А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теперь возвращаемся от пространства [О, 1)[>и"" ' "') к пространству [О, [)г. Продолжая г меру р на о-алгебру Я!а и, получаем искомое вероятностное пространство и случайную функцию. Теорема доказана. 5. Мы сформулировали и доказали теорему Колмогорова для случайных функций, принимающих значения в [[О, 1], Я!э п)1 однако ясно, что она будет справедлива и для широкого класса более общих измеримых пространств (Х, Ж).
Г1рсжде всего, это будет, если измеримое пространство (Х, Я) изоморфно измеРимомУ пРостРанствУ [О, !), >)У(э, и), т. е. если между Х и [О, 1) можно установить взаимно однозначное и измеримое в обе стороны соответствие. Изолюрфны отрезку с и-алгеброй его борелевских подмножеств измеримые пространства Я', >В') и любое из Я", лг"), Чтобы установить этот изоморфизм, нужно взять доказательство равномоно~ости [О, Ц и )1~ (или )1") и проверить, что то взаимно однозначное соответствие, которое прн этом строится, в обе стороны измеримо. Проверка разбивается на ряд отдельных ступеней, например, такие. равнамощность (и изоморфнасть как измеримых пространств) [О, Ц и [О, 1), далее [О, 1) н [О, Ц"; [О, 1)" н 11". Вспомним, например, как ус~анавливается равномощнасть полуинтервала [О, 1) и квадрата [О, 1)'.
У!юбая точка х ~ю[0, 1) записывается в виде бесконечной двоичной дроби, например х = 0,01110010110.. Однозначность записи обеспечивает, если рассматривать только записи с бесконечныч числом нулей (из двух двоичных записеи. 0„010000... = 1/4 и 0,001111., = !/6 + + 1/16+... = 1>4 — испольэовать только первую). Двоичная запись, далее, разбивается на страни», содержащие один нуль, причем в конде х = О, 0 1110 0 10 110...; и из всех граней ! 2 3 э 5 с мечетными номерами образуется двоичное число у> = =О, 0 0 11О ..., а из граней с четными номерами — число 3 5 уэ = О, 1110 1О ...
З!егко видеть, что построенное таким образ ч зом соответсэвие между хщ [0,1) и у = (уьуз) гэ [О 1)э будет взаимно однозначным, Но оно будет также и измеримым относительно соответствующих барелевских а-алгебр. Это вытекает из того, что любая А-я грань в двоичной записи числа у, или уэ принимает и> или иное значение иэ множества [О; 1О; 110; ...) на множестве точек х, составленном из конечного или счетного числа полуинтервалов (а любая грань числа х принимает то или иное значение для точек у из конечного или счетного числа прямоугольников).
Изоморфен измеримому пространству (10, 11, Я!и ~!) и гильбертон кирпич с соотнетствукнпей о-алгеброй. Далее, теорема Колмогорова остается верной и для измеримых пространств, изоморфных не всему отрезку [О, 1] с а-алгеброй его борелевских подмножеств, а какому-либо борелевскому подмножеству отрсзка с а-алгеброй ого борелевских подмножеств.
Достаточно проверить это для самих борелевских подмножеств [О,!] (а не их изоморфных образов). Пусть Х -- непустое борелсвское подмножество отрсзка [О, !], Ях — о-алгебра борелсвских подмножеств Х. Пусть при всех и на (Х, зйх) определены согласованные друг с другом вероятностные меры Эти меры естественным образом продолжан ются на ([О, 1], Я]й, ~!), если положить меру той части [О, 1]", которая нс попадает в Х", равной нулю Запись этого в виде формулы: продолжаем меру л на о-алгебру Я"е „полагая для множества А из этой о-алгебры р,, (А) = р,, (А () Х").
Легко проверяется, что и продолженные меры тоже согласованы друг с другом. Значит, существует случайная функция сл, 1е= Т, со значениями в [О, 1] и с конечномерными распределениями р,, Чтобы получить слун чайную функцию со значениями в Х, берем произвольный элемент хе ~ Х и полагаем если 5, АХ; х,, если в,ФХ. Эта случайная функция уже принимает значения только из Х.
Она имеет те жс самые консчномсрные распределения, так как стохастнчески эквивалентна 5и для любого ! е= Т Р Д, 4= $,) = Р ($~ Ф Х) = р~ ( [О, ! ] 'х Х) =- О. В связи с этим вводится следующее определение. Измеримое пространство (Х, го ) называется борелевским, если оно изоморфно какому-нибудь борелевскому подмножеству отрезка [О, 1] с а-алгеброй его борелевских подмножеств. Пользуясь этим понятием, сформулируем теорему Колмогорова в том виде, в каком мы ее будем использовать: Пусть (Х, го ) — борелевское измеримое пространство; пусть каждому конечному набору не совпадающих друг с другом элементов 1ь ..., 1„множества Т поставлена в соответствие вероятностная мера на (Х", го"). Для того чтобьг зги меры состав» ляли систему конечномерных распределений какой- либо случайной функции, необходимо и достаточно согласованности системы этих мер. Д!ирокую применимость теоремы Колмогорова в этой формулировке обеспечивает следующая М и к р о т е о р е м а.
Любое борелевское подмножество любого полного сепарабельного метрического пространства (а не только отрезка (О, 1) ) с о-алгеброй его борелевских подмножеств является борелевским пространством. Доказательство читатель может найти в книге К. Кур атов с кого чТопология» (Мл Мир,— 1966. — Т, !), а может провести самостоятельно, погрузив метрическое пространство в гильбертов кирпич, Что же касается множества Т, то специально отметим, что оно может быть соверитенно любым. Вопрос о том, как по системе конечномерных распределений указать, имеется ли случайная функция с данными конечномерными распределениями, реализации которой принадлежат некоторому Х с: Х', будет рассматриваться в следующем параграфе.
6. Приведем примеры применения теоремы Колмогорова. а) Мы можем доказать существование последовательности независимых случайных величин с данными распределениями рь рв ..., и„, ... — объекта изучения, привлекающего столь большое внимание. Полагаем р,,, =р,. Х1»,.,'к', ... Х р, (1 -а1, при 1 Ф й). Согласованность этих распределений следует из того, что для конечного числа случайных величин все в порядке. .
Более того, нам совершенно безразлично, счетно или нет множество Т, на котором мы собираемся определить нашу случайную функцию; т. е. если для любого 1~ Т задано распределение р~, то существует случайная функция с независимыми значениями, имеющая р~ в качестве одномерных распределений. (Плохие свойства такой случайной функции составляли предмет задачи 4 $2.1.) Пв б) Для любой действительной функции гп(1) на Т и любой действительной неотрицательно определенной функции К(1,з) на ТХ Т (т. с. ~. с,сеК(1п 1а))0 для любых 11 е:— Т и комплексных с;; это равносильно К(1, з) =— К(з, 1) и выполнению условия неотрицательной определенности для всех действительных с;) существует действительная гауссовская случайная функция ~~ с еи(1) = М$, и К(1, и) в качестве корреляционной функции.
Здесь в качестве р, , берем п-мерное нормаль л ное распределение с вектором математических ожиланий (лз(1~), ..., т(1„)) и матрицей ковариаций (К()ь ге), 1, л = 1, ..., а); для существования такого распределения достаточно неотрицательной определенности матрицы. Согласованность распределений вытекает из того, что нормальное распределение однозначно определяется математическим ожиданием и матрицей ковариаций, и того, что распределенис любого подвектора нормального вектора снова нормально.
В частности, теперь мы можем установить существование винеровского процесса. Действительно, гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией К(К и) = 1Л з— винеровский процесс, так что достаточно проверить неотрицательную определенность этой функции. Можно не проверять этого непосредственно, а воспользоваться тем, что 1Л з является корреляционной функцией пуассоновского процесса (при а = 1).
Конечно, имеется еще тысяча путей доказательства того жс: например, можно прямо проверить согласованность выписанных в п. 5 б 1.2 распределений или воспользоваться результатом задачи 4* й 3.1 в применении к счетной последовательности независимых нормальных (О, 1) случайных величин. Далее, возвращаясь к задаче 7 ч 1.2, мы видим, что существует гауссовский процесс Л(1), О ( 1 ( 1, конечномерные распределения которого являются преДельными Дла У~при (1) пРи и- оо, — это пРоЦесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией К(1, з) = 1 Л з — 1з.
в) 3 а д а ч а 2'. Докажите существование проиесса Коши (определение см. в п. 4 $1.2). й 5.2. Свойства с вероятностью 1 1. Займемся свойствами выборочных функций, выполненными с вероятностью 1. Пусть имеется случайная функция вь !я= Т, относительно реализаций которой ничего не известно (кроме того, что они принадлежат Х'). Для каких множеств Х с- Х' можно утверждать, что Р (в. е= Х) = 1? Мы видели, что для многих представляющих интерес множеств Х эту вероятность нельзя найти, зная конечномсрные распределения. Как мы уже говорили н п. 2а,) ~ 1.3, в случае несчетного Т лишь редко задача о свойствах с вероятностью 1 может быть решена в такой формулировке: По данньчм конечномерным распределениям указать, равна вероятность того, что выборочная функция принадлежит Х, единице или нет.
Здесь естсствснныс постановки задач такие: а) По данным конечномерным распределениям указать, суи!ествует ли случайный процесс с такими риспределениями, для которого Р Д е== Х) = 1. а) По данным конечномерньчм распределениям процесса ~~ указать, существует ли процесс ~ь стохастически эквивалентный ему (т. е. Р Д, = ~Д = — 1 для всех ! е= Т) и такой, что Р Д е= Х) = 1. в) Пусть почти все выборочные функции процесса $~ с данными конечномерными распределениями обладают некоторым свойством: Р Д ~ Х) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
