А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 57
Текст из файла (страница 57)
30); это выполнено, например, если в качестве ьа рассматривается пространство 314 всех непрерывных функций, выходящих из нуля. Так же, как для операторов 0», определяются оператор») действующие на события, и для случайной величины т1 определяется <р»Ч(ы)=Ч(<р»ы). Легко нидеть, что ~р» ' (ш, е- =Г,, ..., ш, ен Г„1 = = (ап,+» — ш» е= Гь..., и» +» — ш» е= Г») поэтому операторы ~р„', ~р» сохраняют измеримость относительно о-алгебры У, а события и случайные величины, измеримые относительно У и переходят в У»+»-измеримые. Так как винеровский процесс имеет независимые приращения, получаем, что ~, 'А, А ~ У, независимо от любого события из о-алгсбры У б соответственно для любой случайной величины ч, измеримой относительно У, чпч независимо от о-алгебры У и 3 а д а ч а 1.
Пусть 1" (х, ы) — неотрицательная функция иа Я'Х»г, измеримая относительно Я'ХУ; положим Р(х) = М1(х, ы). Тогда для любой У»-измеримой случайной величины Ч со значениями в (Я', Я') почти наверное МУ(ч(ы) ччы))У ) =Р(ч). (1) Отсюда, в частности, получаем М) (ч, ~р~ы) = МР (ч). (2) 2. Теперь рассмотрим г-мерное стохастическое уравнение с$~, = о К,) йв, + Ь ($,) Ж (3) с коэффициентами о(х) = (о.,'. (х)), Ь(х) =(Ь'(х), ... ..., Ь'(х)), удовлетворяющими условию Липшица. Построение диффузионного процесса при помощи стохастнческих уравнений мы разобьем на несколько теорем.
Теорем а 1, Пусть ~~(х; ы) — решение уравнения (3) с начальным условием х, построенное в теореме 3 $12.4. Тогда при любых з, Ь = О, х~ Я' почти наверное я»+»(х; ы) = $»Д*(х;ы); цз~ы). Доказательство. В силу единственности решения стохастического уравнения (теорема 2 5 12.4) достаточно показать, что случайная функция Ч~(ы) = = 5~ †»(в,(х;гь);~р,ы) удовлетворяет при 1 ) в уравне- 315 нию (3); тому же уравнению и с тем же начальным условием т1,(а) = $,(х; а) удовлетворяет аг(х; а), 1= з.
Требуется доказать, что почти наверное з+л я+л т1„л(а)=в,(х! а)+ ~ п(т1„)Ыв„+ ~ Ь(т1„)~!и. (4) 3 5 Прежде всего нужно доказать, что стохастический интеграл здесь определен. Предсказуемость случайной функции г1„, и ) з, а значит, и о(г! ), Ь(г! ) обеспечивается свойствами измернмости ~~(х; а) и оператора ф,. Далее нужно доказать, что а,'. (г1„), а < и ( ( а+ Ь, принадлежит Аг((з, а+ Ь]Х Я).
Для этого достаточно доказать интегрируемость в квадрате по (з, з+ и] Х лз векторной функции т1„. Мы докажем больше: что г1„непрерывно в среднем квадратическом. Для и, и ~[а, з+Ь], и(п положим 1(х, а) = =]5,,(х; а) — в„,(х; а)]', г(х)=М1(х, а). Это математическое ожидание не превосходит г — г 2 ~ ~ М ~о! Я, (х; а)))'г(1+ и и — 5 + 2~~~ ~ М[Ь'Я,(х! а))]гг!1(о — и)( и-г «((о — и) .
2 (г'+ ги) К' [1 + !пах М ] $, (х; а) ]г] «( о<г<л ((о — и) 4(г'+гй)Кг[! +]х]'! Х Х [1 + (К/Л)г ехр (4У.г [г'Ь + гйг] и (последнее неравенство в силу задачи 4 З 12.4). Согласно (2), М] ]г = М] 5„,(В,(х; а); ф,в) — В„,(е,(х! а); гр,а) ]'= = М[(К,(х! а), ф,а) =МР(К,(х; а))( «((о — и) сопя! М[1+]Ц,(х; в)]г]( ((о — и) . сопя!' [1+ ] х ]г]. Итак, т1„, а в силу условия Липшица ни'(г1„), Ь'(т1„) непрерывны в среднем квадратическом; стохастиче- ский интеграл в (4) имеет смысл.
Согласно задаче 5 $ 12.1 стохастический интеграл в этом случае будет пределом в среднем квадратическом интегральных сумм. Для не стохастического интеграла это еще проще: 3 а д а ч а 3. Докажите, что а+А а — ! Ь ь(и„) на=!.!..7 ь(„,„,„,„).—. Таким образом, (4) М~ т(, „(ет) — я,(х; ет)— е-! — а(т(, „) сводится к тому, что 1 тт!ач Оа/е а+аа!а1 а-а и†! — Ь (т(,+ „„) — ! — е О (5) Эта функция измерима по х; при и-т-оо она стремится к нулю (потому что $!(х; от) — решение (3)). Функция под знаком математического ожидания в (5) получается из такой же функции а (6) заменой ет на тр.то и х на 5,(х; ет) (потому что в обе формулы входят только приращения винеровского процесса).
В силу формулы (2) математическое ожидание в левой части (5) равно Мб„(Ь, $,(х; ет)). Чтобы вывести из сходимости к нулю б„сходимость к нулю Мб„, достаточно установить, что б„(Ь, 5,(х; е!)) мажорируются интегрируемой случайной величиной. Задача 3. Докажите, что б„(Ь, к) ( С(Ь)[!+ )х)т) при всех и, где С(Ь) ( ео, 3!7 при п — ~-оо, Чтобы доказать (5), введем следующую функцию: б„(Ь, х) = и — ! =М 5а(х; ет) — х — ~~ о(в „„(х; от)) (ш! „, „„— ш „„|в а-о е-! 2 — Ь (я „(х; от)) ° — .
(6) Значит, Ь„(!с, 5,(х; в)) ~ С (6) (1+ ! $,(х; в) !с!, М ! $,(х; в) !т < со, поэтому Мб„(Ь, $,(х; в)) -~ О при и — оо. Формула (5) доказана, а с ней и вся теорема. Теперь определим функцию Р(1, х, Г)= = Р(«с(х; в)~ Г). Эта функция измерима по х и является вероятностной мерой как функция Г ~ Я'; при ! = О зта мера сосредоточена в точке х.
Теорема 2. При любых 1, и, х и Г«=йс' почти наверное Р (~„„(х; в) ~ Г !У с) =Р(6, ~с(х; в), Г). (7) Дока зат ель ство. В силу теоремы 1 в левой части мы можем заменить «сч ч(х; в) на «ч(«с (х; в); срсв), а всю условную вероятность — на условное математическое ожидание индикатора !сг от этой случайной величины. Применяя формулу (!), получаем (7). Мы уже получили семейство марковских процессов с общей переходной функцией, причем мы можем выпустить наши случайные процессы из любой точки х. Чтобы придать построенному нами математическому объекту форму марковского семейства, поступим следующим образом, Возьмем в качестве нового пространства элементарных событий пространство Й'=с«К Й с элементами в'=(х; в); траектории «с(в') = «с(х; в), ! ) О, у нас уже есть.
Определим стандаРтным обРазом и-алгебРы У вв = У,,>, и У ~!=У «,,,мс в ь!'. Для подмножества А ~ сс" к (), измеримого относительно У ~в положим Р„(А) = Р (в: (х; в) ~ А). (8) Вероятность (8) определена для любого А ~ У ~в так как А„= (в: (х; в) «и А) «и У . Действительно, зто выполнено для А = (в': «с (в')«нГ): ведь (в: (х; в) «:— А) = =(в: н(х; в) я Г) яУ с ~ У . Отсюда вытекаеттакже, что А„~ У с для А «ЫУ'~с. В пространстве 0 можно определить операторы сдвига О„з ' з О; для этого достаточно положить О,в'=9,(х; в) =(«,(х; в); ср,в) «= (с. Действительно, «, (9 в ) = «с («,(х; в); ср в) = «,~ с(х; в) = $,~ с(в ).
Правда, зто выполняется при каждом х лишь с вероятностью ! при всех ! ) О. Чтобы справиться с этим, дополним пространство й' достаточно большим множествомзлементов в' произвольной природы н определим для них 3!8 траектории $~(а') так, чтобы траекторией могла быть любая непрерывная функция; множеству всех добавленных элементарных событий припишем Р,-вероятность О при всех х.
Теорема 3. Пара 5н Р„) — марковское семейство с переходной функцией Р(1, х, Г). Доказательство. Нужно проверить, что Р„(в, „е= Г (9 . Д = Р (Ь, в, (а'), Г) почти наверное для й Ь ) О, хеи)т', Г~Я'; иначе говоря, что для любого А еп У <~ Р,(АД(~, „с=Г))=М„хл(а')Р(Ь, ~~(а'), Г). (9) С учетом определения (8) можно переписать (9) в виде Р (Ах П Д~+ь (х; а) е= Г)) = Мкл (а) Р(п 1~(х; а), 1 ). Это равенство вытекает из А„е=У ~ и формулы (7). 3. Теперь установим, что построенное марковское семейство — диффузия, и найдем ее производящий оператор. Траектории непрерывны, потому что это решение стохастического уравнения. Обозначим полу- группу операторон, связанную с $п через Р', а инфинитезимальный оператор — через А. Теорема 4.
Любая функция )'е:— Сфп~„принадлежит области определения Ол инфинитезимального оператора, и для таких функций А((.) = Ц(.) = -,',' Р",, (.) +,'. б'(.) — '1 (.), ц 1 где ац(х) = ~ а'„(х) в' (х)(в матричной форме: (ац(х))= = а (х) о (х)). До к а з а тельство. Г!римеиим формулу Ито к ~(5~(х а)) ° чж)= Х вЂ”,'„', (~,)Х;юй,'+ г +~,'., 6,)ь (.,)+,,",, 6,)х Е г ц х~ ць) ~вз~а~. Обозначим для краткости множитель перед йа,' через 1б; Д~(х; а) ); введем вектор Я =(1бь ..., Ж,) (б— 319 буква «эс» готическое прописное). Что касается множителя при Л, то он равен Ц($г(х; оз)), где С вЂ” введенный нами дифференциальный оператор. Соотношение для стохастических дифференциалов означает по определению, что Здесь Кв(х; со) = х.
Возьмем математическое ожидание от обеих частей; математическое ожидание стохасти- ческого интеграла равно нулю, поэтому М~5,(х; вт))=)(х)+ М ~ Ц5,(х; оз))г(з. о Перепишем эту формулу, пользуясь математическими ожиданиями М„и изменяя порядок интегрирования: МЦ(зг)=((х)+ ~ М„Ц(э,)сЬ, о или Р'( (х) = ~ (х) + ~ Р'Ц (х) сЬ.
о (1! ) 3 ада ч а 4. Докажите, что любая функция ~ С~'~,„принадлежит пространству Вв сильной непрерывности полугруппы. Так как пространство Ве замкнуто, то В„содержит замыкание С",~„; в частности, В ~ С,„„. 3 а д а ч а 5. Докажите, что любая функция 1 ~ ен С~',>„принадлежит г)л и А1 = Ц. 3 ада ч а 6. В 4 ! К2, и. 26) мы нашли производящий опе мь Ь=йа+ ратор двумерного диффузионного процесса 3 ад ач а 7. Пользуясь результатом задачи 4 предыдущего параграфа, докажите, что построенный в п. 2 диффузионныйпроцесс — фелеровский (а значит, и строго марковсиий). 320 )(э,(х; вт))=)($е(х; оз))+ т с + ~ Я (К,(х; вт)) Ыго, + ~ Ц (К, (х; оз)) с(з.
(10) 4. Доказательства теорем 1 — 4 можно перенести на случай, когда коэффициенты не удовлетворяют условию Липшица, лишь бы имела место теорема существования и единственности решения стохастического уравнения и существовал измеримый вариант $!(х! ы) такого решения. Можно доиазать (см. Д у б (1956, гл. тг), теорема З.З)), что любой диффузионный процесс можно задать с помощью стохастических уравнений. Определяются стохастические интегралы относительно мартингалов; полагаем 5! = й! — ~ Ь ($е) йв и строим о с — ! процесс гв! = ~ о(йг) 4т. То, что это винеровский процесс, о доказываегсн с помощью следующего результата: если ш! — про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
