А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 43
Текст из файла (страница 43)
$ 8.3) запишется так: !ь=рР', (~б. Вероятностную инвариантную меру (т, е. (л — = РР', р(Х) = 1) называют также стационарным распределе' нием марковского семейства. Примеры ннвариантных мер предлагается получить, решив следующие задачи. 3 а д а ч а 1. Существуют ли конечные инвариантные меры для семейства винеровских процессовз Докажите, что мера Лебега — инвариантная мера для этого семейства. 3 а д а ч а 2. Найдите все инвариантные меры, соответствующие матрице вероятностей перехода задачи 1 6 8.!. 3 а д а ч а 3.
Приведите пример марковского семейства с двумя не пропорциональными друг другу конечньыя ннвариантными мерами. 2. Микротеорема. Пусть йь ггжТ(= — Н', )гы Е' или 2э), — стационарный марковский процесс. Тогда любое одномерное распределение щ этого процесса — некоторая инвариантная мери (одна и та же для всех 1). р (Г)=Р(й гпГ) — = р(Г), (2) где р — = рРг. Обратно, если И вЂ” вероятностная инвариантная мера для переходной функции Р(й х, Г) и если фазовое пространство— борелеоское, го существует стационарный марковский процесс с данной переходной функцией, гикай, что выполнено (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о первой части тривиально. Для доказательства существования марковского процесса, удовлетворяющего (2) и имеющего данную переходную функцию, пользуемся теоремой 6 6 8.2; его стационарность следует из формулы (1) того же параграфа (при этом мы полагаем Р(з, х, Г, Г) = = Р(1 — з, х, Г)). Доказанная микротеорема позволяет строить примеры стационарных марковских процессов. 3 ад а ч а 4. Найти все одномерные стационарные гауссовские марковские процессы, непрерывные в среднем (т.е.
скажем, найти корреляционные функции всех таких процессов). Глава 9 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ. СТРОГО МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО й 9.1. Свойства траекторий 1. В этом параграфе мы укажем некоторые условия на переходную функцию, при которых существует марковское семейство с непрерывными или непрерывными справа траекториями, обладающее данной переходной функцией. Условия такого рода выводились нами для произвольных процессов (теорема Колмогорова); но, конечно, к большему числу марковских процессов могут быть применены условия, специально для них предназначенные.
Пусть Х вЂ” полное метрическое пространство; введем обозначения: П»(х)=(у: р(х,у)(е) — е-окрестность точки х, р»(х) =(у: р(х, у) ) е) — ее дополнение. Пусть на фазовом пространстве (Х, го)=(Х,Я») задана переходная функция Р(й х, Г), 1~ [0, оо).
Положим а» (Л) — зцр Р (1 х 1» (х)). Теорема 1 (теорема Дынкина — Кннни). Пусть а,(Л) =о(Л) при Л10 для любого полотсительного е. Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, все траектории которого неп[зерывны. Д о к а з а т е л ь с т в о проведем, пользуясь теоремой 1 ~ 5.2. (Можно было бы воспользоваться приемом построения процесса, стохастически эквивалентного данному, непрерывным продолжением со счетного всюду плотного множества Ть ~ [О, ьо); но тогда возникли бы некоторые трудности с требованием возможности ввести операторы сдвига (ф 8.4, п.
3): ведь никакое счетное Т, не инвариантно относительно сдвигов на любое Ля= [О, со),) Возьмем в качестве Х множество С всех непрерывных функций на [О, со) со значеиями в Х. Пусть ($ь Р„) — марковское семейство 231 с данной переходной функцией. Мы докажем, что из С: — А, Л~У' ! вытекает Р,(в.е— : А)=1 при любом х. Тогда мы сможем взять в качестве пространства элементарных событий множество С, на нем и-алгебру У', состоящую из множеств вида СЦВ, Ве= ен 2В!ь -!, и при каждом х определить вероятность Р„' на йт' такую, что процесс $,'(х.) = х, будет иметь те же конечномерные распределения, что Получим марковское семейство (Ц, Р;) с данной переходной функцией; траекториями будут все непрерывные функции и только они. Нужно еще проверить, что определены операторы сдвига; но это вытекает из того, что сдвиг любой непрерывной функции непрерывен. Зафиксируем множество А из го1' ', содержащее С.
Принадлежность функции х. ьв Х!ь ' множеству А определяется ее значениями в счетном числе точек 1ь 1, ..., 1„ ... Задача !. Пусть Ть-— — (1,, 1,, ..., 1„, ...). Докажите, что среди всех Л е= 1ьт"'(Х" '), А ю С, есть наименыпее, Аь, оно состоит из всех функций х., равномерно непрерывных на множестве Т„() (О, Л') при любом ХГ. Докажем, что Р„(Я ~ Аь) = 1; раз Ль'с: — А, отсюда получится и Р„(э, ~ А) = 1.
Для этого используем выражение множества Л, через более простые. Задача 2. Докажите, что Х!'-~ 'х Аь —— Л~п — 1 р (х м „х,) ~ 1/ог). Оценить Р,(к.е— : Вьь ) нам поможет следующая Лемма. Пусть 1ь 1,, ..., 1ья-'й. Тогда Р„~~,, ~,, ..., ~, ен О, (~)~ > 1 — 2 х„, (Ь). Д о к а з а те л ь с т в о. Введем марковский момент т =пцп (1,.: $, Ф У, (х)) или + оь, если все $, ~ 0 (х), 1(1(й. Нам нужно доказать, что Р„(т Ь) «(2а,~з(Й). Положим т! = л — т, А = — (т ( и) и воспользуемся строго марковским свойством (оно выполнено, так 232 как случайные величины т и Ч дискретны): Р (А Й (йае=(/аи(х))) = ~ Р(Ь т, вы, Бе!а(х)) Р (а!со).
(1) Точка й, находится от х на расстоянии не менее в„ поэтому все точки из П,!а(х) удалены от $, болыпе чем на е/2, т. е. У,!т(х): — $',и($,). Значит, Р (Ь т, Бх, (/ме (х)) ««Р (т! т йх, 1 е/2 (%х)) «!хе!2 (й) Отсюда следует, что вероятность (1) не превосходит а,м(й). Имеем Р„(А) <1. (А() (ча П.„( )))+ Р„Да ~ и,„(х)) < ««яэ!г (й) + аих (й). Из доказанной леммы вытекает, что Р„Д! ~ У„(х) для всех 1~ ТеП [О, й])) 1 — 2а,м(Ь); это следует из того, что событие под знаком вероятности — предел последовательности событий (5! ~ Пэ (х) длн всех ! 1,.
««т!, 1««! ««п1. Используя марковское свойство относительно момента з, получаем, что также Рх(й!е= Уе($,) для всех 1 ен Той (з. з+ й)) = Рх (Оэ (ь! е= Пе(еье) для всех е= (Те з) П (О, 6))) йв 1 — 2ае!т (й). Из этих оценок вытекает неравенство Рх(с ~Внн ) ««Мп ° йа!и,(2/п) — 0 (п — ьсо); так как П Вн„„~ В„„для любого п, то н .- ! Р,(!, П а„, 1<в,!! а„„„,! н=! Р*(!.
П В 1=! о в*Я.ФА!=! н=! доказывает теорему. 2. Теорема 2. Пусть для любого в ) 0 существует 6 ~ О такое, что схыа(/х) ( 1/2. Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, траектории которого имеют пределы справа и слева в каждой точке времеинбй оси. доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1 н основывается на той же лемме. Не будем 233 приводить его, только дадим основной пункт и виде необязательной задачи.
Введем определение. Пусть функция [(1), заданная на кзком-то подмножестве Т числовой оси, принимает значения в метрическом пространстве. Мы будем говорить, что 1(1) имеет й е-колебаний на Т, если существуют 1е < 1> « ... Оь О>и Т такие, что р([(1»), [(б)) ~~ е, > = 1, ..., й, причем й — наибольшее из таких чисел. Например, функция юп 1, О < 1 < 1О, имеет шесть 1-колебаний. Задача 3*.
Пусть О < О «... 1> < й; обозначим че. рез т число з-колебаний в последовательности во, Ц>,..., я> . Тогда Р, (ч. з ш) < [2аи> (й)]м. Совершенно так же, как раньше, получаем для числа и [з, з + Ь] е-колебаний функции $>(ю) на множестве Те(][з, в+й] (Тз счетно) оценку Рк(чз[з, а+6]Ът] [2ам>(А)]пь, во всяком случае, с вероятностью ! это число колебаний конечно. Далее нужно иметь в виду, что функцию на Тч со значениями в полном метрическом пространстве тогда и только тогда можно продолжить на [О, со) без разрывов второго рода, когда она для любого е ) О имеет конечное число з-колебаний на каждом конечном отрезке.
Теорема 3. Пусть сс,(й)- 0 при й40 для любого и ) О, Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева в каждой точке. Заметим, что условие ]>и> а,(Ь) = 0 является услоатз вием равномерной стохастической непрерывности соответствующего марковского семейства.
Действительно, для 0 ~(з<( обозначим через В событие, состоящее в том, что р($„$>,) ) е. Имеем Р„(р ($„$>) ) и] = = Р„(0, 'В) = М„Р1 (В). Но Р„(В) = Р„(р $ы $~,) ) м н] Рз(р(у > 5)п е) Рз(ч> з~]' е(у)) Р(1 я у, >г,(у)) -а,(1 — з). Поэтойу Р„(р(К„О>) ви) < - а,(Т вЂ” в)- 0 при 1 — з-> О, Но это и есть равномерная стохастнческая непрерывность — равномерная и по начальной точке х, и по всему множеству [О, оо) изменения в, 1. Доказательство, Из условия теоремы 3 вите- кает условие теоремы 2; пусть (й>, Р„) — марковское семейство с траекториями без разрывов второго рода с данной переходной функцией.
Положим $> = Ь+, >ни[0, сю) (предел справа, по предположению, существует). Стохастическая зквивалентность й> и $> вытекает из стохастической непрерывности а>1 ($>, Р,)— 234 марковское семейство с данной переходной функцией, его траектории непрерывны справа, а пределы слева в каждой точке остались прежние.
Отсюда, в частности, вытекает, что траектории стокастическп иепрерывиых, одиородиык по времени процессов с пеэависимыми приращениями можно считать непрерывными справа и имеющими пределы слева; это отиосится, например, к процессу Коши 3. Приведем еще пример применения теоремы 3. Матрице вероятностей перехода из задачи 1 3 8.1 отвечает марковское семейство на фазовом пространстве из двух состояний с непрерывным справа и имеющими пределы слева траекториями, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
