А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 14
Текст из файла (страница 14)
п. 3 а д а ч а 7. Пусть последопательность независимых случай- ных величин й, с вероятностью ! сходится. Докажите, что тогда существует число а такое, что Р ( Игп я =-а) =. !. и -» 3 а д а ч а 8. Определи ч о-алгсору У ! как 1 ) «7 „, где и>г > и „! — — о ('.м Г < зь. и). РассмотРнтс пРимеР какого-либо слУ- чайного процесса и ныясниге, будет ли для пего о-алгебра У Н Г ! состоять только из событий с вероятностями О н 1 (будет ли иметь место закон нуля нли единицы), 4.
Ясно, как определяются просгранства случай- 3 2 3 ных величин Е,-г+, Н<г ь, Е>г, Нмг, Е>+, Н>ь и т. д. Для пространств Е~гт, ..., Е!«, гь! одинаковый результат дают определения Е=» ь — — Е ((), У . !«, Р), ... и определения Е згь= ! ! Е~„... «. Пространства Н ге, определяются как пересечения, например: Н.с = Д Н Законы 0 — 1 очень просто формулируются в терминах пространств Ез: соответствующие пространства состоят только из констант, т. е. закон 0 — 1 тогда и только тогда выполнен для о-алгебры,яй с: — У, когда пространство Ез(!),.я8, )з) одномерно.
С пространствами Н -г+ и нодобиыми связаны задачи, относнщисся к корреляционной теории случайных процессов. диалог «в широком смысле» колмогоровского закона à — ! очень легко доказать 3 а д а ч а 9. Г!усть аь ..., ч„ ... — некоррелированные интегрируемые в квадрате случайные величины. Докажите, что пространство ГГ> состоит только из констант. 9 3.2.
Операторы сдвига В этом параграфе мы будем рассматривать случайные процессы, заданные на множестве Т=)с!, или Яе — — (О, оо), или Лг=(..., — 2, — 1, О, 1, ...), или У» — — (О, 1, 2, ...). На множестве Т в этих случаях определен сдвиг: Г- 1+ й. Мы хотим определить опе- риторы сдвига, действующие на события и случайные величины, связанные с нашим процессом. 1. Введем следующее предположение.
Пусть для любого ю я 11 и любого й е= Т существует, при чем единственное, элементарное событие юаь е=- 11 такое, что Ц, (ю>+) === ь, ч (ю) при всех 1 ~ Т. Обозначим Оь оператор в пространстве 11, сопоставляюший элементарному событию щ элементарное событие юаь: в+=Оаю. Оператор Оь сдвигает траектории Р влево на й; на рис. 8 изображен случай Т = [О, оо).
4г!юлу=юг лену рис. а Обозначение ю+ соответствует принятому в книге И то и Ма к к и и а (!968), Оью--обозначениям, принятым в книгах Ды н ки н а (1959, 1963). Теперь определим сдвиги уже не элементарных событий, а событий — подмножеств й. Пусть А с: — '2. Тогда можно рассмотреть множество Оь 'Л = (оп Оью е—: . Л) — прообраз Л при отображении Оа. Рассмотрим и р и м е р ы. а) А = (с, еп Г). Легко видеть, что Оь ~Л = =(: щ+ . Л)=-(: ь (ю+) Г)=-(а; с (ю) Г)= = — й, ь еп 1'). б) В=Я,= — а при 1)!в). Здесь Оь В=(а~га†= а при 1)1„) =(я,=-=а при 1) а+ 1а).
в) С=(!пп ~,=0). В данном случае Оа С=— = ( !пп $„„=0) =(1!гп с,с=0) =С. Изобразим иа рис. 9 пример б), взяв Т= (О, оо). Мы видим, что условия, задающие событие, прн применении оператора Ол сдвигаются вправо на а. Это не удивительно, потому что мы должны сдвинуть траекторюо (реализацию) влево и посмотреть, удовлетворяет ли она условиям, залающим данное событие; зто все равно, что сдвинуть зти условия вправо, оставив траекторию без изменения. В примере б) при Ге = О множество В состоит из единственной точки, а Оа  — более чем из одной.
-1 Рис. 9 Теперь определим операторы сдвига, действующие на случайные величины, даже просто: функции, определенные на Й (случайная величина, как мы помним,— это не любая функция на Я, а только измеримая). Полагаем для функции т1(оз) на Г1 а,и( )=ч(в„)=и( „). П р и м е р ы. А) ОвД~ = йььл- Б) Г= [О, оо), $~ — числовой случайный процесс с непРеРывнымИ тРаектоРиЯми; т1(оз) = ~ йв сЬ (интсг- в рал определяется отдельно для каждой траектории), 1-Н~ Здесь, естественно, Оат1= ~ й„аг(а = ~ й,дз.
о л В) Случайный процесс — такой же, как в прсдыдушем примере; т(ю) =1п((1. $~(аз) е:— Г» — момент Г Рис. 1О первого достижения множества Г с: Р' (если таких 1 нет, полагаем т(оз) =+со), Чертеж приведен на рис. 10. Здесь Оат = 1п((1 ) Ь: $~ ен Г) — Ь; это первый 70 после й момент достижения Г, уменьшенный на Ь. В частности, для тех элементарных событий, для которых т ) й, будет Олт = т — й. Впоследстнни мы докажем, чта функции Ч, т примеров Б) и В] в случае, напрамср, открытого à — случайные величины, т.
с. что они измеримы. Легко понять, что операторы сдвига можно ввести не только в случае Т = !!', й ы 2» нлп Iэ, но и когда Т вЂ” произвольная полаердппа; например, для Т = й" илн для окружности. 2. Посмотрим, какими свойствами измеримости обладают введенные нами операторы сдвига. В силу примеров а), А) а-алгебра У и гы порожденная случайными величинами еьк, э(~и~(1, под действием оператора О» переходит в а-алгебзру, порождеинуео случайными величинами «„эь, э(и(1, т.
е. У и», гьм. Аналогично 9 ьэг переходит в У ~е э ь, У.-г переходит в У -гэь для !'= !»' или 2', а если Т = — !»э пли 7 „то У .-г пеРеходит в У 1», гьь~ (понггтно, почему: ведь в этом случае У,-г = — У1ц»1). Читателю предлагается самому подробно провести доказательство: Задач а 1.
Пусть Т =- [О, ао). Докажите, что для любого события А ~ У г =.— У.- ю его сдвиг Оь 'А е— : У - л. Любое случайное событие из о-алгебры У г, порожденной случайным процессом, под действием оператора Оа переходит в собогтие, т. е. в подмножество ьх, принадлежащее У. События, не принадлежащие е У „могут под действием оператора Оа переходить в подмножества, не являющиеся событиями. Что касается случайных величин, то величина, измеримая относительно У и гь переводится оператором Ог, в случайную всличину, измеримую относительно У1аэ», аэгп и т, Д. э Однако неверно, что операторы О, переводят Е"з или УЕЫ в Е1»е» ь и илп Н~»ь»»эгр ОпеРатаРы О» ваобше могУт быть неприменимы к элементам Ех.
Ведь элементы Е' — эта не случайные величины, а класть» эквивалентных друг другу случайных величин, н из того, что ч, — че, может не вытекать, что 0»ч,— Оеп». Здесь дело в том, что а-алгебры У ~ »|и прочие и операторы О» определяются совершенно независимо от вероятностной меры Р, а пространство Ех тесно связано именно с мерой. В пп. 4, 5 мы покажем, что для стационарных продсссов операторы сдвига вереводят эквивалентные случайные величины в эквивалентные и что ани действуют, таким образом, на порождсн- пых процессом пространствах а.г и Нг (цля стационарных пра- 2 цессои и широком смысле). 3, До сих пор мы требовали существования и единственности со»с такого, что Ьс(ш~т).==~, (со). Это требование довольно ограничительно; в частности, из него вытекает, что двум различным элементарным событиям не может соответствовать одна и та же траектория.
Оказывается, если требовать только суп(есг1 испания, но не единственности со», операторы 8», О» можно определить — правда, в применении не ко всем подмножествам Й (функциям на с«), но во всяком случае, ко всем подмножествам (функциям), измеримым относительно У г.
Допустим, что есть два элементарных события ш»+' и со»ет таких, что "",(ш»')== — «с(соса)= — «„„(со); докажем, что для случайного события А е—: . У либо и ш~+' и со»ат принадлежит А, либо оба не принадлежат. Обозначим через 27 систему множеств, которые либо содержат и со»»ю и со,",", либо ие содержат ни одного из этих элементарных событий; легко видеть, что .рр — — о-алгебра, она содержит события (цс с== В), ( е= Т, В е:— К; значит, она содержит минимальную о-алгебру, содержащую все эти события: .Ф ='У т. Таким образом, в определении () А = — (цп со» с= =А) все равно, какое из элементарных событий со,+, брать Аналогично, если т) — У г-измеримая случайная величина, то ц(сос'с)=ц(со„"), так что с)р(со) опреде.
ляется однозначно. Действительно, иначе существовало бы множество Во= хо (Зà — а-алгебра, заданная в пространстве, в котором принимает значения нб по условию она содержит все одноточечные множества) такое, что т~ (ш,+,') принадлежит ему, а и (соса) не принадлежит; но тогда множеству (ц я В) е= У т будет принадлежать со»сс, а со»с« не будет, что невозможно 4.
Определим операторы сдвига в случае, когда $с — стационарный процесс, не вводя никаких предположений относительно существования со». Для слух чайной величины тсе:†: Йр вида тс = Г' (~с, ..., сс ), с,, ..., с'„ ~ Т, (1) 72 ПОЛОЖИМ (2) Докажем, что оператор Ол осуществляет изометрическое отображение йг в себя; для этого вычислим М ! О»Ч !: М(О»21!2=М~~(в!+»,, $2,»)~'= ~(1(хп ...,х„)~ р, л (л(х, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
