А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Такова приведенная в качестве примера случайная величина т. Случайная величина а не обладает этим свойством: скажем, в случае д! =1, йз — — 2, $з=!, 54=0 (герб — герб— решка — решка) 0= 2, но узнаем мы об этом лишь к моменту (=4 (потому что еще в момент (=3 мы можем ожидать, что выпадет последовательность герб — герб — решка — герб) . Коротко говоря, марковский момент — это такой случайный момент, о наступлении которого можно узнать, не зная того, что будет после этого момента. С этим связан другой термин для марковского момента, отчасти более выразительный, — случайная величина, не зависящая от будущего, принятый в книге Д ы н к и н а () 959) Однако этот термин очень длинный, к тому же одна из основных областей применения этого понятия — теория марковских процессов, где оно связано с очень важным строго марковским свойством, так что в настоящее время употребляется более короткий тер ми н.
Отметим особо, что понятие марковского момента никак не связано с вероятностью Р иа пространстве элементарных событий, а только с самим этим пространством и заданными иа нем а-алгебрами. 2. Дальнейшие прнлмры и свойства марковских моментов. Прежде всего, любой неслучайный момент т(ы) = — 1(щ Т) -это марковский момент (н также т(ьэ) = +со). Рассмотрим несколько классов более интересных примеров. Все доказательства, связанные с марковскими моментами,— просто теоретико-множественные выкладки; однако они приобретают смысл (н упрощаются), если все время ое упускать из гиду наглядный смысл понятия марковского момента как момента, определяемого по прошлому случайного процесса. 3 а д а ч а !.
Пусть й., п = О, 1, 2, ..., — случайная последовательность, принимающая значения в измериьюм пространстве (Х, Ж); à — произвольное множество нз Ж. Определим тг как пср1 чомснт достижения последовательностью "„множества Г: П н11п (и: йч ач Г) или +со, если случайная носледовательпосзь з„тзк никогда и не достигнет Г. Докажите, что т!— марковский момент относительно семейства о-алгсбр У -, л = ~л = О, 1, 2, ... 3 а д а ч а 2.
В условиях предыдущей задачи пусть ! ь Гп ... ..., Г„, — измеримые подмножестна Х Положим = ппп(л: ч„ и Г) или +оь, если последовательность не достигает Гп т, = пнп(п ) гс аале Гз), если т~ < со и последонательность достигает Гз при и ) ть и +ос в противном случае; вообще, гь,1 — первый после ть момент достижения Гььп тьь,= = ш1п(п ) ть.' с« щ Гьь~) или +со, если ть = оо нлн последовательность не достигает Гьь, после моментз ть Докажите, что Сь тз, .',, т„ .. — марковские моменты. В частности, это справедливо для первого, второго, третьего и т.
д. моментов пребынания в одном и том же множестне Г. 3 а да ч а 3. Пусть йь ! ~ж(О, оо],--случайный процесс, пространство (Х, Гь), в котором он принимает свои значения, — метрическое пространство с и-алгеброй борелевских подмножеств. Предположим, что траектории $~(ы) непрерынны, à — замкнутое 149 множество. Пусть тг — первый момент достижения Г; т! —— = лп!и (1: 1! ьи Г), если такие ! есть, и тг, — — оа, если йл не дости- гает Г. Докажите, что тг — марковский момент относительно семейства сг-алгебр У - л, ! гы [О, сю) Пример и.
3 з 3.! ппказывает, как решается 3 а д а ч а 4. В услониях предыдущей задачи пусть Г -от- крытое множество, ст, — — !п1 [1: Цл еи Г) (или +оа, если $г не принадлежит Г ни прн каком ! га [О, оа)). Тоглз т!., вообще говоря, не является марновскнм моментом относительно семей- ства а-алгебр У г, но является марковским молгснтом относи- тельно семейства и-алгебр У < л+. Этот результат сохраняется и в случае, когда траектории не непрерывны, а только непрерывны справа.
3 а д а ч а 5. Для того чтобы случайная величина т была марковским моментом относительно семейства а-алгебр ГУ г+, порожденного какиьнто случайным процессом, необходимо и до- статочно, чтобы (т < Г) е[ У л при любом Г 3 а д а ч а б. Пусть т марковский момент относительно се- мейства а-алгебр У ь ! еа Т. Докажите, что случайная величина т измерима относительно а-алгебры ге =а 1 Л У ). (.!и г Очень легко доказываготся такие свойства марковских мо- ментов если тг, тг — марковские моменты, то т, Т! тг, тг '/ тг — гоже марковские моменты; если тг, тм ..., т„, ...
— марковские лгоменгьй тг < (~ т* =.... < т < ..., го т = Иш г„— голее лгарковский лгои "э мент (предполагается, что пределы всех возрастающих паследона- тельностей элементов Т принадлежат Т). Действительно, (т~ Л тг ( !) = (т, ( Г)()(т, < !), (т~ л 'гг < !) = ('г~ < Г) ()('гг < !). ( -') =- П ("- ) и= ! и все эти события принадлежат !г' л. Если т — марковский момент, то, сиажем, т+ ! и 2т (Т = = [О, со)) — тоже марковские моменты, но т/2 не будет, вообще говоря, марковским момен~ам (относительно того же семейства а-алгебр). 3. Связанные с марковскими моментами о-алгебры, Мы интерпретировали а-алгебру У г как совокупность всех событий, о наступлении которых нам становится известно к моменту б Такая о-алгебра связана с любым неслучайным моментом 1 е— : Т.
Оказывается, и с каждым марковским моментом т можно связать о-алгебру У „имеющую смысл системы всех событий, о наступлении которых мы узнаем к моменту т. 150 По определению Ае=У„еслиАяУ =о(() Уг) и для любого ( е= Т А П (т (() ~ У г. (2) Докажем, что У, — о-алгебра. Прежде всего, ьзееУ;„ потому что ьзД(т(~()=(т~(()~Уг в силу определения марковского момента. Далее, если А е= У т, то и Ы',АеиУ,: (а ' А)П( <() =( <() ' А()( <(). И совсем уже просто доказывается, что счетная сумма множества из У, снова принадлежит этой системе м ножеств. Легко видеть, что для не марковского момента т определенная таким образом система событий не окажется а-алгеброй. Интуитивно понятно, каков смысл определения У т при помощи требования (2): пусть наступление или ненаступлсвие события А становится нам известным к моменту т; тогда, если к моменту Г нам стало известно, что т ( 0 мы должны также узнать, наступило ли А В случае семейств и-алгебр У, г или У г для о-алгебр, связанных с марковским моментом т, мы будем употреблять обозначения У,- , У ~ тю Для марковского момента т примера п.
1 и-алгебра 9'; порождается всеми У - -измеримыми подмножествами множества (т= оо) (имеюп(его меру 0) и счетным разбиением множества (т < оо) = ($, = — 1, Бз= 2) ()(й~ = 1, Ьз=2) ()(81= 1, Бз=.О, аз= 1, Ьч = — 2) () (д~ = — 1 еьз = — 0 ьз = 1 еьч= 2) () Й~= 1, еьз= О Ьз=- ! 84= — 2) Я5~ —— .1, Кз —— О, сз — — 1 йч=2) () () Д~ — — 1, сз=О, аз= — - — 1, 94=0, Кз= ! ее= — 2) 0 ° ° ° В качестве примера случайной величины, измеримой относительно о-алгебры У;, можно рассмотреть число попаданий в точки 0 и 1 до момента т. 3 а да ч а 7.
Докажите, что марковский момент т всегда измерим относительно о-алгебры У,. 3 а д а ч а 8. Докажите, что если т и о - — марковские моменты, т(ы) ( о(ы) при всех ы, то У т '= У о, Задача 9. Пусть т--.марковский момент, о--случайная величина, принимающая значения из Т 0 (со), причем о(ы) ) ~ ~т(ы) при всех ы. Если случайная неличина о измерима относительно У т, то а — также марковский момен~. 3 а д а ч а 1О. Для произвольных марковских моментов а, т событие (т < и) измеримо относительно а-алгебр У, У „, т до' 181 й 6.2.
Свойства независимости от будущего Часто наряду с тем случайным процессом $ь 1е= е- :Т:- г(', который нас интересует, нам приходится рассматривать различные вспомогательные случайные функции. При этом, если мы интересуемся зависимостью будущего от прошлого, нам оказывается существенно различать случайные функции, не зависящие от будущего и зависящие от будущего. Так, если вспомогательная случайная функция тр определяется, скажем, как тр = ~~ — Е~ ь о ней естественно сказать, что она не зависит от будущего, а о случайной функции 1,лз — что она зависит от будущих значений 1 — ! случайного процесса в (чтобы узнать значение случайной функции ~~ при данном С нужно знать значения $, не только для з до й но и после 1).
Эти неопределенные соображения превращаются в точные математические определения, причем не одним способом. Все свойства независимости от будущего, которые мы будем рассматривать, формулируются как свойства излеримости случайной функции по паре аргументов 1, ы относительно определенных о-алгебр в пространстве ТХЙ.
В исследованиях по теории случайных процессов различных таких о-алгебр и соответственно свойств независимости случайной функции от будущего рассматривается очень много; мы ограничимся тремя. С Пусть Уь ~ ~ Т: — )с1, — неубывающее семейство а-алгебр, У ~ ~==У.
Введем о-алгебры в пространстве ТХ (), связанные с семейством (У ~): и-алгебру согласованных с семейством (У ~) множеств .»»Ы (сокращение от английского или французского термина); о-алгебру прогрессивно измеримых множеств У»год; и о-алгебру предсказуемых множеств Ягела По определению множество А: — Т Х ь) принадлежит о-алгебре .Фд в пространстве Т Х ь), если для любого 1 ~ Т сечение А «на уровне 1» — то есть ~ы: (й ы) е:— А) — принадлежит о-алгебре У ь Более сложные определения о-алгебр Ягод и У»сед даются только в том случае, когда Т вЂ” борелевское подмножество прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
