А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(Это вытекает из 162 пространстве Х задано неубывающее семейство о-алгебр У н 1 ~ Т, и на о.-алгебре У, содержащей все У ь заданы две вероятностные меры р и р'. Пусть мера р' абсолютно непрерывна относительно р на каждой из о-алгебр У б обозначим соответствующую плотность через Ь|(х). Функция Ь|(х), если ее рассматривать как случайную функцию на вероятностном пространстве (Х, У, р), оказывается мартингалом. Действительно, плотность Ь|(х) при фиксированном 1 — зто функция, измеримая относительно У ~ и такая, что для любого А~Ус ~ 6, (х) р (дх) = — р' (А).
л Согласованность й~(х) с семейством У г есть; остается проверить (1) или, что то же, (2) . Но если А е= У;, то также А с=У н и 1 и,( ) н (д4 = р' (А) = 1 Ь (х) Н (д ). В частности, мы можем в качестве Х взять Х", У = гьт, а в качестве неубывающего семейства о-алгебр — последовательность Я ' (Х ) с= Я ' (Х ) ы =... ь:-У ' (Х ) с: —..., где Т, аТ, с: —... с:-Т,...— консчные подмножества Т (см. й 5.3). Мы получаем, что плотности пт,(х ), пт,(х ), ..., йт„(х ), ... на пространстве (Хг, гог, р) образуют мартингал. Другое выражение того же факта: случайные величины пт =йт„(~ ), п=( 2, „на пространстве (г), У, Р) образуют мартингал относительно семейства о-алгебр У т„=о($ь 1 е:-.Т.), и= 1, 2, .... 3. Построить сколько угодно примеров субмартингалов (и супсрмартингалов) нам дает возможность следующая М и к р о т е о р е м а.
1!усть ~ь 1 е= Т, — мартингал относительно семейства о-алгебр У ь 1 е= Т; пусть 1— выпуклая вниз числовая функция такая, что суи1ествует М) ($,). Тогда )(~е~), 1 ~ Т,— субмартингал. Д о к а з а т ел ь ство. Согласованность ) ($~) с семейством У ~ проверять не нужно; проверим, что для 1($~) выполнено неравенство (5), т. е. что для любых Из выпуклости )(х) вниз следует существование для каждого хо опорной прямой у=)(хю)+ С(ха) (х— — хч), лежащей под графиком у = ~(х) (рис, 2! ). (В качестве С(хо) можно взять, например, пра- Гщ вую производную в точке хо,) Воспользуемся этим для С, в качестве хм $~ в качестве х; получим 1(аы) ~1(э,)+ +Са)а,— и Идея состоит в том, что- Ряс. 21 бы проинтегрировать это неравенство по множеству А и получить (6). Однако будем осторожнее: интеграл ~ С(в,)(э~ — в,)ЙР, может быть, расходится из-за неограниченности функции С(с,); поэтому возьмем интеграл лишь по множеству Аэ =А П(!С(К;) («У): ~)а,)Л =- ~)Д,)аР+ ~Са,)(Ц,— ЦЛ.
Ам Второй интеграл в правой части здесь равен нулю; действительно, МХлхС(й.)($~ — в.) =-ММ 1хз,С6,)(«.з — 1,) |3',) = =М ахи С(ч,) йй С~ — 5,~йт:..)] =0 почти наверное. Отсюда 11(., 1 1а) Аэ Ач устремляя М к бесконечности, получаем (6). Микротеорема доказана. Заметим, что эта микротеорема годится также для мартингалов с векторными значениями, и доказательство остается тем же; только вместо опорной прямой нужно использовать опорную плоскость нли гипсрплоскость. Из одного только винсровского процесса юь ! ) О, шо=О, получаем множество примеров субмартингасиа лов: [ьрг[, пгг, нгг, е ', е ' (последнее при О = ! ( ~ 2/с); супсрмартингал пгг Л с (функция у = х Л с выпукла вверх). 4.
!1усть гпь 1) О, ге= О,— г-гдсрный винеровский процесс, )(х) — непрерывная супергармоничсская функция в )сг (т, е, непрерывная функция, значение которой в каждой точке х не меньше среднего ес значений по любой сфере с центром х). Если М/(шг) при положительных 1 существует, то 1(шг), 1= О,— супермартингал относительно ссмсйства Я мг. В одномерном случае зто вытекает из результатов и. 3, потому что все супсргармонические функции на йг' " — пыпуклыс вверх; приведем доказательство для многоигрного случая. Для О ( з ( ! почти наверное М()( у) !.'Гека)=~р(шг), где гр(х) = — [2п(1 — з)[ ' ~ е !" !т!аи М'!" (у) г(у (докажите, пользуясь конечномсрными распределениями). Интегрирование по )с можно заменить интегрированием функции [ по сферам: (йс [у — х[= р) и интегрированием результата с каким-то весом по р; каждый интеграл по сфере не превосходит интеграла от значения /(х) функции 1 в центре сферы, так что ~р (х) ~( [2я (! — з)[ ' ~ е ! " ' Рп' и и!/ (х) гад = — / (х).
Отсюда вытекает, что ((пг,) ) М ([(шг) [ига). В частности, в двумерном случае супермартингалом является гп =- - — )п[пгг- — ха[, а в г-мерном (г) 2) т1г= 1/[шг — х,['-', потому что [(х)=--)п!х — хо[, ) (х) = 1/[х — ха[и-а — супергармоничсские функции в соответствующих пространствах (мы полагаем 1(хв)= =+по, так что г1г может пРинимать значение +оо, но Р [т1, = оо) = Р (шг = хв) = О пРи Г > О). 5. 3 ад а ч а 2. Для того чтобы последовательность $ была мартиигалом, необходимо и достаточно, чтобы при всех и почти иавериое М (р„, [У „) = аж Докажите. 2 7.2. Компенсаторы 1.
Понятие компенсатора и связанные с ним понятия составляют важную часть аппарата, используемого для учета зависимости будущего от прошлого. Эти понятия, хотя и без разработанной в полном объеме терминологии, широко используются в исследованиях по теории случайных процессов.
Прежде чем вводить их, приведем пару теорем. Ми к р отвар ем а 1. Пусть $ь 1=1ю, (о+ 1, 1о+ + 2, ..., — мартингал относительно семейства о-алгебр У и~У ь.; ~ '— =У и~»~.... Если случайная функция ~~ предсказуема относительно этого семейства о-алгебр, то почти наверное ~~ является константой, не зависящей ни от 1, ни от ы, До к аз а тельство. Мы знаем, что предсказуемая случайная функция равна какой-то константе с в левом конце 1ь множества моментов времени. Докажем, что РД,=с)=1.
11ишем цепочку равенств, выполненных с вероятностью 1: с==$н=М($и»~1У'и) =виг~ = М (ви«2~5 1-г!) й .~2 (использусм тот факт, что ~~ы измеримо относительно У ь и условное математическое ожидание почти наверное равняется самой случайной величине). Т е о р с м а. Пусть $6 1 ) 1ы — мартингал относительно неубсчвающего семейства о-алгебр У ь 1) 1ь. Если случайная функция ~~ предсказуема, а ее реализации непрерывны справа и имеют ограниченную вариацию на каэкдом конечном отрезке, то с вероятностью 1 ы = с, где с — какая-то константа, Не будем приводить доказательство, оно сложно, его можно найти в книге Липцера и Ширяева («Теория мартингалов», 1986).
Приведем более простой вариант теоремы, относящийся к случаю, который будет дальше использоваться. М икр отеор с м а 2. Пусть ~ь 1) 1ь, — предсказуемый мартингал, реализации которого удовлетворяют условию Липшица с константои Е (неслучайной): ) ~р — Е, ) ( ь'17' — з ) (это обеспечивает и ограниченность вариации, и непрерывность).
Тогда 2~ почти наверное равно константе. 167 Доказательство. Как и в случае дискретного времени, 8я,(ы)=--с. Докажем для любого 1> 1„, что Р (в~ =-вь) = !. Выберем произвольное разбиение 1в ( 1~ ( .. ( 1 = 1 отрезка от 1в до 1; имеем: ,,л-! ° г МР,— ~„У=Мф(й..ч.—;,,)) =— !=О и ! =-М Х (ч,„, — --,,)з+ 1=0 + 2 Х М ($6 .. — -.-.~,.) ("-.1., — ~~,.) (рассматриваем случай одномерного, причем действительного й~). Псрвая сумма, а с ней и ее математичеи ! скос ожиданно ие превосходит ~„1.з(1;,, — 1;)~( ~' --0 Ф вЂ ! (1'щах(1;„— 1;) ~ (1,, — 1).
Вторая сумма рав- ~=О на нулю, так как мартннгал имсет нскоррелированные приращения. Итак, М(с~ — й„)з(1х(! — 1„) гпах(1;,,— — 1,). Так как разбиение можно взять произвольно мелким, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, М 5~ — ~н)в=О, и Р(в~ =во) =- !. 2. Тспсрь дадим опредсленпе компенсатора. Пусть 1е= Т, — случайная функция, согласованная с семейством о-алгебр У ь принимающая числовые или векторныс значения. Случайная функция йь 1е Т, назыгается компснсатором случайной функции т!ь осли разность тц — йь 1е— : Т, является мартингалом относительно семейства о-алгебр Зг'б случайная функция ф, 1е= Т, предсказуема; и случае непрерывного времени ее реализации непрерывны справа по 1 и имеют ограниченную вариапию на любом конечном отрезке, содержащемся в Т (в случае Т, состоящего из целых чиссл, зто требование бессодержательно и всегда выполнено).
Как и в определении мартиигала, здесь две части: одна связанная только со случайной функцией и о-алгебрами — предсказуемость, непрерывность справа, ограниченность вариации; другая — связанная с вероятностями — мартингальность разности. Конечно, мы вполне готовы к тому, что для некоторых случайных функций тр компенсатор может не !68 существовать; и что компенсвтор определяется не единственным образом. Теоремы, приведенные в п.
1, устанавливают почти единственность компенсатора: если Т=(1о, уо+ 1, 1е+ 2, ...) или Т вЂ” отрезок или полуинтервал, содержащий левый конец, то два компенсатора т1г и т1,' ог?ной и той же случайной функции с вероятностью 1 при всех значениях 1 различаются лищь на неслучайную константу. Приведем примеры компенсаторов. Прежде всего, ясно, что компснсатором любого мартингала т!г является любая константа: т1,.= т1, (щ) = — с;а компенсатоРом пРедсказУемой слУчайной фУнкции т1г с непРеРывными справа реализациями, имеющими ограниченную вариацию (в случае непрерывного времени), является она сама: аЧ =чг — или она сама плюс произвольная константа. В частности, т1, = — т1, (+сопя().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
