А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Другис примеры мы можем получить, переформулировав в новых терминах некоторые примеры предыдущего параграфа. Так, пример б) и. 2 3 7.1: компенсатором квадрата процесса с незаниснмыми приращениялги -, с ййс,.=0 служит указанная там неслучайная функция р(1), если только она непрерывна справа. Ясно, что компенсатор суммы раасн сумме компснсаторов и что постоянный множитель можно вынести за знак компенсатора, 3 а д а ч а 1.
Пусть ч1п у = 1м Сч+ 1, 6+ 2, ..., — случайная функция, согласоианнэя с данным иеубыаающил| семейством о-алгебр, м1ч 1( со. докажите, что тогда у нее сущестаует компеисатор, а именно: г-~ „-,=- ~ М(Ч„, — Ч,~т,) (+ ° а11. 3 а д а ч а 2. В случае непрерыпного времени приведите пример случайной функции с М1Ч 1( со, не имеющей компенсатора. 3 а д а ч а 3*. Найдите компеисатор случайной функции ,а щг, 1 ) О, где мг — аннероаский процесс, начинающийся из нуля.
3. Компенсатор играет в теории случайных процессов ту же роль, что математическое ожидание в теории случайных величин. Что здесь играет роль дисперсии (или ковариации)? Пусть согласованные с данным семейством о-алгсбр случайные функции т1г, ~г имеют компенсаторы Тогда бикомпенсатором т1г, Ьг называется 169 случайная функция (т1, ~уь являющаяся компенсато- ром произведения (гр — й,)(~с — ~~): Ь. О -Ь вЂ” ЮС вЂ” Чь Так как т1о ~~ можно изменить на любую константу, то (г1, ~)~ определяется неоднозначно; но эта неоднозначность тоже ограничивается прибавлением константы. Действительно, пусть й,= т1, + с, 1, =1, + а' тогда (т1, — й',) (~, — ~,') = (т1, — т1, — с) ф — ~, — й) = =(тн — Й~) Юс — ~г) — с(1~ — ~~) — й(тн — тп) + сй.
Так как ~, — ~, и тн — й~ — мартингалы, то все члены, прибавляемые к компснсатору первого слагаемого, — константы. В частности, квадратичным компенсатором действительной случайной функции т1~ называется случайная функция (ть т1)~ (она оказывается неубывающей). 2 7.3. Неравенства и равенства, связанные с мартингалами ~,~мЬ~т,). (1) по всему 11, получим довольно простая; следую- Если проинтегрировать м~,< м~,. Микротеорема задачи 1 щая сложнее, Микротеорем а 1. т — марковский момент, Лусть ~„— субмартингал, принимающий значения тто В этом параграфе мы рассмотрим математические ожидания значений мартингалов и полумартингалов в случайный момент времени, причем в марковский момент.
1. Пусть Т вЂ” конечное множество; для простоты обозначений будем считать, что Т =(1, 2, ..., й1). Пусть В„, и = 1, 2, ..., У,— субмартингал относительно семейства о-алгебр У1':-У г' — = .. ' — =Я н. 3 а дача 1. Пусть т — марковский момент, принимающий значения 1,2, ..., й1. Докажите, что почти наверное 1, 2, ..., Л). Тогда м~, <м!,.
(2) Доказательство. Имеем МЦ=- ~~,д+ ~~2Л*+...+ ~ ~,Л= (2=1) (2=-2) (2=-Н) =-~~,Л* — ~ ~,дР+ ~ ~,Л* — ~ ~зд + ... и (2>1) (2>1) (.>2) ...+ ~ 1((Р ~ 511Р+...+ ~ ~ ()Р. (2>и 1) (2> ) ( >и ) (6) Так как (т > и — 1) = — Ы ',(т ~(п — 1) (= У„„имеем 1„((Р = (2>а-1) м (5п ~ 2' и-1) ((Р > ~ ьи 11(Р, (й) (ъ>и — 1) (2>2-1) Из (3) и (4) получаем (2). Так же легко доказать, что (почти наверное) : Ма, ~бг).
(5) Формулы (1), (5) подсказывают нам, что имеет место М н кр от сор ем а 2. Пусть $„— субмартингал, т и о — г)ва марковских момента, 1 =т< о(1)). Тогда почти наверное ьт~~м(ье~ 72). (6) 3 ада ч а 2. Докажите зту микротеорему. Из (6) вытекает, в частности, что М~,~(мв для марковских моментов т, о, т ( о. Для мартингалов неравенство (6), естественно, обращается в равенство; для супермартингалов оно меняет знак.
2. Посмотрим, можно ли перенести неравенства (для мартингалов — ранснства) п. 1 на случай непрерывного времени. Пусть Т вЂ” отрезок, интервал или полуинтервал. Очевидно, идея должна состоять в том, чтобы приблизить произвольные марковские моменты т, о марковскими моментами т„— ~т, о„-2-о, принимающими при каждом фиксированном п конечное число значений, воспользоваться для них результатами п. 1; затем, воспользовавшись свойствами непрерывности реализаций ~ь получить э, — «~,, В,„— «~, и вывести то, что нужно, при помощи теорем о предельном переходе под знаком математического ожидания. При этом придется предположить реализации ~~ непрерывными не то справа, не то слева — в зависимости от того, будет ли т„сходиться к т сверху нлп снизу.
После некоторого размышления становится понятным, что т„должно сходиться к т сверху, и, стало быть, речь должна идти о непрерывности справа; ведь, скажем, т„= [2 т[/2", вообще говоря, нс марковский момент, а т„= ( [2"т[+ 1) /2" — марковский момент в силу задачи 9 3 6.1. Итак, будем предполагать, что реализации ~~ непрерывны справа. Оказывается, это еще не обеспечивает сохранения результатов п. 1.
Например, пусть шь 1 ) О, — винсровскпй процесс. выходящий из нуля. Положим т =. ппп[й ш~ = — 1) (если ш~ не достигает — 1, полагаем т= ьо). Это-- марковский момент относительно семейства о-алгебр У<~ 3 а д а ч а 3. Докажите, что т с вероятностью 1 конечно.
Выбросим из пространства элементарных событий те элементарные события, для которых т = ьь; тогда т будет конечным марковским моментом. Мы видим, что 0 =- гвь ~ М (ш, [У мо) — — Мш, = — — 1. 3. Таким образом, для перенесения результатов п, 1 на непрерывный случай нужно накладывать некоторыс допоянитсльные услония, кроме непрерывности реализаций справа. Этн условия связаны с применением теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Некоторые результаты будут связаны с теоремой о мажорируемой сходимости или, общее, с применением равномерной интегрируемости; другие — с применением леммы Фату (естественно, это будут результаты типа неравенств).
Мы нс можем надеяться получить что-либо интересное из теоремы о монотонном предельном переходе, так как соответствующие результаты для суб- или супсрмартингалов с монотонными реализациями тривиальны. Ми к роте о рема 3. 11усть Т вЂ” отрезок или полу- интервал с правым концом 1 „; Вь 1е= Т,— мартингал относительно семейства У и 1 е= Т, с непрерывными справа реализациями. Пусть т, а — марковские мо- 172 менты, т( о(! „. Тогда почти наверное ~, = М (5, ! У,).
Доказательство. Е!рсжде всего, й,— У,-измеримая случайная величина в силу задачи 1 ч) 6.2. Поэтому достаточно доказать, что (7) для любого события А е= У, (при этом мы заодно докажем, что в, и Ео интегрирусмы). Положим тп= =((2пт)+!)/2", если ((2пт]+1)/2пе— : ( — н, !шп,); если ((2пт)+ 1)/2п попадает левее — -и, полагаем г„= — и; ЕСЛИ жс ПРЗВЕС бппю ГО тп — ! . ЛиаЛОГИЧНО ОПРСДЕ- лим о =( н)'~'([2'о)+!)/2п Л! „.
Ясно, что т„( оп, т„(т, о„!о при и — и со для всех ы. Согласно задаче 9 Ч 6.1, тп и оп — марковские моменты; они принимают конечное число значений, поэтому для иих имеет место формула (6): К,„ = М Р„,~ У.,„). (8) Так как т<т„, то событие А а= У, с:-У;, и из (8) получаем (9) Из непрерывности реализаций справа вытекает с,= !пп 1,, ~„=--1пп со . Покажем, что в формуле п-+ и -+ (9) можно перейти к пределу под знаком интеграла.
Имеем почти наверное (опять-таки согласно результатам п. !) В, =М(й, !У, ), Ь,„=М(К,, ~У„). Согласно задаче 12 ч 1.2, случайные величины тп' пп равномерно интегрируемы, и предельный переход под знаком интеграла закончен. Получаем формулу. (7). Микротеорсма доказана. 3 а д а ч а 4. Пусть яь Г ) О, — супермартиигал с непрерывными справа реалиэациями, $~ ) О прн всех С Докажите, что Мяп) Мат для любого конечного марковского момента т.
3 ад а ч а 5. Для вниеровского процесса шп Г ) О, с непрерынными траекториями, выходящего иа нуля, найдите вероятность того, что шг достигнет раньше точки о, чем Ь !а ( О и Ь). 173 4. Неравенство Колмогорова. Неравенство Колмогорова — обобщение неравенства Чебышева. Первоначально оно было получено А. Н. Колмогоровым для сумм независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием, но затем, как и неравенство Чебышева, значительно обобщена. Ми кро теорема 4. Пусть Т вЂ” конечное множество (с максимальным элементом ? „), ц? — субмартингал относительно семейства о-алгебр Я'?, ! е= Т; пусть В? принимает только неотрицательные значения.
Тогда для любого е ) О Р (?пах в? ) а) ~( Мв? /е [=?пах Мас/и[. ?е.? с .т Доказательство. Положим т=ппп((~Т; ~? ) в), а если таких ! нет, положим т = ~ „. Это— марковский момент относительно семейства о-алгебр У<?=-~;,,,м? (задача ! в 6.!). Но из того, что слу- чайная функция 5? согласована с бт ?, ? ив : Т, вытекает, что .'7~ ? с=. У ?, .поэтому т — марковский момент также относительно семейства У ?, ? е= Т. Далее, шах$?)е тогда и только тогда, когда ? -т, $т ) е; по чебышевскому неравенству для неотрица- тельной случайной величины в, Р (?паха?) и) = Р [в?)е) (Мьт/в(МЕ? „„/в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
