А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если гшхг((0, оо) ХО), то 1«-«1 при Ь) 0 в смысле сходимости в атом пространстве. 5. Мы определили стохастичсский интеграл, совер. шенно нс пользуясь тем, что в — одна из координат пары (1, в); так что могло бы оказаться, что значение стохастичсского интеграла (1) при данном в зависит от значсний случайной функции )(1,в) при совершенно других в. Однако это все жс нс так. Правда, мы нс можем утверждать, что из совпадения )!(1, в) —= = — (т(й в) при данном оз вытекает з'()!) = !'((х) при том жс в, или, что то жс: из 1(1, в) — = О при данном в вытекает з'(1) (в)=О (в нашей юх-теории вообще отдельные в нс могут приниматься в расчет); но имеет место следующий результат: Теорема 3.
Если функ!(ия (н=ю И(о г «)Хьз Угед, шсз к', Р) при почти всех в, принадлежащих гта« событию А, равняется нулю, то ~(1, оз)дгег=О при почти всех в ~ А, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеется последовательность измельчающихся разбиений (о=(о (1! ' ... (1 -! (1 =г,„и последовательность ступснчач-! тых предсказуемых функций 1" (1, в) = Х 1!'(в) Х г-о 286 Куххп 1п З(1), СХОдящаяСя В СрЕдНЕМ КнадратнЧЕСКОМ ( 1' 11-1Д к )(1, ьх) (случайные величины )'; (1ь) измеримы относительно У1„1; тогда У()) = й 1.
гп. 1'()1). Идея состоит 1/ пв в том, чтобы изменить случайные функции 7п(1, в) так, чтобы при обращении ((1,ьх) в нуль при почти всех 1 е= (ьь 1,„) и приближающие функции тоже обращались в нуль. Однако нужно сделать так, чтобы приближающие функции остались предсказуемыми. л — 1 ПОЛОЖИМ )" (1, ЬХ) = Х ),"(ЬХ)711п хп 1(1), ГдЕ 1=О (1' 1+Ц хп 7; (в), если ~ ( ((~, в) ~ гй Ф О; 1 1 (хв) = О в противном случае. Эта случайная величина измерима относительно У „, 1 потому что измерима случайная величина (; и интеграл от 1, до 61, раз случайная функция (((1, в) ~' прогрессивно измерима.
Докажем, что случайные функции 7п(1, ех), как и )п(7, ьх), сходятся к ) (1, ы) в среднем пхвх квадратическом. Для зтого оценим М ~ ~) (1, хв)— 1, — ) (7, ьх) )1111. При произвольном 1» обозначим через 1', = 1в(со) 1+1 первое такое 1, при котором ~ ~)(1, в)('ЖчьО; если 1п таких 1 нет, положим 1в=п — 1. Разобьем интеграл от 1, до 1„,„на три: от 70 до 11„от 1„до 1ь+1 и от л 1в 11,+1 до 1„„„.
Первый интеграл ~ ()" (1, вх) — ) (г, ьх) )'Ж равен нулю, потому что обе функции ~" и равны нулю почти всюду в области интегрирования; 287 третий интеграл равен !азах шах 11" (1, в) — 1(1, в)Го(1-= ~ )ГР, в) — 1(1, в)~'«й !а о+! хп и+! Второй интеграл равен ~ )1(х, в))о!гг, потому что !'! 1 (г, в) =О при 1;, (1~(1!,о!. При почти всех в интегпаах рал ~ !1(г, о!)!'о(! < оо, и, значит, интеграл по ха отрезку (г!„, 1с„+!1 стремящейся к О длины стремится к О при и — а со.
Итак, и!ах М ~ ~! "((, оо) — )'(1, в)!хо(1( аа п1ах аа+! (М ~ ~У"(1, ) — 1(1, в)Ро(1+М ~ ~У(1, ))хю. (19) ха Первое математическое ожидание стремится к нулю при и — а-оо по предположению. Случайная величина под знаком второго математического ожидания стремится к нулю при почти всех в, причем она мажорнапах РУетсЯ слУчайной величиной ~ ~ Г(! в))хД1,имеющей ха конечное математическое ожидание; по теореме Лебега второе математическое ожидание в правой части (19) та к же стр ем и те я к О.
Теорема доказана. 6. Если !л! =(и!а!, ..., ю,') — многомерный винеровский процесс, то для функции 1(х, в)=(1!(1, в), ... , !х(! в)), 1! о=— ~х((ао, 1,„ах) Х хх таге!а, гпез Х Р), стохастическии интеграл паах г паап 1(г, в)о(вг= ~ ~~' 1!(Г, в)о(и', ха х-! 288 определяется просто как сумма интегралов относительно отдельных компонент: г шах 1,(1, ю) с(ш,'. е= а с.
Он обладает всеми теми же свойствами, в частности, гпах г шах М ~ ~ 1',.(1, ш)Нш', =М ~ ~ ~)г(1, ю)1'-Ж. г, шах 11~вот сходится с веронтностью 1; такие стохастические интегралы уже не будут, вообще говоря, иметь нулеиого математического ожидания, но ряд хороших свойсти длв них все же останется (см., например, Г и х м а н и Скор о х од, 1965). Определяются также стохастичсские интегралы не относительно винеровского процесса, а относительно квадратиюэо интегрируемых мартингалов, Мы не будем вводить таких интегралов в этой книге. 5 12.2. Стохастический интеграл как функция верхнего предела 1.
Стохастический интеграл определяется не однозначно, а лишь почти однозначно; если рассматривать стохастический интеграл от 1о до 1 как функцию верхнего предела, встает вопрос о согласованном выборе его вариантов при разных й Теорема 1. Пусть ) е= Х,'((1„1,„1Х 11, г1агед, тезХ Р). Существуег вариант стохасгического интег- рала ти = ~ 1 (з, го) а ! 10~~1нмутах (1) обладающий следующими свойствами: а) т1г — мартингал относительно семейства о-ал гебр У г (при 1 х — — оо в качестве У берется Й ))' 289 1О А. Д. Вептцель 7. Можно определить стохастический интеграл от предскагпэх эуемой случайной функции, для которой М ~ ~11'пи=-со, но б) случайная функция тп предсказуема; в) для почти всех ы реализации тн непрерывны по 1 на отрезке [(о,(,„] (в том числе и слева в точке оо, если (шах = оо); г) бикомпенсатор стохастических интегралов ~ ~(з, в) Ао„~ у(з, в)йо, равен ~ ]:(з, оз)д(з, оз) гЬ.
Доказательство проводится следующим образом: сначала для ступенчатых случайных функций 1(~, «) = гг. [, (ы) Х г ..,,) Р), (2) Не ограничивая общности, мы можем считать, что У и (о принадлежат к точкам 1ы 1ь ..., 1„: у = (ь 1" = (;; имеем: м~п,.— ч.~т,.~=магг ч ....— „)~у,,)= ! — ! = Х М (М ([» (о') (ю~», гв~») ~ ~ г») ~ ~ с ). 990 где 1о < 1, « ... Г„< 1,„, [, измеримо относительно У ~,, а потом предельным переходом для всех Реях»(Ры ~ х]ХО, Угег(, |пезХР). Для ступенчатых ) в качестве варианта стохастнческого интеграла выбираем тот, который задается формулой ()3) предыдущего параграфа.
Это приводит к ти(е)=[о(в) Х х[,—,)+у-)(,—,)+ ... +У.,(-)(,,— — щц,) + ~,(а) (и, — ин,) при 1 ен [1ь 1ь1[, а при 1 е= [1„, 1 „] — к ти(в) = [о(оз) (ач, — ю~,) + ... ...+ ~„, (в) (ач — ю~„,) (при 1 = 1, дейстяуют обе формулы — и относящаяся к предыдущему отрезку, и к следующему). Мы видим, что случайная функция ц~ согласована с семейством о-алгебр У ь и тн(ы) непрерывно по 1; это дает предсказуемость ць Чтобы проверить, что тп — мартингал, надо еще установить, что для 1о « . г' < г" < 1 , почти наверное М(4.— п,,]у,,)=о. (з) Измеримая относительно бгс случайная величина /а(ос) выносится за знак внутреннего условного математического ожидания, остается М(гсс — пс 1У" 'з= сач с са1 сау =М(мс — вс )=О.
3 ад ач а 1. Докажите, что для проверки утверждения г) достаточно установить, что для Сю ( С' ( С" ( Сы„ сл мссч„— „,ссск — сз~ггс-м()сц, с ц, се~ем], с' (4) с где ти задаесея формулой (1), а гс = ~ я (з, ет) с)нсс, с. 3 а д а ч а 2. Проверьте г) для ступенчатых случайных функций вида (2) и л- с а (с, ы) = 2, ас (ы) К(с, ...1(С), где дс измеримы относительно У с .
Теперь выберем последовательность ступенчатых функций 1" (1, оз) указанного вида, сходящихся к /(с, оз) в хз((1„1,„]Хьа). Выберем эту последовательность нсак так, чтобы М ~ )/" (1, со) — /(йыоз))зШ(1/10". Тогда с, выл М ~ ]/ ((, со) — 7 (1, оз)] с(1 (2/1О", и так как с. (з, ос) — 7" (з, ся)] с(ю, — мартингал с непрерывСз ными реализациями, то в силу неравенства Колмогорова )с"'с ..сс .— )с'с*..сс . асса']ч а~ ~ иВам С с, Са,ат 2 М ~ [/" ~ (а, со) — /" (з, ез)] йаа (1/2") я!', 1/2" с. Так как ряд из этих вероятностей сходится, то по лемме Бореля — Кантеллн получаем, что с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий в фигурных скобках. Это означает, что с вероятностью 1 ряд равномерно сходится на отрезке ((о, 1,.].
Теперь остается выбрать в качестве нужного нам варианта тп такой: с Игп ~ (" (з, в) пю„если последовательность - и интегралов сходится; (6) О, если оиа расходится. Этот предел измерим относительно Угеп' и с вероятностью 1 непрерывен по ! как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. При фиксированном ! случайная величина тп является вариантом стохастического интеграла ~ ) (з, а) г(ю,. и Осталось проверить для произвольных функций ),а~Ха(Угад) утверждения а), г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
