А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3. Далее, о-алгебра М" (Х) порождается алгеброй цилиндрических множеств: йу (Х)=о( () ю'('"" ")(Х)). рс..,. Г,) т По теореме с продолжении меры мера на о-алгебре М'(Х) однозначно определяется своими значениями на алгебре, порождающей ют(Х) Это означает, что распределение р случайной функции однозначк но определяется конечномерными распределениями )хгг,, г при всевозможных различных г>, ..., 1„~ Т. Более того, вспомним, что и- алгебра Ж" = Ж Х...
Х Ь опрелелястся как о-алгебра в Х", порожленная множествами Аг Х... ХА„А, г= за, а система всех таких множеств образует полукольпо, содержащее Х". Так как мера продолжается однозначно также и с полукольпа, то распределение случайной функции йг однозначно определяетсн значениями мер рз з на е ' произведениях множеств из Я;, т. е.
с вероятностимн Р (5~ 1 ~ Лг " . ат ш 'Ц. Посмотрим, какими свойствами должна обладать система конечномерных распределений. Легло понять, что должны выполняться следующие простые условия. 1. Если ьь !и ..., 1„— перестановка чисел от 1 до и; !и ..., 1„— произвольные элементы Т; Ль ..., Ач— произвольные множества из Я', то р,, (Л;,ХА, Х ХЛ,)= = р..., ~ (А, Х Лв Х .. Х А„). !1.
Длл любых Го ..., 1„1„+, а= 7'; Ль..., Л„е-=8о р, „,, (А,Х ХА„ХХ)= =р,, (Л,Х . Х "„). Действительно, вспоминая, что такое конечномерныс распределения, убеждаемся, что речь каждый раз идет об одной и той жс вероятности, а именно, о Р ~~, е= Аи ..., $, е= Л„~. Система распределений р,, на (Х, гГ ), уо... ..., 1„е= Т, 1= 1, 2, ..., называется согласованной, если выполнены условия 1, П (условия согласованности). Мы установили, что система конечномерных распределений любой случайной функции является согласованной. Конечномерные распределения играют по отношению к бесконечномерным приблизительно ту же роль, что функция распределения по отношению к распределениям иа Д' или !т'", а условия 1, 11 — ту же роль, что простейшие свойства функции распределения (0» » Е» !; монотонность в случае Й' и немного более сложное условие в случае Д').
Возникает вопрос: какие дополнительные условия типа непрерывности нужно наложить на систему конечномерных распределений, чтобы ей соответствовала какая-то случайная функция, реализации которой принадлежат данному пространству функций Х (для функций распределе- ния, как мы знаем, такими дополнительными условиями являются )пп Р(х) =-О, 1!гп Р(х) = 1, « -+— «-«ч 1!тп Р(х) = Р(х,))? Естественно, дополнительные ус- «Ф«, ловия зависят от функционального пространства Х. Оказывается, для Х = Хт никаких дополнительных условий не надо (все требования непрерывности уже заключаются в том, чтобы р,, были мерами). « Сначала установим это для случайных функций, принимающих значения из отрезка [0,1] (в качестве о-алгебры в этом пространстве берем о-алгебру Я1„п борелевских подмножеств этого отрезка).
4. Теорема Колмогорова (о конечномерных распределениях). Пусть любому конечному набору не совпадаюи!их друг с другом элементов 1и ..., („мно- жества Т поставлена в соответствие вероятностная мера р,, на [ [О, 1], Ю",, ). Для того чтобы эти 1''' « мерьг составляли систему консчномернсчх распределе- ний какой-то случайной функции, принимающей значе- ния в ( [О, 1], Я1к и), необходимо и достаточно согласо- ванности системы(!«,, !и ...,!„~Т, и= 1,2,...). Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость — причем не только для числовых случайных функций, но и для принимающих значения в произвольном измеримом пространстве (Х,го') — уже доказана. Достаточность. Мы построим распределение р на ( [О, 1], Я1ь, и), соответствующее данной системе ко- нсчномсрных распределений.
Затем в качестве основг ного вероятностного пространства возьмем ( [О, 1], Я,'ь;1, р) При этом каждое элементарное событие ы есть функция х. на Т со значениями из [О, 1]; слу- чайную величину ~~(ы) мы определим как значение этой функции в точке Н $,(х.)=хо Случайная функ- ция $ь ! е— : Т, и будет искомой. Опрсдеяим вероятностную меру р сначала не на т о-алгебре Я!ь и, а на порождающей ее алгебре ци- линдрических множеств.
Л именно, для множества С=-(х.: (хго ..., х~ ) ~ А), (2) где А я= Я1ь, И, положим !х(С)=р,, (А). 112 Но одно и то же цилиндрическое множество С может быть представлено в виде (2) по-разному — с разными наборами У!, ..., 1„е= Т и соответственно разными множествами А, так что нужно еще доказать корректность этого определения. 3 а д а ч а 1. Выведите из условий согласованности, что разным представлениям цилиндрического множества С в виде (2) отвечает одно и то же значение р(С), вычисленное по формуле (3).
Теперь докажем счетную аддитивность функции множества р(С) на алгебре цилиндрических множеств, и тогда эту функцию можно будет продолжить до меры на порожденной этой алгеброй и-алгебре Я!!х и. Счетная аддитивность функции множества, определенной на алгебре, равносильна ее конечной аддитивности плюс выполнение условия непрерывности в нуле: изС, ~Сэр ... ~С„: ..., Д С„= О должно вытел —.
! кать ! пп р (С„) = О. ~ .+ Конечная аддитивность очевидна — она вытекает из аддитивности мер и,, (А), А с=Я"„, (ведь для л любого конечного числа множеств вида (2) можно выбрать общий набор 1!, ..., 1„). Докажем непрерывность в нуле. Для счетной последовательности цилиндрических множеств С„можно выбрать счетную последовательность ~!, ..., ~„, ... элементов Т такую, что каждое из рассматриваемых множеств связано с каким-то конечным числом элементов этой последовательности.
Без ограничения общности можно считать, что С„=(хл! (х!и ..., х!„) е= А,), А а=Я!ап. (4) Предположим, что счетная аддитивность не имеет места, т. е. существует такая последовательность С,'=~С,=~ ... =эС„~..., Г) С„= Ы, множеств вида д=! (4), для которой р(С„) не стремится к нулю при п — ~- оо Последовательность р(С„) — невозрастающая (в силу конечной аддитивности), ограниченная снизу нулем; значит, предел у нес есть, но, по нашему предположению, не равный нулю, а положительный. Иначе говоря, р(С ) ) а ) О для всех п. Далее, любую функцию со значениями в [О, 1], определенную на счетном множестве (1ь ..., 1„...) (то есть принадлежащую [О, 1]('"" "'"')), мы можем продолжить до функции на множестве Т вЂ” элемента [О, 1]г Значит, пересечение множеств С„вида (4) в [О, 1] ' пусто тогда и только тогда, когда пусто пересечение таких же множеств в [О, 1]( ' "' "' "'1.
Будем дальше рассматривать множества именно в этом пространстве и меру р, определенную на его цилиндрических подмножествах. До сих пор все наши рассуждения были применимы не только к пространству функций со значениями из [О, 1], но и к пространству функций, принимающих значения в произвольном множестве Х. Теперь настало время воспользоваться тем, что Х = = [О, 1]. Мы помним, что любой отрезок — компакт; компактами являются и кубы [О, 1]". Более того, в произведении счетного числа отрезков [О, 1]( ' "'' "' "') можно ввести естественную метрику, в которой оно станет компактом.
А именно, для двух точек из [О, 1]("'"" '"' "'): х. =(хгн ..., х~„, ...) и у. = =(у,, ..., у,, ...) полагаем Метрическое пространство [О, 1]1 ' '"' "' '"1 с метрикой р — это широко известный пример компакта в бесконечномериом пространстве, так называемый гильбертов кирпич, Почему он так называется? Дело в том, что обычно это метрическое пространство вводится в другой форме, приводящей к тому же пространству с точностью до изоморфизма А именно, в гильбертовом пространстве 1х, состоящем из последовательностей х=(хь ..., х„, ...), с метрикой р(х, у) — [(х, — у,)х+ ... + (х„— у„)т+ ...]и' рассматривается множество точек, удовлетворяющих условиям 0<х1<1, 0<хз<1/2, ..., 0<х„< <1/2" — ', ... Это — бесконечномерный параллелепипед размером ! Х 1/2 Х 1/4 Х 1/8 Х ...; первые три измерения у него — как у обычного трехмерного кирпича: ширина вдвое меньше длины, а высота еще вдвое меньше.
Доказательство компактности гильбертова кирпича можно прочесть в книге Колмогорова и Ф ои и н а (1968, гл. 11, З 7, пп. 1, 2). Следующий пункт нашего доказательства. Известно, что для любой конечной меры на Я",Я") внутри любого борелсвского множества можно выбрать компактное множество сколь угодно близкой к нему меры. Примерим это к мере р,, и множеству А„; полу. и чим, что существует компакт К„~ Л„такой, что из р,, (Л„~ К„) < е/2". Введем обозначение; О„=-(х.: (хй, ..., х~ ) с= К„); из определения К„вытекает, что О„~: — С„.
Множества О,— компактные подмножества гильбертова кирпича (потому что О, гомсоморфно произведению компакта К, на гильбертов кирпич). Изменим немного множества О„так, чтобы получить невозрастающую последовательность множеств с тем жс пересечением: 0„'=О,ПО,П . ПО„. Это — также последовательность компактных подмножеств гильбертова кирпича.
Докажем, что р (Р„) > О. Имеем: р(О'„) =„(С„) — в(С„,О'„) = и л =р(С ) — п~ Ц (С; 0;) ~ >в — ~ р(С„',О~). 1-1 ь=! Из того, что С„образуют невозрастающую последовательность, вытекает, что 1-е слагаемое в последней сумме не превосходит р (С, Х О,-) = и,, (А, ~ К,) < < в/2'.
Отсюда получаем р (О'„) > в — в/2 — ...— — в/2" > О. Раз р (О„) > О при всех п, то компакты О„не- пусты. Невозрастающая последовательность непустых компактов имеет непустое пересечение, откуда ! ! С„~1! О„=1! О„'~ 0, 116 что находится в противоречии с предположснной нами пустОтой пересечения Сл. Это доказывает счетную аддитивность р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
