А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 30
Текст из файла (страница 30)
До к а з а т ел ь с т во. Достаточно проверить, что принадлежат а-алгебре У'гои порождающие У'гед множества вида А =(Т()(1, сь) )Х В, В е=У б то есть что их индикатоРы хл(з, ы) =-т, п„1(з)11е(а) прогРессивно измеримы. Это вытекает из того, что индикатор 11л(з, ы) согласован с данным семейством е-алгебр и при любом ы непрерывен слева по з. Полученные результаты дают возможность рассмотреть примеры предсказуемых и прогрессивно измеримых случайных функций в случае непрерывного времени. Если ~ь — ьь 1( со,— числовой случайный процесс с дифференцируемыми траекториями, случайная функция В, прогрессивно измерима и предсказуема относительно порожденного процессом $~ семейства и-алгебр У~с Действительно, при всех ~, ы имеем: Ц(ы)= )ип а(сч(а) — Ч.
П.(ьз)), а случайные п -Э функции $, и е,, „предсказуемы как функции с непрерывными реализациями, согласованные с дан- 157 ным семейством о-алгебр. Если йг — случайный процесс с непрерывными справа и не имеющими разрывов второго рода реализациями, то прогрессивно измерима относительно того жс семейства о-алгебр случайная функция т(ь определяемая как величина скачка в точке П т)~ =~~ — $~ (в точках непрерывности, то есть всюду, за исключением счетного числа точек, т)~ =0). Это вытекает из того, что сам случайный процесс $0 будучи непрерывен справа, прогрессивно измерим, а его левый предел ~~ даже предсказуем (будучи непрерывен слева). 4.
3 а д а ч а 1. Пусть случайная функция ч~ прогрессивно измерима; т — марковский момент. Докажите, что функция »1 = чт<„,1 (ю) на множестве (ю. т(ю) ц со) измерили относительно а-алгебры У т. Зада ч а 2. Пусть Т = [О, оо), Чь ( щ Т,— случзйная функция, прогрессивно измеримая относительно семейства о-алгебр У ь Г щ Т.
Пусть С (ы) = ~ т), (ы) с(з существует как ино теграл Лебега при любом ( ея Т. Тогда ьг — предсказуемая случайнзя функция. 3 а д а ч а 3. пусть вь г щ [О, со), — случайный процесс с непрерывными справа траекториями в метрическом пространстве Х (в качестве и-алгебры мУ на этом пространстве взята о-алгебра М» его борелевских подмножеств); [(С х) — ограниченная Я(о 1 Х Ях-измеримая функция на [О, оо) Х Х. Докажите, что 1 ( (з, й») с(з — предсказуемая случзйная функция относительно о семейства о-алгсбр У, Ощ ( «.
со. 3 а д а ч а 4. В условиях предыдущей задачи пусть т — марковский момент относительно (У г). Докажите, что = ~ ( (з, в») цз — У ~ -измеримая случайная величина (если о интеграл расходится как интеграл Лебега, полагаем ф = 0). Поговорим об интуитивном фоне, стоящем за термином пргдскпзуемость.
Отличие понятия предсказуемости от прогрессивной измеримости проявляется в случае непрерывного времени только при рассмотрении разрывных случайных функций. Рассмотрим случайную функцию, совершающую время от времени скачки величины !. Эти гкачкн могут быть двух родов. Во-первых, они могут происходить в строго определенные моменты нремени; или в случайные моменты, но такие, скажем, как момент времени, когда мы коснемся какого-то множества.
Это — скачки, которые мы можем предсказать: приближаясь к множеству, мы уже видим, что вот-вот его коснемся. Во-вторых, могут быть совершенно неожиданные, непрсдскаауемые скачки, происходящие «ни с того, ни с сего», как, например, у пуассононского процесса. 158 Для различения в пределах строгой математической теории этих случаев и вводится понятие предсказуемости.
Рассмотрим пример. Только пуассоновский процесс нам сейчас ни к чему, потому что у нас сейчас нет не только пуассонов- ского распределения, но и вообще вероятностей. Кроме того, счетное число скачков — это слишком много, ограничимся одним скачком. Задача 5. Пусть Р= (О, оч), У'=М(о 1, Т.= [О, оз), ~~(ы) = 0 при ! ( ы и $~(гв) = 1 при 1) ы. Проверить, что У 1в. ! М(а, Р и-алгебра У !состоит из всех борелевских подмножеств А отрезка (О, 1] н из всех множеств вида А () (1, оо), А ~ц МУ !р У<!э=Ус! марковские моменты т могут быть двоякого рода: во-первых, вина ) ы при ы я [О, 1р]; т (ы) =!а прн <о > !о (функция т(ы] предполагается борелевской): и, во-вторых, вила т(чз) ш при всех ы (рис. 17); Рнс.
17 и-алгебра У ~т (рвз семейство и-алгебр обозначается в данном случае У -!, то и п-алгебры, связанные с марковскими моментами, обозначаются У ~ ) для марковских моментов перваго Рода совпадает с М1о г 1, дла втоРого — с М(с согласованные с [У ~ !), прогрессивно измеримые, предсназуемые множества в Т Х () = [О, оо) Х [О, со) мы опишем с помощью рисунков.
Обратите внимание на то, что, хотя время— первое переменное в паре (1, ы) на следующих далее рисунках в качестве оси ы выбрана ось абсцисс; это сделано для того, чтобы не расходиться с формой, в которой даны графики марковских моментов (см. рис. !7).
Согласованные с (У . !) множества имеют вид, указанный на рис. 1о (выше биссектрисы координатного угла и на ней — что угодно, а правее ее множество должно состоять из горизонтальных полупрямых, взятых целиком). При этом требуется (чего не выразишь на чертеже), чтобы любое горизонтальное сечение было 159 борелсвским (зто — ограничение, касающееся только части чертвжа с 1 ) ы). Прогрессивно измеримые множества изображаются в точности таким же чертежом, но требуется, чтобы множество было двумерным бореленским множеством. Рис. 18 Рис. 19 Предсказуемые 1 = ы отнесена нс множества — почти то жс самое, но прямая к всрхнсй половине, а к нижней (рнс.
19; направо идут замкнутые лучи, а на том уровне 1, гдс нот луча; там н точка (1, 1) не принадлежит множсству). В частности, сама случайная функция $~(ш) прогрессивно нзмсрима, но не предсказуема, потому что множество ((1, ы): $~(ы) = 1) имеет вид, указанный на рнс. 20 (биссскт)щса нключастся в множсоз ство). 5. Еще раз напомним, что введенные в этой главе понятия — чисто теоретико-множественные и никак не связаны с вероятностью и мерой, поэтому и глава такая короткая. Рис. 20 Глава 7 МАРТИНГАЛЪ| ф 7.1. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы 1. Пусть (11, У, Р) — вероятностное пространство; У ь 1 е= Т с: — )с', — неубывающее семейство о-алгебр (У ~ а У ).
Случайная функция еь 1е= Т, называется мартингалом относительно семейства о-алгсбр У ь если а) случайная функция ь~ согласована с семейством о-алгебр У ~ (т. е. р при любом 1 У иизмеримо); б) для любых а, 1е= Т, з ( 1, почти наверное ~, = — М Д,(У,). (1) ~ $в г(Р = — ~ ч, г1Р (2) для любых з,1е= Т, х -1, А с=У,. Случайная функция ~и 1~ Т, называется субмартингалом относительно данного семейства о-алгебр, если выполнены условия а) и б') для любых а,1е= Т, а ( 1, почти наверное Ф,~М6~~У,); (3) еупермартингалом, если вместо условия б) выпол- няется А. Д. Вьвтцьвь Согласно определению условного математического ожидания (см. Ф ел л ер, 19б7, т.
2), мы считаем, что М~~ конечно при всех й Естественно, раз речь идет о математических ожиданиях, ~~~ — числовая или векторная случайная функция. Условное математическое ожидание относительно У, по определению — У,-измеримая случайная величина такая, что выполнено определенное интегральное соотношение. Поэтому с учетом а) условие б) можно переписать так: б") для любых в, ! еп Т, в = г, почти наверное Е, = М (й ~ У ,). (4) Суб- и супермартингалы рассматриваются только принимающие значения из гс! (или из расширенной числовой прямой). Условие б') (соответственно б") можно переписать в интегральном виде: (5) для в, ! ~ Т, з < у, А е= У, (соответственно >). Мартингал, принимающий значения в !с!, является одновременно суб- и супермартингалом; если субмартингал взять с обратным знаком, получится супермарти игал, Первый пример марюшгала — симметричное случайное блуждание по целочисленным точкам прямой (мы его рассматривали в и.
1 $ 6.1), Его можно рассллатривать как суммарный выигрыш одного из игроков в игру с подбрасыванием монеты при ставке ! пепле л партий. Вообще любой мартингал относительно семейства о-алгебр Я ю связанного с последовательными подбрасываниями монеты, можно интерпретировать как суммарный выигрыш одного из игроков в орлянку, если ставка в каждой пар~ни назначается в зависимости от результатов предыдущих партий ял = — сопы интерпретируется как начальная плата за участие в игре). Термин маргннгпл был введен в !939 г. Ж.
Виллем. Французское слово шаг!!ппа!е означает часть конской упряжи — ремень, не позволяющий лошади вздергивать голову; но оно означает также удвоение ставки при проигрыше. По-видимому, по. следовательность суммарных выигрышей игрока, пользующегося этим приемом, — простейшин пример мартш1гала, не являющегося процессом с независимыми приращениями. 2.
Примеры мартингалов. а) Винеровский процесс пль ! ) О, выходящий из нуля (ше = О), является мартингалом относительно семейства порожденных им о-алгебр Умы Действительно, он тривиальным образом согласован с У м о и при О ( з ( ! почти наверное М (лиг ) У м,) = тв, + М (плг — ш, ~ У ~,) =- =ил, + М(шг — и,) =ш„ потому что случайная величина шг — ш, независима от всех событий и-алгебры У -..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
