А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 36
Текст из файла (страница 36)
5), то функпия под знаком интеграла почти всюду равна Р(з, к, Д Г). Значит, Р (1ч ~е Г) = Р (5, к, Д Г), (у) Можно рассмотреть семейство винеровскнх процессов, выходящих из всевозможных начальных точек,— марковское семейство (гпг, Р, к) с плотностью вероятностей перехода (в г-мерном случае) р(з, х, (, у) = [йп(( — з)] ' е т. е, с переходной функцией Р(, Х ( 1) [~П(( З)]-гпа~в-)Я вЂ” к)Ч(ап-а)),()у г (при з ( Г; при з = й как и для любого марковского процесса, Р(з, х, 1, Г) = б„(Г) ). Существование такого семейства (и даже с непрерывными траекториями) читатель легко докажет; но с этим и другими примерами можно подождать до $ 8.2, где будут развиты соответствующие общие методы. Термин цепь Маркова применяется не только к марковским процессам, но и к целым семействам.
5. Ту же идею о нозможности выпустить мариовсиий процесс из любой точки можно ныразнть по-другому. Можно рассмотреть семейство мариовсинх процессов йг~ "(ы), причем (ы) = к; зато вероятность Р в этомслучаеможно взять не зависящей от х (на такой концепции строится изложение н книге И т о (1963)). Оказывается, семейства такого рода можно свести и марковским семействам, но мы не будем на этом останавливаться. Мы еще коснемся этих вопросон, когда Ггудем говорить о стохастнчесиих уравнениях ($ 12.5). $ 8.2.
Различные формы марковского свойства. Конечномерные распределения 1. Свяжем определение марковского процесса с конечномерными распределениями. Т е о р е м а 1. Для того чтобы случайный процесс йд ус= Т, был марковским с динной переходной функцией Р(... ), необходимо и достаточно, чтобы для любых 1, ( ... ( Г„из Т и любого мнозкества Се= гон было Рф,, ..., 9,)е-=С~= = ~ р, (йх,) ~ Р(уы хо Г, Г1х ) ~ ... х х х ... ~ Р((„ы х„ь ую д.х„) Хс(хь ..., х„) (1) (порядок интегрирования — с конца), где р — однос, мерное распределение, связанное с моментолг времени 1,: рг,(Л) =Р($, е:— Л).
Для доказательства нам понадобится одно вспомогательное средство из теории множеств. Назовем систему множеств,Ф р-системой, если она замкнута относительно сложения конечного числа непересекающихся множеств, вычитания из множества его части и монотонного предельного перехода: А, Ве:— Ф, АВ=О~АЦВе=.ьг; А, Ве-:М, АьВ~ =ь.Ах,Ве=4; Ль А,, ... е=Ф, А, <=А, с= =ь- Ц А„е= лг. и=! Всякая о-алгебра является р-системой, но не всякая р-система является о-алгеброй: она может не содержать вместе с множествами А и В множества А В и А () В.
Буква р в названии напоминает об основной операции, характерной для системы, — монотонном предельном переходе. Так жс, как для любой системы хг" подмножеств множества Х доказывается существование наименьшей о-алгебры о(Ю) подмножеств Х, содержащей Ю,— так же доказывается и существование наименьшей р-системы р(9г), содержащей У. Из того, что любая о-алгебра является р-системой, вытекает р(Ж)с: — о(Ж). Л е м м а 1. Пусть система Ж подмножеств некоторого множества Х содержит Х и замкнута относительно взятия пересечения пары мнозсеств: А, В е= $'=ь=ь. Л В е= тг". Тогда р($') = о (®') Мы будем пользоваться этой леммой, не доказывая ее, потому что это доказательство, хотя и несложное, было бы совершенно лишним в этой книге (см.
Х а л м о ш (1953); Д ы н к и н (1959, лемма 1.1) ). Нам нужно прежде всего проверить, что и-кратный повторный интеграл (1) имеет смысл. Л ем ма 2. Пусть для функции Р(з, х,1, Г) выполнены условия 1), 2) 9 8.1, 1,(хь ..., х„) — ограниченная го -измеримая функция от хь ..., х,е= Х, Тогда функция , (хь..., х„,) = ~ Р (1„ь х„„1„, дх„) („(хо..., х„) (2) М'" -измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Любую измеримую функцию можно представить в виде предела последовательности простых измеримых функций (линейных комбинаций индикаторов измеримых множеств), причем в случае ограниченной функции этот предел равномерен.
Так как при равномерном предельном переходе интеграл предела равен пределу интегралов, а предел последовательности измеримых функций измерим, то до- 192 статочно доказать утверждение леммы только для простых функций. Далее, линейная комбинация измеримых функций измерима, и в силу линейности интеграла достаточно провести доказательство, в конце концов, для индикаторов: ~ Р(1„ь х„„1„, йх„)Хс(хь ..., х„). (3) х Обозначим через .Ф систему всех множеств С, для которых интеграл (3) Ж" — '-измерим. Легко видеть, что М вЂ” зто р-система: действительно, например, из Сь Сз е= М, С~ =~ Сз вытекает, что функция ~ Р(1„п х„„1„, Ых„) тс, с (хп ..., х„) = х = ~ Р(1„„х„п 1,, с(х„)~ (хп ..., х )— Р(1х1Нх)т(хнх) х измерима.
Далее, через Ю обозначим систему всех множеств вида С= Г~ Х ГзХ . Х Г, Г.е= Ж. Для таких множеств интеграл (3) равен тг (х,) ... 1 ... Хг (х„,)Р(1„,, х„п 1„, Г„) и измерим, значит, (лы.Ф. Отсюда вытекает, что .М =~ р(Ю). Лемма ! здесь применима, потому что Ж содержит Х" и замкнуто относительно пересечений. Получаем,Ф~ ='1х($')=о($')=М", т. е. измеримость в (3) имеет место для всех множеств С е= Ж".
Из леммы 2 по индукции вьггекает, что правая часть (1) имеет смысл при любых Л ( 1з ( ... (1„ из Т, если только Р(з, х, 1, Г) удовлетворяет условиям 1), 2) ~ 8.1. Легко видеть также, что из (1) вытекает; для любой ограниченной измеримой функции 1" (хь ..., х„) М19,, ..., $, )= 1 р, (1х,) 1 Р(1п х, 1„пх,) 1 ... х х х ... ~ Р(1„„х„ь 1„, Йх„)~(хь ..., х„). (4) гвз 7 А. Д. Вентцыь Теперь докажем, что из (1) вытекает; $г — марковский процесс с данной переходной функцией, Как мы уже говорили, Р(1, ~ь и, Г) измеримо относительно Я < ь так что требуется доказать только, что для всех А е= У <~ Р (А П (~„е= Г)) = МХлР(С ~о и, 1'). (5) Проверим сначала это для событий вида А = = У,, ..., ~, ) е-=С), 1, < ...
< 1„=1, С =й": РУц, ..., ~,, ~„) СХГ~= =-МХ,~16, .... ~,)Р(1, ~„и, Г). (6) Здесь 1~ < ... < 1„< и. Л е м м а 3. Пусть функция Р(з, х, 1, Г) удовлетворяет условиям 1) — 3) ~ 8.1. Тогда из того, что (1) выполняется для всех 1~ < 1г < ... < 1„из Т, вытекает, что это равенство выполняется и для ~~ зг <~ ° ° ~~ (п. До к а з а тел ь ств о очень просто. Например, если 1, < 1, = 1,, то Р ((~, г 1,е я, ) еи С) = Р((5 ге Ц ) е= О), где 0 =-((хь к,): (х„х,, х,) с= С). Поэтому Р (($зе Ц,, ~ь) ек С) = — 1з, (Ых ) ~ Р(1, х, 1, Ых )Хр(х, к ) к к = ~ Р, (ак,) ~ Р(1„хо 1,, ахг) Хс(хо х„х ).
х к Тому же равен интеграл ~ 1з, (ах,) ~ Р (1п хо 1,, Ых,) )( х к Х ~ Р (Г„х„1з, ахз) Хс (х,, хг хз), потомУ что к (1г хг 1з дхз) =Р(1ь хм 1м дхз) = б» (дхз) а ~ б„(ду)1(у) =1(х). Теперь левая часть (6) выражается через (и+ 1)- мерное распределение, правая же — формулой (4) че- 194 рез и-мерное. Получаем, что левая часть равна 1 1х, (ах,) 1 Р(1о х„1„йх,) 1 ... х х х ... 1 Р(т„о х„,, 1„, а'х„) Х Х ~ Р(1, х„, и, йу)тс(х,, ..., х„) Х„(у) к (помним, что 1„=1); правая — тому жс, но с заменой интеграла ~ Р(1, х„, и, йу) 1~г(у) на равную ему переходную вероятность Р(1, х„, и, Г). 2.
Теперь выведем из определения марковского процесса с данной переходной функцией формулу для конечномерных распределений. Из определения стандартным способом немедленно вытекает, что для любои ограниченной измеримой функции ( почти наверное м(~й«) ~~ «) =-у6) (у) д(х) = ~ Р(1, х, и, ау)1(у). (8) где Л ем ма 4. Из ~ пргделения марковского процесса с данной перехо ~но ~ функцией вытекает, что для 11 ~ ... ~ т„и любой ограниченной измеримой функции ) почти наверное МР(~„..., ~, )(т,1=,.(~,), где д„(х,) = ~ Р (1ь хь 1„йх2) ~ ... х х ... ~ Р(1„ь х„„1„, йх„) ~(хь ..., х„). х (1О) 195 В частности, для любого С~ М'* Р ((в,, ...„9, ) ~ С1У <, ) = д„(в, ), (11) где функция у„задается формулой (10) с индикатоРом 11с в качестве ).
Д о к аз а тел ь ст в; Формула (9) у нас уже имеется при п = 1; будем доказывать по индукции. Ясно, что на каждом этапе достаточно доказать (!1), и (9) выводится отсюда стандартным образом. Пусть утверждение доказано для ки докажем (11) с заменой и на и+ 1. Правая часть измерима относительно У<о, так что нужно доказать, что для любого АенУ<н и Се=У Р (А П ((1,, ..., 1, ) е= С)) = МХлй„„, (9, ), (12) где йл,, (х,) = ~ Р (1„хь 1, г!х,) ~ ... х х ...
~ Р(1„ь х„„1„, г»х,) К х Х ~ Р(1„, х„, У„о 1(х„,)х (хп ..., х„,). (13) Обе части (12) — меры как функции от С; чтобы установить равенство двух мер на а-алгебре У'"ь', достаточно установить их совпадение на полукольце, содержащем Хл+' и порождающем эту о-алгебру. Таким полукольцом является система всех множеств нида С = Г, к', ... Х Гл,к', Гльь Г; е= У. Нужно проверить, что Р (А () ~~, е= Г,, ..., $, ен Г„, $, е= Г„„,)) = =- Мтлп„„, ($, ), (14) где д е, задается формулой (!3) с ~„. (хо..., х„„,) = = уг (х,) ... тг (х„) тг (х„,). Представляем событие в левой части (14) в виде пересечения события А() (9, е= Гп ..., $, ен Г„), принадлежащего»т <,, и '1 л ~) л события (9, е— : Г„„,) и пользуемся формулой (5) л+ ~ с 1„вместо ! и 1„+, вместо ьк Р(АП(», =-Г„..., ~, =Г„)П!», =Г„„))= — Мх„1~г (~,)...
уг ( )Р(1„, $., и .)— = МХ„М [К,, (9,,) ... кг (К, ) Р(1„, %,, 1„„и Г„„)1»т <, 1= Му„д-„~, ), 196 где в силу (9) и (10) й„(х1) = ~ Р (1ь х„1я, йхз) ~ х х (1. . ...,. ~„, ~ .) Хг ( ,) " . х ... юг (х„) Р(1„, х„, 1„„„Г„,). Это означает, что выполнено (12). 1цаг индукции проведен, лемма доказана. Теперь для вывода (1) достаточно заметить, что Р ((я,, ..., я, ) ~ С) = МР (($,, ..., $, ) е= С ~ У = М я „(5, ) = ~ р„(дх,) д„(х, ). х было Р, „(($,, ..., Ц)енС~= — Р(з, х, 1,, йх,) ~ Р(бо хо 1„йх,) х х х Р (1 о х 1 с(х ) ~ (х х ) и (15) Доказательство. Согласно теореме 1, из того, что Д, Р,,) — марковское семейство, вытекает Р...г(~,, ..., ~,) С)= =1~.... и,з)Ре,, „~,, ьг)...
к х ... ~ Р(г„п х„о 1ю йх„) Хс(х„..., х„), (18) х 191 Применение доказанной теоремы дает регулярный способ решения задач ~ 8.1. 3. Применим полученные результаты к марковским семействам. Те аре м а 1'. Пусть ~, =5~(а) — функция от 1~Т и аен 11; Р, „— меры на о-алгебрах Ум„, порожденных функциями К, (ьз), 1.-ь з; Р, „(й1) = 1. Чтобы (Во Р,,„) было марковским семейством с данной переходной функцией Р(,, -, ), необходимо и достаточно, чтобы для любых з~(1, < ...
<1„, х г==Х и Сянй' где р, „,, — одномерное распределение, соответствующее моменту („ относительно вероятностной меры Р, „: р, „, (Г) =Р, „(йг е= Г). Но формула (6) предыдущего параграфа дает )а „, =Р(з, х, (Р ), откуда получаем (15). Обратно, из (15) прн и = 1 вытекает, что р, = Р(з, х, (и ); значит, (!5) при любом и переписывается в виде (16). Теорема 1 дает нам, что йг, ()з, относительно вероятностной меры Р, „ — марковский процесс с данной переходной функцией. Условие Р, „(9, = х) = 1 получаем из (15) с и = 1, (! = з, пользуясь условием 3) 9 8.! для переходной функции. 4. При рассмотрении примеров марковских процессов в 5 8.1 одной из первых ступеней было нахождение переходной функции; причем нужно было проверить все свойства !) — 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
