А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для у е= Рл в силу формулы (4) В 10. ! ~ е- нргАг д) ~ е-ы Рг)д! Йе о о =.— РЧ~ — ~ Р') — „', .-"ду= — )+ т,(. о С л е д с т в и я. Во-первых, оператор А однозначно задает полугруппу на Во. Действительно, по оператору А находятся операторы ХŠ— А, Х ) О, по ним— резольвента (кстати, теперь понятно, почему употребляется такое название), а по резольвенте однозначно восстанавливается полугруппа. В частности, получаем, что д тя Равномерно стокастически непрерывного марковского семейства на о-компактном фазовом пространстве конечномерноге Распределения однозначно определяются инфинитезимальным оператором. Во-вторых, область определения Рл всюду плотна в Во.
Это вытекает из Рл = тттхВо и (6): для любой функции ~~ В, существует равномерно сходящаяся к ней последовательность функций из )схВо. В-третьих, оператор Л замкнут, потому что прелставляется в вила ХŠ— Их, а замкнутость оператора кх вытекает из того, что он ограничен и рассматривается на замкнутом множестне !а именно Во). Напомним, что оператор А !вообще говоря, неограниченный) называется замкнутым, если его график — множество пар (й А!) — замкнут, иначе говоря, если нз (, Е А! — ьд вы токает ! ~я сзд, А)" = е. Все операторы, получившиеся в прима- рах п. 2 $10.1, где мы и точности нашли инфинитезимальный оператор, естественно, замкнуты; и тех случаях, ногда мы нашли инфинитезимальный оператор лишь на функциях из Сьии или и) С)), найденные операторы, вообще говоря, не замкнуты, но р»вн' имеют замкнутое расширение (а именно, инфинитезимальпый оператор) Для любого оператора, имеющего замкнутые расширения, всегда есть наименьшее замкнутое расширение, илн замыкание оператора.
Можно доказать, что и примерах д) (г ) 1) и е) п. 2 $10.1 инфинитезимальные операторы суть замыкания найденных операторов на С),)„с Сущестауют операторы, аообще 12) не имеющие замкнутых расширений (придумайте пример), ио у нас ани встретиться не могли. 3 а дача 4. Докажите, что В, есть замыкание множества й В.
3 а да ч а 5. Пользуясь формулой (3), докажите, что для семейстаа одномерных аииероаских пропессоа 0» — — Срз»мг Для семейства г-мерных аинероаскнх працессоа, г ) 1, это будет уже ие так, ибо оператор Лапласа пе зачкнут (см. Н. М. Г ю н т е р «теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики» (Мз Гостехиздат, 1953, з 14)). В- )етиертых, пе может быть двух полугрупп с одним н тем же пространстиом В» таких, что инфинитезимальный оператор А одной из иих является расширением инфнпитезимального оператора В другой: 0» щ О», и В) =- А) для 1 ~— = 0». Дейстаительно, тогда мы получили бы, что оператор Л — А азаимио однозначно отображает и множестао 0», и его часть (О») на одно и то же множество В».
5. Приведем без доказательства теорему, дающую необходимые и достаточные условия для того, чтобы данный оператор был инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы сжимающих операторов (доказательство можно прочесть у Д ы н к ни а (1963, гл. 1, ~ 4) или И т о (1983, 2 38) ) . Теорема Хилле — Иосида.
Для того чтобь! линейный оператор А с областью определения Вл в банаховом пространстве Е был инфинитезимальным оператором сильно непреро)оной полугруппь) сжимающих операторов Р' (сильно непрерывной, т. е, Р))в при (40 для любого ~~Е), необходимы и достаточны следующие условия: а) Вл всюду плотно и Е; б) при любом Л ) 0 су)цгствугт определенный всюду на Е оператор (ЛŠ— А) — ', в) (1(ЛŠ— А) — )1)( Л вЂ” '.
В случае полугруппы на подпространстве пространства В ограниченных измерима)х функций условие 251 г) операторы (ЛŠ— А) — ' сохраняют положительность необходимо и достаточно для того, чтобы полу- группа сохраняла положительность; условие д) ! е= 0л, А 1 = 0 — для того, чтобы Р'1 = — 1. Часть, касающаяся необходимости, фактически уже нами доказана. Для сильно непрерывных полугрупп в пространстве С непрерывных функций на компакте условия б) — г) превра!цаются в следующие два условия: б') уравненш ЛР— АР =[ имеет хотя бы одно решение для любого (е= С, Л > 0; в') выполнен принцип максимума (см, ч 1О.1, п. 5).
3 апач а 6. Докажите, что из условия в') вытекают условии в), г). а также единственность решения в услонии б'), т. е. что из условий б'), в') вытекает условие б. 3 а д а ч а 7. Оператор, сгаввщий н соответствие каждой функции [~я Сои[0, 1) П ([: ['(О+) = Р(1 — ) = О) функцию 1 — [", является инфинитезимальным оператором сильно непрерыв- 2 ной полугруппы сжимающих и сохраняющих положительность операторов Р в С[0, 1), Р'1 = — 1. Доиажите.
Это — инфинитезимальный оператор полугруппы, нозникающей н примере п. 7 $8.3 (Мы уже нашли, что Вх Ш С"'[О, 1) П([: 1 Р(0+) = ['(! — ) = 0), и длп таких функций Л[ = — ["; стро- 2 гое вилючапиа отпадает в силу одного из следстний результатов п. 4.) й 10.3. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы Раз инфинитезимальный оператор однозначно задает конечномерные распределния марковского семейства, то в терминах инфинитезимальпыхоператоров в принципе можно формулироватьлюбыеусловия, касающиеся конечномерных распределений, решать любые задачи, связанные с марковскими процессами. Многие задачи, оказывается, можно решать нс только в принципе.
1. Сначала займемся сугубо теоретическими вопросами. Как связаны свойства инфинитезимального оператора со свойствами непрерьяности траекторий? У нас 252 есть условия существования марковского семейства с данными свойствами траекторий в терминах функций ао(Ь) = знр Р(С х, Рз(х)) (см. з 9.1).
Оказыз<ь. »~х вается, условие Игпа,(Ь) = О выполняется при очень ьзо слабых предположениях, а это условие обеспечивает непрерывность справа и наличие пределов слева у траекторий. М и к р о т е о р е м а !. Т!усть для марковского семейства на компактном фазовом пространстве Х пространство Во '=~ С = С(Х). Тогда выполнено условие равномерной стохастической непрерывности. До к а з ат ель с т во. Пространство Х покрыто окрестностями О,д(х), хе= Х; выделим конечное покрытие Уыз(х1), ..., Б» з(х„).
Для каждой точки х; возьмем неотрицательную непрерывную функцию 1, (х), равную нулю в (/ыз(х;) и единице в )'з,~з(х,). Эти функции принадлежат Во, так что для любого 6 О существует Ьо ) О такое, что (Р'~,(х) — !',(х) )(6 при всех ! от 1 до и, всех х е Х и ! < Ьо. Для хе= 0 зз(х;) получаем 6)Р)з(х)~)Р(1, х, 12»(з(хз))»Р(С х, !»(х)) (используется выбор функции ~; и то, что Р„(х)= ~ (тезиз(х;)). Отсюда а,(Ь) ~ 6 при Ь (Ьо! так как 6 произвольно мало, то !!из а,(Ь) =О. ьоо В терминах ннфиннтезимального оператора условие Во =о С формулируется так: Т!л всюду плотно в С.
Теперь займемся непрерывностью траекторий, точнее, вопросом о выполнении условия Дынкина — Кинни: а,(Ь)=о(Ь) при Ь(О для любого е ) О. Этому условию, грубо говоря„соответствует локальность оператора А. Оператор А будем называть локальным, если из того, что 1, де= 0» и эти функции совпадают в некоторой окрестности 0,(х) точки х, вытекает А1(х)= = Ад(х). Примеры — всевозможные дифференциальные операторы; нелокальными являются интегральные операторы.
Легко видеть, что из условия Дынкина — Кинни вытекает локальность инфинитезимального оператора. 253 Действительно, если 1 совпадает с д в (Г,(х), то ! А1(х) — Асс(х) ]= =! !гп 1 ~ Р ! (х) — 1 (х) — Р д (х) + ст (х) ~ = с+о = ][гп 1 ! Р (1 — а)(х)! = с+а =и ю ' ! кк *, кг)!с(г) — с( я]ч с+о з ск ([! ) — сс ]][пп 1 Р (1, х, р е (х)) = О. Однако обратное утверждение в точности не верно. Верно более сложное утверждение: Мн кротео рема 2. Пусть Х вЂ” компакт, А — инфинитезимальный оператор марковского семейства на нем. Пусть оператор А локален, и для любого е ) О и любой точки х сусцествует неотрицательная функция ]е-:Пл, равная нулю в У,м(х) и положительная вне (свеса(х).
Тогда выполнено условие Дынкина — Капни. 3 а д а ч а 1. Докажите микротеорему 2, 3 а д а ч а 2. Докажите, что полугруппе задачи 7 5 10.2 отвечает марковское семейство с непрерывными траекториями. 2. Мы использовали теоремы 1, 3 3 9.1; теперь посмотрим, когда выполнены условия теоремы 4 3 9.1.
3 ад а ч а 3. Если инфиннтсзнмальный оператор А — определенный на всем пространстве В ограниченный оператор, то зпр [! — Р (с, х, (х))] ( с !А[1 -ь 0 (с 4 О). к Это обеспечивает возможность выбора траекторий непрерывными справа ступенчатыми функциями с конечным числом ступенек на любом конечаом промежутке времени. 3 ада ч а 4'.
Может ли быть, чтобы вар [1 — Р (С, к, (х))] ->- к -во (с 4 0),но оператор А был неограничен или определен не всюду на ВР Рассмотрим подробнее процессы с ограниченным инфинитезимальным оператором, т. е. с полугруппой Р' = е'к. Легко доказать, что оператор А — предел операторов С-'(Р' — Е) в смысле сходимости по операторной норме. Операторы Р' — интегральные, значит, и С-с(Рс — Е] — интегральный оператор: (Р— Е)1(х) — ~ с [Р(с х ссу) — 6. (иу)]1(у), х тле бк(Г] — единичная мера, сосредоточенная в точке к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
