А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Выпишем семейство операторов, связанное с переходной функцией винеровского пропесса, хотя этот пример (как и любой другой на нашем уровне знаний) не очень интересен: просто какие-то интегральные операторы. Для з ( й 1 е В Р«г( (х) = ~ р (з, х, г, р) 1 (у) о'у =- й' !йи (( )! — ~/2 ~ — Ь вЂ” «1ЧПИ вЂ” Н! ! ( ) «(р Посмотрим, какими свойствами обладают операторы Р" Прежде всего, по самому способу построения ясно, что зто линейные операторы; остальные свойства получаются из свойств переходной функции.
Из того, что Р(з, х, (, ) — мера, а не просто счетноаддитивная функция множества, вытекает, что оператор Р" переводит неотрицательные функции в неотрицательные; то, что зто вероятностная мера, дает нам ! Ры) (х) ( < ~ Р (а, х, (, Ь) )! ) 1! = )! ) )!. (2) Х Отсюда же вытекает, что Р" 1 = — 1.
Измеримость по х мы уже учли. Из Р(з, х, з, Г) = 6 (Г) получается, что Р" — тождественный оператор. Посмотрим, что дает уравнение Чзпмена — Колмогорова; при и ( г ~ и Р'"((х) = ~ Р(з, х, и, с(х))(г) = х = ~ ~ Р(з, х, г', гну) Р((, у, и, с(з) 1(г) = х х =)гс,*,с«г))ге,«, . )~() — г*'(г"Л~« х Иначе говоря Рн Рм Рги (3) Это — обобщение формулы, которая была у нас в ф 8.1 для счетного Х. Формулу (2) можно записать так: ()Р'г)()()(Д, или ()Р«г()( 1. Операторы в банаховом пространстве, не (4) при а(1(и, или рва рм ры (5) (Заметим, что при внешнем совпадении с формулой (3) формула (5) имеет другой смысл: не говоря о том, что здесь рассматриваются операторы на другом пространстве, порядок их применения другой: в (3) сначала применяется оператор Р'", а потом Р", а здесь сначала Р", а потом Р'".) Формулировка свойств операторов Р" в пространстве У остается такой же, как для операторов Р" в В (см.
п.!), за исключением свойства г), которое заменяется на г') ир" (Х)=ч(Х); в частности, вероятностные меры переводятся в вероятностные. 205 увеличивающие норму элемента, естественно назвать сжимающими. Итак, мы установили следующие свойства операторов Р" в пространстве В: а) Р" — линейные операторы; б) Р" — сжимающие операторы, т. е. они ие увеличивают норму элемента; в) Р" — операторы, сохраняющие положительность, т.
е. они переводят неотрицательные элемеяты в неотрицательные; Рм)=Г д) Р" = Е (тождсственный оператор); е) Р" = Р"Р'" прн и ( ~(и. 2. Введем теперь операторы в пространстве К Будем их обозначать также Р" (э ( 1, з, 1 е= Т), но записывать справа от обозначения элемента У; чР". Иоложим по определению чр" (Г) =- ~ ч(с(х) Р(сь х, Е Г). х Существование интеграла обеспечивается измеримостью переходных вероятностей по х; счетная аддитивность функции мр" — счетной аддитивностью Р(з, х, 1, ). То, что Р(а, х, Е ) — вероятностная мера, влечет за собой ~~чр"~! =!!Ц, ир" (Х) =х (Х) и то, что оператор Р" переводит меры (т. е. неотрицательные ча†: У) опять в меры.
Уравнение Чэпмена — Колмогорова превращается в рки ( рм) рси Операторы Р' в пространствах В и У сопряжены друг к другу; т. е. для 1 е= В, т я У (, Р"))=(тР", й (б) (точнее, оператор Р" на $г — сужение оператора в В*, сопряженного к оператору Р" в В, и наоборот) Справедливость (6) вытекает из того, что обе части равны ~ ~ т(г(х) Р(з, х, (, г(у)) (у). х х Снойстна операторов Р" а одном пространстве можно аынодить из снойста опсратороа Р" н другом; н частности, формулу (5) можно аынести нз (3) (или (3) из (5)), пользуясь тем, что сопряженный оператор к пронзнсдскию — это операторы, сопряженные к сомножителям, перемноженные а другом порядке.
3 ад а ч а !. докажите, что ))!ип ,'! = ! 3. Операторы Р" связаны непосредственно лишь с переходной функцией, а не со случайным процессом. Укажем, в каком отношении они находятся к марковским процессам и марковским семействам, т. е. какой их вероятностный смысл. Определение (1) переходит в Р"1 (х) = М,,1 (5,), ! ~ В. (7) Пользуясь этими операторами, можно в еще одной форме записать марковское свойство: М, „() (Рк) [йг(к!!) =Р~") (с ) (и. н. Ра ). Что касается операторов, действугощих на меры, их вероятностный смысл более прозрачен.
Пусть т— вероятностная мера на (Х, лй'). Если мы выпустим наш процесс в момент времени з из случайной точки, имеющей распределение т (т. е. рассмотрим марковский процесс $г, (е= Т()[з, оо), соответствующий вероятностной мере Рж,(Л) = ~ т (с(х) Р, „(Л)), то распределение в момент !) з будет как раз иРзг: тР" (Г) = Р,, (й, ~ Г). Итак, операторы Р" в пространстве зг описывают эволюцию одномерного распределения с течением времени. 4. Естественно возникает такой вопрос. Пусть дано семейство операторов Р" в пространстве В (будем 206 говорить о пространстве функций, так как вообще удобнее иметь дело с функциями, чем с мерами), и пусть это семейство удовлетворяет условиям а) — е) п.
1. Можно ли утверждать, что существует марковское семейство, которому соответствует данное семейство операторов? Оказывается, для ответа иа этот вопрос существенно, совпадает ли пространство В', сопряженное к В, с пространством У мер со знаком или имеет место строгое включение В':з У Равенство В* = У будет иметь место для конечного фазового пространства Х; оба банаховых пространства— конечномерные, одного и того же числа измерений; но уже для счетного Х, пользуясь теоремой Хана — Банаха, можно построить пример линейного ограниченного функционала, не представимого в виде интеграла; т. е. В*:» тг.
Посмотрим, что будет, если м* = )г (т.с. для конечного Х). Любой линейный ограниченный функционал Чэ()) представляется в виде (и, (), где т - - некоторая мера со знаком; применим это к функционалу Р*')(х) (з, г и х фиксированы). Получим Рз~) (х) = ~ Р (з, х, Ц Лу) 7 (р), где Р (з, х, Ц . ) — мера со знак ком (в данном случае интеграл сводится к сумме). В силу свойства в) Р (з, х, Ц .
) — мера, т. е. неотрицательная счетно-адди. тинная функция множества; она является нероятностной в силу свойства г). Измеримость по х здесь триниальна, снойстао д) преврашаетсн в Р (з, х, з, Г) = й (Г), а свойство с) — в уравнение Чэпмена — Колмогорова.
Вся беда в том, что в большинстве случаев математического исследования мы имеем дело с бесконечными множествами, а для конечного фазового пространства незачем вообще рассматривать операторы — можно обойтись просто матрицами. К счастью, при некоторых ограничениях на пространство (Х, го') банахово пространство к' будет сопряженным пространством по отношению к определенному пространству функций. Л именно, пусть Х вЂ” компактное метрическое пространство; гб' = лнх — множество всех борелевских подмножеств Л; С вЂ” пространство непрерывных числовых функций на Х. Все непрерывные функции на компакте автоматически ограничены и измеримы, так что Сс:-В.
Известно, что любой линейный ограниченнвий функционал на пространстве С представляется 207 в виде интеграла по некоторой мере со знаком; <р(() =(т, () = ~ т(дх))(х), причем функционалу, принимаюьцему на неотрицательных функциях неотрицательные значения, соответствует неотрицательная мера т (для случая, когда Х вЂ” отрезок, зто — теорема Ф.
Рисса; общий случай см. Х а л м о ш, (953, 8 56). Это вместе с тем фактом, что разным мерам соответствуют разные функционалы (доказать!), и означает, что т' = С*. Это не спасает, однако, положения во всех случаях. Дело в том, что операторы Р" действуют на пространстве В и тем самым переводят любую функцию из С в некоторую функцию, принадлежащую пространству В, но, вообще говоря, эти операторы нельзя рассматривать как действующие в пространстве непрерывных функций. Требование Р"С ~ С является ограничением — не слишком жестким и не слишком уродливым, но ограничением Это ограничение выделяет некоторый класс марковских семейств; так как ограничение Р"С <: — С было впервые введено В, Феллером, такие марковские семейства называются феллеровскими.
5. Феллеровские марковские семейства Пусть Х вЂ” метрическое пространство, М = Ях., С вЂ” пространство ограниченных непрерывных функций (на не- компактном Х могут быть неограниченные непрерывные функции). Семейство (~о Р, „) называется феллеровским, если Р"С с= С при любых в ( б Иначе говоря, для любой непрерывной ограниченной функции) на Х функция Р")(х) должна быть непрерывна по х (ограниченность выполняется автоматически): при х-+-хье= Х должно быть ~ Р (з, х, 1, с(у) )(у) — к ~ Р(з, х„, 1, ду) )(у). Итак, требование феллеровости семейства (касающееся, между прочим, только его переходной функции) состоит в том, что распределение Р(з, х, г, ) слабо сходится к Р(з, х,, С ) при х — 1-хь., т. е.
это— требование, состоящее в слабо непрерывной зависимости переходной функции от второго аргумента (точка отправления). Это весьма естественное требование, 208 что, разумеется, не означает, что оно выполнено для всех марковских семейств. Приведем примеры феллеровских и не феллеровских марковских семейств. В качестве Х возьмем прямую Я', оо =Я'. Процесс ~~ устроим следующим образом: это — неслучайное движение вправо с единичной скоростью, т. е. Е~ = 9 + 1 — з. Переходная функция такого процессабудет Р(з, х, 1, Г)=б„э,,(Г). Строим семейство операторов Р": Р"1(х) = ~ Р(з, х, 1, Иу)! (у) =) (х+! — з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
