А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1О. Найдем, скажем (для (, < ! < ! ), Р [т!! —— — 1, ц = ! ц! —— 1) = Р [выпал герб, аг нечетно, а( — ц( нечетно, ц — 2 четко) + Р [выпала решка, 5г четно, Ц(, — Цг нечетно, Цг — Цг четно) = [Р (выпал герб) Р [Цг нечетно) + Р (выпала решка1 эч эс Р (1! четно)] Р [$! — $( нечетно) Р (5(, — Цг, чстно). Вероятность в квадратных скобках равна 1/2; Р [2Π— я! нечетно) = 1~ (2/г + 1]! ь-с вероятность есть (1 + е та ( ' ('1)/2. Ясно, как находится вероятность любых значений цг, ..., цг . л 11. Интеграл сходится почти наверное, если сходится ~ ппп ([/(з, и) (, 1) т (Ыз Ки).
Характеристическая функция (о,ц Ш Ь вЂ” Ь -- ! [ [Ьгы"и "' — а к*~а). с--- (О,г)Л рассматриваются функции /, принимающие нонсчное число значений; длн произвольных /, согласно определению интеграла, используется предельный псрскод. 12. Согласно определению достаточно проверить, что для любого е ) О существует число К такое, что [ М (2 ) Ю) ( Р (Дю) < а (ш 1М (11е)1> К) для всех Югири, Почти наверное [(Ь((а(за) [~ (М ()й)[ Ф), поэтому )М(ц К)[л < ~ М()й)[~)КР< (! М(1! т11>К! (1М(11мб! > К! м()В)[м)л = ~ )й|л' (М (! 1! ! т1 > К1 (М(11!! лб> К! (последнее — по определению условного математического ожидания.
ведь область интегрирования .Ф-измерима). Но известно, что если в — интегрируемая функция, то для любого е > О существует б > О такое, что ~ )2(НР < е, как только Р(А) < Ь. л 345 Зпачит, достаточно указать такое К, что Р (М (] 4]]за) > К) < б для всех Ж Неравенства Чебышева дает нам Р(М()й]] К»К)«К- ММ()Ц] К)=К-'М)й]! итак, достаточно взять К = б 'М ] б ], й !.3 1. ) с сьК(11, 1з)=соч ( Д~~~~ с!Э!, ~ сато ) ) О (это— ],п /' э/ дисперсия) 2. 1. М51 = — О; К (1, э) = ~ соэ й (1 — э) П (Л ), где мера р на о 1 (О, ао) определяется так: р())) = — МА]С (т!). Вывод см. в $4.!.
2 2. Мшг == хо, для э «1 имеем К(1, э] =сот (шь в,) = = соч (в„во) + соч (вг — во, во — во) =- 13оэо+ О = э. Учиты- вая и случай э > 1, получаем К (1, э) =1 Л ъ. 4. Мйс н К (1, з) не существуют. 5. М и/и 1' (1) =О, К 1 — (1, з) =1 Л э — /з (см. решение и т/» г и задачи 7 5 1.2). 7. Мйг = а!; К (1, э) = а. (1 Л з) (аналогично примеру 2). 8. Пользуясь результатом задачи !О й 1.2, находим Мт] =О; К(1, э) =Мнот],=! Р(ц,б й ]+( — 1) Р (т]! = — т],] = (! ! — 2а ! ! — о !)/2 (! — 2а ! ! — т !]/2 — та ! ! — о ! 3. К(1, э) =|1~/~ (1)/ !э)+ . +г(п/п(1)/п(э). 4. Пусть сначала й(1,в) — ступенчатая случайная функция на Т с точками скачков 1~ < 1о < ...
< 1„, т. е. имеются слу- чайные величины $о, 5ь 5г..... йо такие, что $(1, в) = оьо(е) при 1<гь 3(с,е)= й,(е) прн 1, <1<1, ..., й(с,в)= й — (в] при 1„, < 1 « 1„ $(с,е) =- э„(е) прн 1 ) 1,. тогда функция $ (., ° ) измерима относительно о-алгсбры оэг Х У; действительно, для любого измеримого подмножества А пространства К, в ко- тором лежат значения $(1,е), ((1, в): $(1, в) ш А) = =(Т П( — ео, 1о)) Х(в: йо (е) оБ А) В(1н 1э) Х (в: й, (в) ш А)()... 0(1п пгп]Х(в: эп !(в)шА]В(Т П(1„, ~))Х(в: йп(в]'— = А].
Все слагаемые здесь по определению принадлежат Ят ХУ; значит, и сумма принадлежит этой о-алгебре. Теперь пусть $(1, в) — произвольная случайная функция с реализапиями, иепрерывкымн справа. Определим случайную фуннцию 3„(1, е), положив ее ранной $(((2 1]+ 1)/2", е) для всех 1 оп Т, эа исключением тех, для которых ((2"1]+!)/2" !ю Т; для этих оставшихся 1 определим $п(1, в) как $(Ь, е), если Ь— правый конец отрезка Т, и как произвольный элемент ко ом И, если у отрезка Т нет правого конца. Так как !(2"1)+1]/2" ]1 при и- со, то Э,(1,е)- 5(1,е) при асех (1,в).
По доказанному 346 функции К ( °, ° ) измеримы относительно %» Х У; значит, измерим и нх йредел $ ( °, ° ). (Напомним, что Х вЂ” метрическое пространство, а в качестве а-алгебры га взята а-алгебра Ях борслевских подмножеств Х.) Если реализации непрерывны слева, доказательство остается тем же, только вместо [2Ч) + 1 берется [2Ч). б. Отображение ы -ь а !е! (м) измеримого пространства (Я,У ) в измеримое пространство (Х, то) измерима как произведение измеримых отображений ю -т- (т(ы), ы) пространства (ьа, У ) в (Т Х ы !т Х У ) и (1, ы) $~(м) пространства (УХО,У ХУ') в (Х,ж). $1.4 1ь.
Необходимое и достаточное условие; существует ус такое, что Р (ц = ус) = 1; распределение Л вЂ” показательное (т. е Р (Л = 0) = 1 нли Л имеет плотность ле†"" при х ь О. 2, Ма, = О; К1(1, з) = е 'е ' (е /! е ') = е ' Л с» =е — )1-»! ф 2Л 1. ПОЛаГаЕМ »1„= $~+ ... + ао! НаХОдИМ Кня (Л, ГЛ) м» = 0ь! + ... + 0ао дм! применяем мнкротеорему 1 4 2.1, 2. Совместное распределение (~„, Ь „) сходится к нормаль- ( 1 1/ч/2 1 ному с параметрами ((О, 0); ~), а распределе- ~ 1/ч/2 1 »1 1Д ние (ьо, ьо) — к нормальному ((О, 0); [ л1).
значит, предел при л -ь оо, гл — ь оо не существует, и не существует л гл 1нп (Р) ьо. н-»о~ 3. У к а з а н и е. Воспользоваться микротеоремой 2 4 2.1. Другой способ решения: положить тн = агс!2$, и применить микротеорему 1 5 2.1. 4. Имеем при ! чь ф ([ь! ем[~~в)= )) Р(х)Р(у)ахар. !» — у(>а При е т 0 это выражение стремится к ) )) р(х)р(у)ах»(у= ~ ~ р(х)р(у)а»ау=1! »~д значит, прн каком-то положительном е оно )1/2. При этом в имеем Р ([ $, — $0 [) е) -~ О (Г -ь Га), т. е. сходимость по вероятности не имеет места.
5 — 7. Доказательства, известные нам для числовых функций, переносятся иа случайные функции. 347 8, 9. Следуют из микротеорем 1, 2 % 2.1, 10. Для любого е О и любой точки 1з гм [а, Ь) существует такая окрестность У точки 1а, что для 1>м У имеет место неравенство )) / — /г ))~(е.) 1 — 1, ). Предположим, что /> Ф /, для какого-то 1>п [а,Ь). Тогда существует е ) О такое, что ))/>— — /,!!) з.
(1 — а). Обозначим через 1а нижнюю грань всек таких 1. Ясно, что в этой точке должно быть )) /г — / )) =- в Х Х 1>1 — а) > ведь для 1 щ [а, 1„) выполняется неравенство [о )!/> — /,!! < е-(1 — а); для1, сколь угодно близких н 1з справа,— выполняется противоположное неравенство, а функция / непрерывна (потому что днфференцируема). Получаем, что для близких к 1а справа, имеет место неравенство [)/ — / !) = =()(/1 — /Г )+(/>> — /а) ~( ~< [) /Г /Г, ~!+))/Г /а)1<З !1 1О)+ + з(1о — а)=з(1 — а), что противоречит определению га. !1.
Доказательство пе приводится. Используются непрерывность скалярного произведения и микротеорема 1 $2.1. 12. Имеем Мйг = — т, К (1, з) = К (1 — з). Л(атематическое 11 ожиданно диффсренцируемо (с нулевой производной), так что все дело в том, сколько раз можно взять смешанную вторую производную от корреляционной функции. Частное дифференцирование по 1 функции от 1 — з сводится к взятию производной от функции одного переменного, а дифференцирование по з— к взятию производной с обратным знаком.
Функция К дифференцируема четыре раза, а К~(О) не существует; значит, процесс дифференцнруем в среднем квадратическом два раза, а три — уже нет. 1+.у'! — г' 14я. р, (г) =(2п) !и при )г) < 1, р, (г) = О ! †/! — г' 1> п ри ) г ) ~ )1.
>> 15. Распределение [ьв, йз) — гауссовское как предел совместных распределений вм (в> — $а)/Ь. Это гауссовское распределение имеет нулевое среднее и матрицу ковариацнй К дК/дз ') / ! О'! дК/д1 д'К/д1 дз )г= =а т. О 4 ) > Это означает, если сказать по-другому, что во и 5о независимы н имеют нормальные распределения со средними О и дисперсиями соответственно 1 и 4. 18.
Достаточно провести доказательство при р = 1 (потому что из сходнмости з среднем в степени р ) 1 следует сходнмость в среднем в первой степени). Интеграл в правой части существует в силу теоремы Фубини, потому что Ь ~[51(ы)[>(1Р(ды)<(Ь вЂ” а) >пах М)в )<со, а<1<Ь а и Интеграл слева в (1) — предел в среднем интегральных сумм гч>, вз (1г — 11 !) пРи измельчении РазбиениЯ а = 1Ь < 1> < ...
1 ! 348 ... ( 1» = Ь, агам(О !, 1!), а интеграл справа можно предста» '! вить в виде суммы ~~' ~ $! ~11- Оценим математическое ожн«-! «! дание модуля разности «-х слагаемых: «, (й! — 3«) ! — ! — Ь«) г(! ((1, — 1,). шах М ) к ! — ! Так как процесс, непрерывный в среднем, равномерно непрерывен в среднем, то, выбирая 6 ) О так, чтобы при )1 — з( е 6, ныполнялось неравенство М ( Ц вЂ” $, ) ( а, получаем, что для разбиений с отрезками длины меньше 6 математическое ожидание модуля разности интегральной суммы и интеграла вдоль траектории не превосходит е (Ь вЂ” а).
Значит, интегралы в обоих смыслах являются пределами в среднем интегральных сумм, а значит, они с вероятностью ! совпадают. !9. Это распределение — гауссовское (доказательство для данного частного случая не приводим, чтобы не дублировать решения задачи 3 $ 3.1)! средине равны О, а матрица новариацнй имеет нид Кем(1,1) ~ Кем(1 з)оз о ! ! Ком(я, 1)»(и ~ ~ Кя я (и, з) йи «(з (о о о помним, что К (1,«) = 1!»т «). Пл (мы отность распределения равна (2пг /у Г2) ехр ( — (б! х — 61 ху + 21 уз)). 29. МЦ=О, КМ(1, з) =е !' «)/б — е ~) '!/12.
Это — стационарный процесс. г г т г т 21. М ~ егх $гЖ = ~ ~ Мега "к!«!~в«г)гй«=- ~ ~ е' 'е ' 'Х о о о о о Х К (1 — з) «11 «(з. Сделаем замену переменных 1 — з = и, Т (1+«)/2=о; получим ~ (Т вЂ” )и)) егх"К(и) «(и. Прн Т-> »о это — г выражение есть Т ~ егхЯК(и) «(и+ о(Т). 22ь. Естественно, коэффициенты Фурье должны получатьса по формуле л(2 Хп —— 4»г — ' ~ сбп((2п — 1)() ю(г((. о Совместное распределение любого числа Х вЂ” гауссовское.
Ясно, что МХ„=О, а чтобы найти дисперсии и ковариации этих случайных величин, перейдем к стохастическим интегралам: л(2 — 4л Х„= ~ ю(»(соз((2п — 1) () = 2л — 1 о л(г 4л-' соз ((2л — 1) () г(юг 2п — 1 а (впеинтегральный член обращается в нуль). Отсюда л(2 1бл МХ»Хю =', ~ соз Ц2п — 1) () соз ((2»л — 1) () г((. о При гп Ф л этот интеграл обращается в О, а при гп = л дает 4л-ггг(2л — 1) г Сходимость ряда Фурье вытекает из сходимостн ряда из !(Хп, а то, что его сумма равна юг (почти наверное), выводится из полноты системы (сбп(2л — 1)(, л = 1, 2, ...) на отрезхе от О до лг»2. $ 2.2 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
