А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда существует случайная ( — ь,ы г мера ь(Л) на борелевских подмножествах ( — ьь, оь) (соответственно ( — и, и) ) с ортогональными значениями с Мь (Л) = О, М ~ ь (А) (' = р (А) такая, что т, =- и+ ~ енх~(йЛ>. (() Случайная мера ~(Л) определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Стохастический интеграл ~ ( (Л) ~ (аЛ) (2) поставим в соответствие случайную величину Т(0=с$0 + ... +с 10.
(4) Отображение ! совершенно очевидным образом линейно; проверим, что оно изометрично: М~ сД + ... + с„Ц ~'= „'> с,сдК(1, — !ь) = Ль = ~ с сь ~ е™!е~ ~хи (йЛ) = ~ ! ! (Л) )" р (йЛ) ! ь устанавливает взаимно однозначное изометрическое линейное соответствие между пространством Е'(йр) оо и пространством Нт, определяемым как замыкание в Е'(дР) множества всех линейных комбинаций с,(~, — т)+...
+с„(з, — тп) приэтомеп~ ц,— т, а опеРатоРам 9ь соответствУют в пРостРанстве Ез(дц) операторы умножения на епь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим для краткости к, — от= — Ц. Начнем строить отображение Т(!), которое, как мы затем докажем, будет задаваться формулой (2). Функции ~ вида >(Л)=с,е' +... +с„е (3) (интегралы, как и прежде, по ( — со, со) в непрерывном случае и по ( — н, и] в дискретном случае).
Из изометричности и линейности вытекает, что для )1=1з почти всюду (г1р) соответствующие 1(11), 1((з) совпадают почти наверное, т. е. что это — отображение из пространства 1. (г(р) в Нег. Оно продолжается по непрерывности до изометрического (а стало быть, взаимно однозначного) линейного соответствия между замыканиями множеств функций вида (3) в Ез(с(гь) и случайных величин вида (4) в Нг. Последнее замыкание по определению совпадает со всем Нг', первое совпадает с 1з(г1р). Это не вытекаст— даже в случае отрезка (--и, и) — из того, что любая интегрируемая в квадрате функция разлагается в сходящийся в среднем квадратическом ряде Фурье; ведь а.'(( — и, и), 4ь) Ф1з(( — и, и), с(х). Доказательство можно провести, например, так: в пространстве 1.з(с(р) всюду плотно множество ограниченных функций, в нем — множество ограниченных непрерывных или даже дважды непрерывно дифференцируемых, в нем — периодических функций с теми же свойствами, а каждая из них разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье" ).
Утверждение о виде операторов, соответствующих бм вытекает из того, как определяется l()) для функций вида (3). Теперь положим ~(Л) =1(уа). Это — случайная мера с ортогональными значениями с нулевым математическим ожиданием и М ~ ь (Л) ~з =-- р (А). Действительно, Мк(А) = — 0 потому, что это случайная величина из Нг. Далее, се Мс. (А) с. (,В) = М! (уд) ( (ун) = = ~ х,(х,)-„(У,) н(223=„(А Д В); это дает нам н нскоррслированность значений для непересекающихся множеств, и М ~ ь (А) ~з = гс (А). Отображение 1 линейно и изомстрично, причем 1(уа)=ь(А); н силу единственности стохастичсского интеграла (теорема ! $2.2) для всех ) е= 1а(с(р) *) На лубе — сундук, в сундуке — заяц, в зайце — утка, в утке — яйцо, в нем — иголка, а в иголке — Конгеева смерть. 92 имеем У()) = ~ )(Л) ~((Л).
В частности, для )(Л) = еих: ) Ц) = — ~, — т = ~ еыхй (с(Л). Отсюда, наконец, получаем (1). 2. Рассмотрим очень простой пример спектраль- ного представления. Для процесса примера ! $ 1.2, к которому мы возвращались в предыдущем пара- графе, имеем $~ -— — А соэ (т)(+ ~р) = — е'че'ч' + А + — е 'те 'и', это — уже готовое спектральное пред- 2 ставление. Соответствующая мера с ортогональными значениями Ь сосредоточена в точках -~-т), и Ь-меры одноточечных множеств (т)), ( — т)) равны соответст- А;, А венно — е'ч', — е 'ч' (для тех элементарных событий, 2 ' 2 для которых т) =О, случайная мера ь сосредоточена в точке О, и Ц (0) = А соэ тр).
Заметим, что в данном случае реализация слу- чайной меры 9 — счетно-аддитивная функция множе- ства (по-другому — заряд); в общем случае это не так, Заметим еще, что здесь случайная мера с с не- коррелированными значениями отнюдь не является мерой с независимыми значениями. Зто — общая си- туация для всех вещественнозначных процессов для ннх непременно Ь-меры симметричных относительно 0 множеств — комплексно-сопряженные друг другу (ь( — А) =ь(А) с вероятностью 1), 3 а д а ч а (.
Пусть Ь вЂ” лействнтельный стапнонарный пронесс с математическим ожнданнем нт н спектральной плотностью ((Л). Рассмотрим колебанне частоты Л (неслучайной), молулнронанное по амплитуде прн помощи аь т, е. = ~, соа(ЛС+ ю), где Л =- сопа(, ю -- неаавнсаман от $~ случайнан велнчнна, равномерно распределеннап на (О, 2п.). Напишите спектральное представленне ллп ()к найдите соответстнующую спектральную меру. 3. Рассмотрим применения спектральных представлений к исследованию стационарных процессов.
а) Линейные преобразования. 11усть линейный оператор А задается комбинацией линейных диффе- 93 ренциальных операторов с постоянными коэффициентами и интегральных операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов. Такие операторы инвариантны относительно сдвигов, и их применение к стационарным процессам приводит снова к стационарным процессам. Посмотрим, что получится прн применении такого оператора к процессу, заданному спектральным представлением (1). Имеем ьг=!.1. гп. /г '($„о — ~г) = о-э о =!. 1. гп. ~ Ь ' (села+и — епл) г, (Л,) = о-+о Гг )ппй '(ег""+ог — егы)ь(г(Л) = ~ егы. гЛь(ггЛ).
(5) ~ о-+о Предел в среднем квадратическом здесь существует тогда и только тогда, когда функция 6 — '(еол — 1) сходится при Ь вЂ” ~- О к гЛ в среднем квадратическом относительно гт(г(Л), т. е., как легко проверить, при ЛоГг(г1Л) < оо. Полагая т(А) = ~ гЛЬ(г(Л), приводим (5) к виду ~ егхгт (гГЛ) (см. задачу 3 ~ 2.2); это — спектральное представление процесса Зг. Спектральная мера р,, этого процесса легко находится: Гхочу (А) = М ! т (А) !' = М ~ ~ гЦ (гУЛ) = ~ / гЛ !' 1гГ. (гХЛ). ~л л Аналогично для дифференциального оператора Р ( — ), (,ег,) где Р— многочлен: Р(х) = а, + а,х +... + а„х"— Гйх спектральное представление ти = Р ( — ) ~, задается (,лг) формулой гГ, = аолт + ~ епаР (г Л) Ь (г(Л), где т = М$ь МЧ, = а,гп = Р ( — ) т, а спектральная хл/ мера и „ч (Л) = $ ( Р (юХ) Г ц а (с(З.).
л Посмотрим, что будет для интегральных операторов: ,= 1 В(~-Б)В,~ = = ( а<~ — > а -~ ( ~ 1 ар —,>. ~~шч~~.. Получаем, что Мни= ~ В(г — з)т~Ь= ~ В( — и)тс(и (предполагаем, что интеграл сходится). Если функция В обращается в нуль вне конечного отрезка, т.
е. интеграл по з фактически собственный, применяем результат задачи 4 $2.2 н сводим повторный интеграл к 1 ~ ( вр — ). и,~~(и). Делаем во внутреннем интеграле замену з = ~+ и; ои превращается в е'х'д(Х), где д(А) = ~ В ( — и) ем' г(н. Отсюда получаем спектральное представление: ц,= ~ В( — и)тйи+ ~ ец'д(Х)~(йХ). (6) То же будет для несобственного интеграла (при условии его сходимости в среднем квадратическом).
Теперь мы можем сформулировать общее правило, которое будет годиться и для дифференциальных операторов, и для интегральных, и для их комбинаций. Спектральное представление процесса о1г =Айг задается формулой (б), где д(Л) при каждом Л получается следующим образом: нужно применить оператор А к функции егм и взять получен |ую функцию в точке о =О (это можно записать такой формулой: тг (Л) = Лем' (О)). Спектральная мера процесса тп задается формулой р чч (А) = ~ ~ д (Л) 1 рйт (йЛ) л Если существует спектральная плотность )тг(Л), то спектральная плотность процесса т1 = Лцг получается из нее умножением на )Лг(Л) (э.
Это же правило применимо к инвариантным относительно сдвигов операторам, действующим на функции от дискретного аргумента. 3 а д а ч а 2. Пуеть й„ вЂ < л ( оо, стационарная а широком смысле последовательность со спектральной плотностью ((Л), Л ~ [ — и, н); Мй» = О.
Каковы условия су~кествовання Ч» = Лгь» = К К гп. т О $» ь н как выражается спектральная ь оО1 ь — о плотность этой стапионарной последовательностил б) Интегрирование, стационарно~е решения уравГдх нений. Решение уравнения Р ( — ) чг = йт, Р(х) = (,вг) = ао + а~к+ ... + а„х", находится при а, Ф 0 в виде тн =. ао 'т + ~ Р (йЛ)' ' егьгй (гтЛ), если только ~ ~Р(гЛ)! эрой(г(Л) < сю; если же этот интеграл расходится, из результата и. а) легко вывести (от противного), что решения нет. В случае ао = — 0 решение существует только при т = Мьг =О, причем к нему можно прибавить произвольную случайную величину 7, некоррелированную с ь(А): Чг — — х+ ~ Р(гЛ) 'егкгЦг(Л). В частности, стационарный вариант первообразной непрерывного в среднем квадратическом случайного процесса йс сусцествует, когда М$с = О, ~ Л-ар„(бЛ) < сю.
3 а д а ч а 3. Электрическая схема, представленная на рис. 11, состоит из источника тока, устройство которого нс указывается, конденсатора емкости С и сопротивления )т. 11усть ток, испускаемый источником, представляет собой ста- Рис. !1 циьнарный случайный процесс $~ с математическим ажиданием Са и корреляционной функцией Км(т) = !А!)ле . найдите математиче- - а!т! скос ожидание и дисперсию напряжения Ч, на конденсаторе нри стаципнарнам режиме (т. е, при условии, что з!( —. стационарный процесс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
