А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Далее, интеграл ~ с(6,) с(з не превосходит 1!!с[[, так что о Гг с ехр~~ с(й)сЬ~ — 1= — ~ с(й)гЬ+0(Р) при1 ~ О, где 0(1з) о о равномерно по всем траекториям. Отсюда разность (10) с равна М„~ с(сю)гЬ 1(Кг)+ 0(1з) равномерно по х, Так о как [ ен Во, то М„/(К,) -> [(х) (Е,[ 0) равномерно по х, и М„1 ' ~ с(х)г(з [(У=с(х)М„[йг)- с(х)1(х) о тоже равномерно. Значит, остается доказать, что М„1 ~ [с(й,) — с(х)) гзз ° /(й,) — ьО (11) о равномерно по х е= Х. Пусть дано е 0; выберем б ) 0 так, чтобы [с(х) — с(у) [( е/(2!!Л) при р(х,у) < б.
Разобьем математическое ожидание в (11) на два слагаемых: интегралыпо событию( зпр р(х, $,)(б) ипособытию о<а~с ( впр р(х, 6,) > б). Первый не превосходит е/2, о<а<с 261 второй оценивается сверху выражением 2 ~1 с !|(() 1(Р„( впр р(х, ~,) > 6), о~р -( Но из леммы ~ 9.1 следует, что Р„( зпр р(х, ~,) ) 6) ~(2ао(т(!) -ьО (1,) О). вар~( Отсюда вытекает, что математическое ожидание в (11) меньше е при достаточно малых г сразу при всех х АХ.
Это доказывает глл — — Вл, А~ = А((+ с(". Теперь, если зпр)тес(х) (О, то полугруппа Р' з( состоит из сжимающих операторов, и а((1, х) =Р((х)— единственное ограниченное решение уравнения дю д( — = Аа((= Ам + сш) с начальным условием ю 1( ., —— 1". Если же зпр)се с(х) ) О или мы интересуемся решениями, растущими, но не быстрее экспоненты, то берем достаточно большое положительное а и рассматриваем ( ( .о, р=.— ъ((, (=м...р ((( ((( —.(р)((((. о Это — единственное ограниченное решение задачи д(но — = Ас о + сш, — аи„ыа 1(-о = 1, т. с.
— ае а' а(+ дю дю + е"" — =е о(Аи+ се-о(ге — ае-о(п(, или д( д( =Ав+ сш, а(1(=о=). Теорема доказана. 3 ад а ч а 13'. Для марковского семейства на Х = (1, 2) с (' — 1 1'л ннфинитезимальной матрицей ( у! (т. е. марковского семейства задачи 1 $8.1) найдите характеристическую функцию времени, проведенного в состоянии ! до момента (. ( Заметим, что для нахождения распределения ~ а(ьр) да о можно обойтись только действительными функциями, вычисляя м,,(л( ((лр ),,а*, л. о 262 Уравнение (7) (с начальными условиями (8) позволяет явно найти распределение различных фунционалов, например, от винеровского процесса, а частности, р = шеи((0, 1) Д(з: ш > О)) = с )(<о > (м,) г(з. Не будем приводить соответствующих о сложных выкладок; вывод распределения )г~ можно прочесть в книге Гихмана и Скорохода (1955, гл.
НН1, 5 5) 3 а д а ч а 14". Напишите выражение в виде математического ожидания функционала от траекторий, решающее задачу дю (Д х) д1 = Ам (1, х) + с (х) га (1, х) + 5 (х), м (О, х) = 1(х). 5. Задача !5. Пусть йь 1ш Т, прогрессивно измеримо, 1 ~ Вж Докажите, что компенсатор случайной функции 1($~) относительно семейства а-алгебр У .г и каждой из вероятностных мер Р„равен ~ А) (Ы дз. о Глава гг ДИФФУЗИИ 5 11.1. Что такое диффузия? 1.
Диффузии (диффузионные процессы) — это, грубо говоря, те марковские семейства, инфитезимальиые операторы которых суть дифференциальные операторы, строго марковские семейства, траектории которых непрерывны. Примером диффузии может служить семейство нииеровских процессов, выходящих из всевозможных начальных точек.
Почему «грубо говоря»? Дело в том, что даже для такого случая, как семейство винеровских процессов в )т' (г ) 1), инфинитезимальный оператор в точно- 1 сти не совпадает с †, б (б — оператор Лапласа), так 2 что соотношение инфинитезимального оператора и дифференциального оператора нужно уточнить. Можно по-разному уточнять, ослаблять, усиливать требование непрерывности траекторий. Кроме того, в уточнении нуждается и то, требуем ли мы в определении чего-то одного — свойств инфинитезимального оператора или непрерывности траекторий — или и того и другого. Эти свойства, как мы видели, близки друг к другу, но все же ие совпадают; поэтому мы можем, варьируя их сочетания, получать близкие друг к другу, но все же разные определения.
Уточнения определения диффузии могут производиться в разных направлениях, так что нет единого стандартного определения диффузии, п есть различные рабочие определения, или, можно сказать, имеются определения разных классов диффузий. Марковские семейства рассматриваемого класса являются математическими моделями движения отдельной частицы в процессе лиффузии — проникновения одного вегцества в другое за счет беспорядочного движения молекул — и в ряде других, сходных с диффузией физических процессов. Известно, что количественная сторона таких чроцессов хорошо описывается с помоп1ью дифференциальных уравнений с частными производными; с другой стороны, траектории реальных физических частиц, естественно, непрерывны. Диффузии оказываются полезными также при изучении совершенно других явлений действительности; в частности, они возникают как предельные для дискретных моделей, описывающих различные биологические явления, такие, как изменение с течением времени численности особей определенного биологического вида или концентрации гена в популяции.
Теория диффузий, естественно, тесно связана с теорией дифференциальных уравнений в частных производных, причем эта связь — двусторонняя. С одной стороны, результаты нз теории дифференциальных уравнений можно применять к диффузиям (сьс гл. !3), с другой — рассмотрение диффузий позволяет получить некоторые результаты, касающисся дифференциальных уравнений.
Одно из применений диффузий к дифференциальным ураннениям — приближенное решение уравнения методом Монте-Карло: процесс моделируется при помощи той или иной стохастической процедуры, и математические ожидания фунционалов от реализации процесса находятся приближенно как средние арифметические по большому числу независимых реализаций. 2. С диффузиями могут быть связаны дифференциальные операторы не выше второго порядка.
Легко установить, что если дифференциальный оператор содержит с ненулевым коэффициентом, скажем, третью производную 1"', то он не удовлетворяет принципу максимума: можно найти функцию, имеющую в некоторой точке х, абсолютный максимум, в то время как значение оператора в этой точке положительно Значит, оператор может содержать лишь производные первого и второго порядкоп (члена с(х)1(х) не должно быть, потому что инфинитезимальный оператор должен удовлетворять условию А ! = О), т. е. иметь вид ! — а (х) 1" (х) + Ь (х) 1' (х) или, в многомерном случае, 2 — о' ..
+ ~ Ь вЂ”.. (К чему здесь множитель !/2, 2, дх! дх' дх! !/ 1 мы скажем в следующем параграфе.] Принцип максимума не позволяет также коэффициентам быть произвольными, а именно, матрица (аы(х)) должна быть неотрицательно определенной при любом х (в одномерном случае просто а ) 0). Таким образом, дифференциальный оператор, свнзанный с диффузией, должен быть эллиптичесним оператором второго порядка или «вырождаюцьимся эллиптическим», т.е. обращающимся в каких-то точках или лаже всюду в параболический (нли гиперпараболнческий. или даже вообще в оператор первого порядка).
В этой книге мы ограничимся рассмотрением диффузий во всем пространстве )с'. Дадим точное определение. Марковское семейство (йг, Р„) на фазовом пространстве (хсг, Яг) мы будем называть диффузией в )сг, если а) его инфинитезимальный оператор определен на всех финитных дважды непрерывно дифференцнруе- 265 мых функциях (разумеется, не только на ннх: например, Рл всегда содержит тождественную единицу), и существуют непрерывные векторная функция (Ь'(х) ) и матричная (ан(х)) (матрица (аи(х)) при любом х симметрична и неотрицательно определена) такие,что для ) е= С~вин <и г г А)(х)=Ц(х)== — ~~ аи(х), " +~~ Ь'(х) г,г ! 1 б) все его траектории непрерывны. Дифференциальный оператор Р будем называть производящим оператором диффузии.
Воаможность удовлетворить условию б) понти глелует из условия а). Действительно, компактифицироваи )1' добавлением одной точки он, получим марновскос семейство, удовлетворяющее условиям микротеоремы 2 $ )0.3; его траектории могут быть выбраны непрерывными. Мо непрерывность траекторий в компакте )1' Ц (оо) не означает непрерывности траекторий первоначального процесса в й'; траентория может уйти на бесконечность и прийти из бесконечности. таким образом, сущность строгого требования непрерывности б) состоит в запрещении ухода на бесконечность — выхода на границу области, в которой задан процесс. й 11.2. Результаты Колмогорова.
Обратное и прямое уравнения В этом параграфе излагаются в переработанном виде результаты, содержащиеся в 3 13, 14 работы А. Н. Колмогорова «СЬег д)е апа!у1)зсйеп Ме(йодеп )п бег Юайгзсйе)ВИсЫсе)1згесйпнпйв (Ма(йегпа1. Апп,— 1931. — Вд. 104. — 5. 415 †4; русский перевод: УМН. — 1938. — Т. 5. — С.
5 — 14) . 1. Пусть на гсг заданы непрерывные функции аи(х), Ьг(х), г,)=1, ..., г; пусть Р— соответствующий им дифференциальный оператор: У) = Т е о р е м а 1, Пусть (чь Р„) — марковское семейство на Яг,йгг) такое, что при любом в~О равно- мерно по х выполняются следующие соотношения; Р((, х, ]гв(х)) =о(!), (() (уг — хг)Р((, х, агу)=Ьг(х)(+о(Е), (2) ГГ« 1х] (у' — хг)(у! — х!)Р((, х, с(у)=ао(х)(+ о(!) (3) и, !х] при (ЬО (здесь (1,(х) — е-окрестность точки х, )г,(х)— ее дополнение). Тогда инфинитезимальный оператор этого марковского семейства определен на всех функ!т) циях Г из С„„„ (т. е.
ограниченных н равномерно ненрерывных вместе со своими частными пронзводнымн первого н второго порядка), и на них он равен Ц. Г!реждс чем доказывать теорему, поговорим о смысле условий (1] — (3). Первое нз них — достаточное условие для существования марковского семейства с данными переходными нероятностями, с непрерывными траекториями. Легко доказать, что при условии (1), если (2) и (3) выполнены при каком-то одном положительном в, то они выполнены и при всех а ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
