 + ( 4 ) (ОО 2).
Вычислите сами средний квадрат ошибки прогноза. 4п. 1(л) = 1»(л)1,(л), (,(л) = 1 + е ал; формула [6) дает д (Л) = (1 + е' ) , Применение этой формулы не обосновано -»ь - ' но оказывается, что действительно и — нроекция е на замкну»а тую оболочку (с пл, и «О), т. е. имеет место формула (1): (с»л — (1 + с ал) 1 (1+ с а*) (! + сел) с '"~ а(л = О, п «О. Остается найти элемент пространства Н<о, соответствуюь.'нй о д(Л) (мы предполагаем Мол = О). Функция н(Л) не разла.
гается в ряд Фурье, так что формула (б) неприменима. Однако -ж -' можно воспользоваться, например, тем, что (1+ де гх) -ж -' — «(! + е ) при я) 1 в смысле сходимости в Ег(г(р)! получаем такое выражение для наилучшего линейного прогноза: (~1)~о ! 'ш (йо г/й — 1+о й-г ''')' 1 <о 'ч~! Средний квадрат ошибки прогноза равен ( е — н (Л) ( / (Л) 1(Л = 2п, т. е. половине дисперсии оцениваемой величины. б*. Из сказанного очевидно, что искомая последоватю1ьность не должна иметь спектральной плотности, и мы находим пример: К(0) = 1, К(л) = 1/2 при л Ф О. Случайная последовательность с такой корреляционной функцией получается из последовательности некоррелированных случайных величин прибавлением одной и той же для них всех случайной величины.
7*. Вычисления аналогичны приведенным:/(Л) =2а'и — 1/(аг+ + Лг)г, о /, (Л) = )//2а~п (а -(-1Л) = —.1/2азп ~ (ел~о~~! А/1 й (Л) = е л'(! + аз + з .1'Л); (О,) = е лз(1 + из) $ + зе 'лаго, й 5.1 1. Пусть С=(х,: (х, ..., х ) 1= А) = л =[х,: (х ...х,)эиА)! 1 л' требуется доказать, что р, (А) = и, .
(А'). 1' л 1" л Прежде всего при данных 11, ..., /„ множество А восстанавливается однозначно по С, а именно, А состоит нз всех наборов значений (х,... хг ), возможных для функции х, ен С. л) г РассмотРим сначала слУчай, когда (1,..., Гл, — зто пеРе. ставленные в другом порядке 11, ..., Г, (а стало быть, л' = л), Множество А' в этом случае состоит из точек множества А с переставленными определенным образом координатами.
Обе части раненства (*) — меры, н, чтобы доказать (л) для всех А ш аг"о 1!. достаточно пРовеРить это Равенство длЯ поРождаю- щего Мо,) полукольца множеств А вида А~ Х ... Х А„, Аг ~щ Яю,). Но для таких множеств (ь) — не что иное, как первое из условий согласованности. I т Далее рассмотрим случай, когда набор 1п ..., 1„. включает l в себя Гь ..., Г„причем будем считать, что (и..., 1„.
зануме. рованы так, что первые и иэ этих элементов — это (неэависимость от порядка нумерации мы уже проверили). Тогда легко видеть, что А'= А Х [О, 1]" ", и выполнение (*) для всех А ~ы Я(о ц докаэываетса так же, как в пРедыдУщем слУчае, с использованием второго условия согласованности. Наконец, в общем случае рассматриваем множество [),, ..., 1„„) = ((п ..., 1„] Ц (гп ..., 1„.Т) имеет место пРедста- 1 части (*) равны р - (А"). 1 а" 2*. Условия существования процесса с независимыми приращениями с данными распределениями приращений и соответствующее доказательство можно аайтн в книге И т о (1960, 4 6). Можно также воспользоваться результатами 3 8.2 настоящей книги.
1. Это можно доказать, пользуясь тем, что любая функция без разрывов второго рода со значениями в метрическом пространстве имеет самое большее счетное число разрывов (а сходимость по вероятности задается метрикой). Другой способ доказательства: функция Р (г) = м агс18 Ц монотонна, а значит, имеет не более счетного числа разрывов; в точках непрерывности Р (1) из к ( 3 ( йг и М [агс)й Ц+ — агс1я в ] = Р (1 +)— — Р(à — )=0 получаем 5 =Ц =Ц (почти наверное). 2.
М (Е (1) — 2 (з)) ' = 3 [М (Е (Г) — 2 (з))']'= 3 [К(К Г) + +К(з з) 2К (т зЦз 3 [1 — Н+з — зз 2 (1 Кз)+2)з]з = 3 [] ) — з [ — (à — з)']з ~(3(à — з)'. 3*. Ответ прн 'р ( 1/2 и только при них 4. Множество частичных пределов замкнуто; так что, если выполняется событие а левой части, существует интервал (я, [)) с рациональными концами, содержащий точку $~(ы) и такой, что ни один из частичных пределов не только не принадлежит этому интервалу, но и не совпадает с его концамн. Отсюда вытекает, что для достаточна близких к 1 точек з щ Т, будет 3а зь ф (и, 8), т.
е. выполняется событие в правой части. Обратно, если правая часть выполняется, то ни один из частичных пределов не лежит в (а, р), а $~ как раз лежит в этом интервале, так что совпасть нм никак невозможно. $ 6.3 1. Сингулярность распределения $~ относительно распределений мь ц~ проверяется при помощи функционала )(х.) = = ка'. для в.
он с вероятностью ! принимает значение 1, а для ю. и т), — значение О. Чтобы проверить сингуляриость р и р,, з воспользуемся тем, что предел по вероятности 7' (ю гй й ! — ю 'Р при измельчении разбиения 0 = !з(Б( ... (!,=1 й,) равен 1 (см.
$1.2, п. 2); для ер соответствующий предел равен, естественно, 4. Правда, этот предел по вероятности — еще не Я! ' 1- нтиеримый функционал; однако решение задачи дает, на!о. Ц 2 пример, такой функционал:л(х.) = !пп У /х л — х э!з, — й/2 !й — !)/2 ) 2. Левая часть есть р'(х.: (х», ..., хг '! хм А), а правая 1 и) й(х.) р(х(х,), так что равенство, о котором (хл(хг...,,х! )юл) идет речь, эквивалентно р' (С) = ~ Ь (х.) р (дх,), с где С- — произвольное цилиндрическое множество.
Необходимость ясна; достаточность получается распространением равенства (*) с алгебры цилиндрических множеств на порожденную ею о-алгебру гохг. 4. Положим С =(х.: (хх,..., хг ) ~ А), где А — то множество, о котором говорится в условии задачи. Имеем Сг ~ы хо Т р(С,) > 1 — е, р'(Х ';С,) > 1 — е. Положим С= Ц П С л 1 й л /) = () П (Х ' С й); это — непересекающиеся подмножег г !12 п=! й=.э ства Х .
Лемма Бореля — Кантелли дает нам р (С) = 1, р'(В)=1, т а это означает сннгулярность мер р, р'. 5. Воспользоваться результатом задачи 2. Это — частный случай задачи 15. 7. Выберем !ь ..., 1„ так, чтобы выполнялось нсрззенство ... ~ [й (хп..., х„)~~р~ (Ах, ...А ч)(зз. хл Воспользуемся задачей 4. В качестве множества А возьмем ( (х!,..., х„): Лг х (х!, ..., х„)(1/е); в силу чебышйвского п неравенства 1 — рг г (А)=рх г ((х!, ..., х„):Ь! г (хп ...,х„)>1/з)х (е ~ ... ~ йг г (х!, ..., х„)р! ! (Ах! ... Ах„)=е. !'" з !"' и лл 359 С другой стороны, I рс, ... с„('1) = "с, ... с (хс " " )рс ...с (с(хс".с(~ )< (лс ...с„(хс ""хз)<с/з) ~(1)е)' '~ .. ~(йс. с (х,..., х„))'Х Хрс с (ссхс ...
с(х„) <(1)в)' овз< е, что и требовалось. 3. Пользуемси результатом задачи 7 при сх = 1/2. 9. Ми = 1; далее применяется лемма Фату. 5 10 Доказывается, что и = М(п (У ), где У з о-алгебра, порожденная конечным числом случайных величин $ь С си 5. Согласно задаче 12 $ 1.2 из равномерно интегрируемы; отсюда вытекает, что возможен предельный переход под знаком математического ожидания; Мп =)нп Мп = 1. ае 11. Достаточно доказать для любого кокечного Бр — — Т, что Р'(с). с= С) = М711 с)п* для произвольного С е соз'(Х ) (см.
задачу 3). Выберем последовательность конечных подмножеств Я: — Т, 5 =о 5, дли которых л -ьп' (в — «со). Пусть л ' з О' лл Яв=(гс", ..., С" ); обозначим через А„то множество, через принадлежность которому координат х, С ск 5, определяется в' множество Сс С=~я.: (х сз) ... х,свс) с: А ~ А ~ Ж (такое А„существует, потому что Яз ~= Б ).
В силу леммы Фату М21~ с)л < Внс МХИ с)мх «.ь ° ~ л Выражение под знаком предела записывается через конечномерное распределение так: '.) .. ~ й свс (зс (х~ . х ~~ рС(л) (а1 (с(х~ ' ' ссхз)' з Но зто — не что иное, как р сз1 сзс(Ав) = 1» (П. ~С). Итак, М)(ц с)п (~ Р (с) с: С) () Совершенно так же — с заменой множества С си сиз',(Х ) на множество Х '~,С я си '(Х ) — доказывается, что зз М(1-2„.„) "< — Р (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
