А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Обозначим через р" распределение 5. в пространстве С и докажсм, что семейство [р",Ь 0) относительно слабо компактно. Для этого оценим М [5," — 5,"[' (что же касается М [5,",~", то это просто 0). Если [г — з[~(К пользуемся очевидным неравенством М '!5" — 5."'!':=Ь-'(г — з)"=-(! — з)'.
Для [! — з[) Ь' пользуемся тем, что 5," — 5," равно слагаемому, не превосходящему по модулю 2Ь (см. рис. 14), плюс Ь, умноженное на сумму независимых случайных величин ~ьчч+ ... + ~~ в числе ! — Ь ( ) Ь вЂ” '!! — з). Пользуясь неравенством (с»+ 8)» < (8а»+ 88», получаем оценку: ~~Ц8и Ял1» ( 8 (2Ь)» ! 8МЬ» Я ! ! ~ )» 3 ада ч а 2. Установите, что М($е»1+... +з»)»= = 3 (( — Ь)ч — 2 (! — Ь). Для нахождения этого момента можно непосредственно раскрыть скобки и подсчитывать математические ожидания произведений $Д»с,ь, разного сорта н численности; а можно четыре раза продифференцировать в нуле характеристическую функцию »»(5»»,е ...
т$8 ф», », (г) =-Ме ' =сов г. Итак, при !» - — з!) Ь' М (8" — Я"~» ( !28Ь»+ 24Ь»(! — Ь)зк: !28(! — в)т+ 24(! — з)'= !52(! — з)'. Такое же неравенство, как мы видели, выполняется и при !»' — з((Ь'. Применение только что доказанной теоремы дает нужную компактность. 4. Как применяется относительная компактность, показывает Т ео рема 3.
Пусть (!»", Ь ) О) — относительно компактное семейство вероятностных мер в метрическом пространстве Х; й — некоторое множество ограниченных непрерывных функций !" на Х. Пусть для любого ) ~ о существует (пп ! ) ди". Тогда существует к»е» вероятностная мера т на Х такая, что )пп ! )д!»~= к»0! = ~ (дч для любого )~ й. Если не существует другой меры т' на Х такой, что ~ !'дт'= ~ !'с(т для любого !" »= (У, то !хк- т при Ь)О в смысле слабой сходимости.
Д о к а з а те л ь с т в о. Мера т, о которой говорится в первом утверждении теоремы, — слабый предел подпоследовательности !» ", где Ь„4 О. Вторая часть теоремы: если !х -» т, то существует непрерывная ограниченная функция ), такая, что ~ ),д!»"-г »»З -т ~ Гь Нт. Можно выбрать подпоследовательность ь' 1г л' мер р" такую, что ~ ) )ьдр "— ) !ьдт ~ >е> О, й„'4 О.
Из нее можно выбрать подпоследовательность и'„'4 О 6" такую, что р "— т. Легко видеть, что т'~ ж При этом для любого )'~5 имеем: ~ Гдт'= (пп ! Гдр "=— и.+ 4 л . Г л =(пп ~ )дц = )!Гп з! )др = ~ )дт, а отсюда вытеЛ40 ~ ь-> кает, что ч' = т. Полученное противоречие доказы- вает теорему.
Ч а с т н ы е с л у ч а и. 1) Теорема о взаимной не- прерывности соответствия между характеристически- ми функциями и распределениями. Здесь 5 — множе- ство всех функций )(х) вида е' ", гав : Р'. Из теоремы единственности получается теорема непрерь1вности. 2) Т е о р е м а 4. Пусть Х вЂ” метрическое простран- ство, состоящее из функций х. на множестве Т со значениями в метрическом пространстве Х; пусть его борелевская а-алгебра Я» совпадает с и-алгеброй У»г(Х), порожденной цилиндрическими множества- ми.
Пусть для любого ! отображение Х в Х, ставящее в соответствие функции х ее значение х~ в точке !, непрерывно. Тогда для сходимости семейства вероятностных мер р" на Х достаточно относительной компактности семейства (иь) и слабой сходимости всех соответ- ствующих конечномерных распределений р,, на ь (х", м",), Дока з а тель ство. В качестве 5 берем множе- ство функционалов вида Р(х ) =)(х~ „..., х~„). Ут- верждение вытекает из того, что мера на (Х, м!») од- нозначно задается интегралами по ней от всех непре- рывных ограниченных непрерывных функций, а рас- пределение в (Х, йтх(Х)) однозначно задается соот- ветствуюгцими конечномерными распределениями. Применим это к распределениям случайных лома- ных Яь.
Установим, что при П(0 их конечномерные распределения сходятся к гауссовским, и найдем, к ка- ким именно (с какими параметрами). Достаточно для 144 любых 0(1( ( 1о ( ... ( („ найти предельное раса и п и пРеделенне длЯ ЯО, Ягх — Яге ..., Яг — ог г Эти случайные величины не более, чем на 26, отличають ($( + ... + $~ , 1), ь (~~ , ) + ... + + ~ ~ , ), ..., Ь ($)» , + ... + $(» , ), предельное распределение у них — то же.
Эти суммы— первая, вторая, ..., и-я — независимы друг от друга. Из центральной предельной теоремы вытекает, что они имеют в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсиями соответственно Задача 3. Пусть р",- ты ..., )хп — тп при 640. Тогда мера р," Х... Х р„" (совместное распределение п независимых случайных величин с распределениями )хо(„..., р„") при й 4 0 слабо сходится к т(Х ° . ° Хтг.
Это вместе с предыдущими результатами дает следующую теорему. Теорем а 5. Распределения )хп случаиных ломаных Ь'" в пространстве С[0, Т) при ЦО имеют предел. Этот предел — распределение в этом пространстве винеровского процесса, выходящего из нуля. Между прочим, это — еще один метод установления сущестнования винеровского процесса. 11о важно не это, а важно, что отсюда сразу нытекает огромная масса различных предельных теорем; для любого функционала г из С(С) (пространства ограниченных непрерывных функционалов на прострзнстве непрерывных функций) получаем, что 1пп Мг (о") = Мг" (ы ) поо (обратите внимание, что математические ожидания в левой и в правой частях действуют на случайные величины, определенные, вообще говоря, на разных вероятностных пространствах: слева .— иа пространстве, на котором определены независимые случайные величины $ь справа — на пространстве, на котором определен винеровский процесс).
В частности, для любой непрерывной функции с(х) т г м,„) (з()ч м„, ) (...(ь ~ хо .) (о 3 а д а ч а 4. Локажите, что распределение случайной вели- и чины щах г при П ( О слабо сходится к распределению о~(~т щах ы. о~(от 145 Задача 5. К распределению какого случайного процесса сходятся распределения рь случайных ломаных8 при й -нас? а 3 ад а ч а б'. Приведите пример последовательности слу<айных функций $~г, Г щ [О, Т), с непрерывными реализациями, для которых все нонечномерные распределения слабо сходятся при и-ь со к конечномериым распределеаиям случайной функции нн с непрерывными реализациями, но соответствующие распределения в пространстве непрерывных функций не сходятся: Рьг рп.
5. Мы установили, что конечномерные распределения процесса ~/а У„(Г) примера 5 $ !.2 сходятся н конечномерным распределениям процесса Л()) с непрерывными реализациями Конечно, о сходимости в пространстве С не может быть и речи— просто потому, что реализации утл Уа (Г) разрывны. Поэтому для установления сходимасти распределений функционалов от 4п у„к распределенияи тех же функционалов от 2 приходится лнбп пользоваться функциональными пространствами, состоящими из разрывных функций, либо «подправлять» чгп уп (г), загоняя реализации в пространство непрерывных функций. В этой кни~е мы не сможем разобрать этот вопрос.
Глана б МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ, СВОИСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ ОТ БУДУхЦЕГО $ 6.!. Марковские моменты 1. Пусть дано неубывающее семейство о-алгебр (т г в пространстве элементарных событий, (е— : Т ы )с'. 3',: — 'У ~ при з Д Все эти о-алгебры мы будем предполагать под-о-алгебрами основной в-алгебры У. С примерами таких семейств о-алгебр мы уже знакомы: таковы, например, а-алгебры 3 о определенные по какому-нибудь случайному процессу (см. ф 3.1), или — в случае нспрерывного времени — й~„. Дадим определение марковского момента. Пусть т(оз) — случайная величина, принимающая значения из Т или значение +со. Мы говорим, что т — марковский момент (относитсльно данного семейства о-алгебр), если для любого 1е= Т событие (г(1) е= йг'о (1) Рассмотрим пример — самый простой, когда и время дискретно: Т = (О, 1, 2, ...), и о-алгебры У м У о У з, — это просто конечныс алгебры, каждая из которых порождается каким-то конечным разбиьшием пространства ьз (трсбование У'ч аУ ~ ~ са У з ы...
сводится н этом случае к тому, чтобы каждое следукштее разбиение было мельче оредыдушего). Пусть $ч, ...— симметричное случайное блуждание на целочисленных точках прямой, нянина|понесся из нуля Вго можно предстаилять себе так: производится ряд бросаний монеты, и в, = ~+ 1, если в п-м бросании выпадет герб, $ = к ~ — 1, если выпадет решка (5ч = О). В качестве о-алгсбр У „возьмем о-алгебры У „= о (ье, й ч и). Здесь алгебра У, порождается Челылг разбиением пространства элементарных событий, т. е.
в У о войдут два множества ьо и 11; У, — разбиением Я=ИЗ = = — 1) Ц (х, = 1); У т — разбиением Я = (1, = — 1, йз = — 2) П ()(ть1= 1 ьг=о)Ц(51=1, еьз=о)Ц(вен=1, йз=2)~ и т д Рассмотрим случайный момент т первого достижения нашим блужланисм точек сс2 (если случайное блуждание не достигает их никогда, полагаем т = оь): ппп (1; ) сз ) = 2), если такие 1 есть; + оо в противном случае. 147 Это — марковский момент, потому что событие (т ( л) при каждом л складыйается из элементов разбиения, порождающего У,. Конечно, (т(0)'= (т(1) = Я; далее, (т «(2) = ($, = -1, йз= -2)()В =1, Ь=2) (рнс. 15), (.г(3)=(т(~2); г 3 (т ( 4) состоит из элементов разбиения, входящих в (т (2), и еще четырех: и = — '1, е.=О, 4= — 1.
Г ь4 = — 2) Ц (еты .— — — ! аз= О Вз= 1, Ь = 2 )()($~ = 1, йз = Рис. 15 = О, йз = — 1, й4 = — 2)() ()(„' = 1, (з = О, й,= 1, )„ = = 2)(рис. 16), и т. д. Рассмотрим еще один пример, связанный с тем же семейством о-алгебр У,. Пусть щах (1: ! < ! (4, 18. 1= 2), о= 0 если такие ! есть; в противном случае. Это — последний момент достижения точек -!-2 от начала блуждания до момента 4, если к этому моменту какая-нибудь из точек ~2 была достигнута (мы не берем в качестие примера Рис. 1б 148 последний момент среди всех нзтуральных 1, 1Ц = 2, потому что, оказывается, с вероятностью 1 число достижений точек сс2 бесконечно, и последнего момента нет). Случайный момент о-- не марковский.
Действительно, например, событие (о ( 2), как легко проверить, осуществлнется тогла и только тогда, когда 1в41Ф 2; оно не содержит великом ни одного из событий, порождающих алгебру Уз, н не принадлежит этой алгебре. Из рассмотренных примеров уже видно, в чем суть понятия марковского момента. Будем интерпретировать о-алгебру У ! как совокупность всех событий, о наступлении илн ненаступленни которых нам становится известно к моменту б Тогда, если при каком-то щ марковский момент принял значение (, то к моменту г нам это уже известно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
