А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обозначать мы ее будем Ут (или Уев ~ т, если нужно будет указать, к какой случайной функции она относится): 9; =о. (-и 1е= Т) =в((в, е:— : В), 1е— = Т, В я ф. Эта о-алгебра имеет смысл совокупности всех событий, о наступлении которых можно узнать, наблюдая нашу случайную функцию. С о-алгеброй Ут можно связать различные пространства случайных величин, порожденные случайной функцией (ннтуитивный смысл — случайные величины, которые можно вычислить по данной случайной функции); важнейшим из них является пространство интегрируемых в квадрате случайных величин, порожденное $п 1е= Т: Еет=Е„' ~мт=Ез(2 9 т Р). Ясно, что Ут ~=9 и Цс:-Ет(2, 9", Р). 63 Другим важным евклидовым пространством, связанным со случайной функцией, является пространство Нт=Н;н з'~ Т случайньгх величин, линейно порожденное $ь уе= Т.
Оно определяется (в случае числовой случайной функции с конечной дисперсией) как замыкание в пространстве дз(ь), я, Р) множества всех линейных комбинаций значений случайной функциии1: Нт =(СО+ С~йб + + СЬ~„Г~ ° «л Е=. ТЗ' (здесь черта означает замыкание). Легко видеть, что Н с== Ц, потому что случайные величины вида со+ сД,, + ... + сн-„Я т-измеримы, и пределы в среднем таких случайных величин также 9 т-измеримы. (Точнее говоря, в любом классе эквивалентных друг другу случайных величин из Н, есть случайная величина из Езт.) Случайные величины из ̈́— это, в сущности, те случайные величины, которые можно линейно вычислить по йг, 1~ Т. Пространство Ог — аналог пространства «.т «в широком 2 смысле» (мы уже говорили, что н рамках корреляпионной теории рассматриваются лишь линейные функции).
Пространство х.ьт содержит, так сказать, ту же информацию, что и и-алгебра У г, но освобожденную от излишних тонкостей— всего, что касается событий нулевой вероятности. При переходе к пространству 1»г «выбрасывается» еше больше информации— все, чтз не укладывается в линейную схему. Иногда нам придется рассматривать также просто ранство Нт — замыкание множества линейных комбинаций йн 1еп Т, без свободного члена; Н'„' =— = ~СД, +... + С„~,,1ы ..., Г Е—: .Т~ ЭтΠ— ПрОСтраНСтВО случайных величин, представимых в виде результата применения линейной операции к рассматриваемой случайной функции.
Ясно, что Нт порождается подпространством Нот и одномерным подпространством констант. 2 о Пространства йт, Нт, Нт — евклидовы полные пространства; если они оказываются еще и сепарабельными, то это — гильбертовы пространства. 3 а д а ч а 1.
Докажите, что в х,тз всюду плотно множество случайных величин нида 1(Ц~, ..., Е у, где 1 — Ж"-измеримые гоl функции, Гн ..., 1„~ Т. 3 а д а ч а 2. Пусть $ь ( ш Т, — стохастнчески непрерывный случайный процесс, Тч — счетное всюду плотное подмножества Т. Докажите, что в вг всюду плотно множество случайных величин з вида [[йг, ..., вг '1, Гн ..., ( ~ж Т,. Выведите отсюда, что пРостранство а.т сепарабельно.
(А значит, сепарабельно и Нг~ Ьг.) 2 з ъ Пространства Нг, Нг не являются Ь -пространствами-- о г пространствами всех интегрируемых в квадрате функций на каком-либо пространстве с мерой; но они могут быть изоморфны таким пространствам. Стохастнческий интеграл дает возможность устанонления нзоморфных (т, с, линейных изомстричных) соответствий этих пространств с пространствами интегрируемых в квадрате функций на числовой прямой, на чем основываются результаты гл.
4. 3 а д а ч а 3. Пусть йь ( ш Т, - гауссовская случайная функция. Докажите, что совместное распределение любых случайных величин Чь ..., т)„~ Нг — гауссовское. 3 а д а ч а 4*. Пользуясь результатом предыдушей задачи и нзоморфностью всех бесконечиомерных гальбертовых пространств, докажите, что для любого гауссовского пропесса $~ с дискретным временем или непрерывного в сродном квадратическом гауссовского процесса с непрерывным временем с Мв, ="О либо сушествует конечное число независимых гаусовсьих случайных величин Чь ..., з), н функций [~(Г), ..., [,((), Г ж Т, таких, что ч аг — — ~ [, (() тн почти наверное, либо существуют винеров- ~ —.-.! скнй процесс юь ! сн [О, ) [, и функцяя )(Г, з), 1 е- Т, з ш [О, (], 1 такая, что в =- ~ [(А з) г(ю почти наверное, (чи Т.
о 2. Если Т с: — В', т. е. речь идет о случайном про- цессе, мы будем рассматривать также следующие о-алгебры: Уж = а Д„а е- =Т, н ((), У > г = о [й„з е—: . Т, н «П), У ),,г) = о [$„, и е-=Т, и<и<(), У ~=о[5,). Заметим, что последняя о-алгебра состоит из всех событий Я~ е= В), В е= зп. Вводятся также простран- ства, порожденные частью случайной функции: А-г=Ь [(), У -г, Р) и т. и.; линейно порожденные: Н~, =(со+ сД + ... + О„Ц,; (,. а=Т, (з~((, ! ~~г<л~, Но~а и т. д. а А. д. Вевтнель Наглядный смысл, скажем, У 1,, г1 и Ь(а г1 — такой: это — то, что можно узнать, наблюдая случайный процесс на отрезке от з до й Совершенно очевидны включения типа У 1, г1 с= с= У 1и г1 п)зи Я и 5, У г с= У<1' Л(зн 1 ~(1, Н1з г(с= ~д Н>.
3. В ряде задач оказываются нужны и-алгебры и пространства случайных величин, связанные с процессом ешс более сложным образом. На основе введенных нами о-алгебр У<г, Хгьг, У 1,, г( вводятся а-алгебры У . ю, У >, т' -, У = .;.. -, У 1ь г ы, У 1,, г1, У 1» которые, как показывают обозначения, являютсяпредельными для У,- з, У >э при э . 1+, з — 1 —, з.- — оо, э —. + оо, соответственно для о-алгебр, отвечающих конечным отрезкам временной оси,— предельными, когда этн отрезки сжимаются.
Приведем здесь точные определения только для некоторых из этих о-алгебр: по определению У «сг,=-- И -"=-.-;, У.=~,.= — И У>а, У1..г1= И У1.,г1. и<а Все эти пересечения о-алгебры как пересечения каких-то множеств о-алгебр. Наглядный смысл этих и-алгебр такой: к У«сг+ принадлежат все события, о наступлении которых можно узнать по наблюдению процесса на отрезке от — со до 1 и сколь угодно мало вправо за точку 1; к У ь — события, о наступлении которых мы узнаем по сколь угодно далеким вправо отрезкам нашего пРоцссса; к У 1г, и — те, о котоРых можно Узнать по сколь угодно малому отрезочку налево от точки и т.
п, О о-алгебрах У <,, У >э говорят как о оалгебрах «хвостов» (слово «хвост» в математике употребляется, когда от функций берутся отрезки, определенные в окрестности бесконечности), 3 а л а ч а 5. Пусть вь ..., $., — послсловатсльность случайных вслнчин. Докажите, что следующие полмпожсства просгранства элементарных событий принадлежат У > „. ( 1пп й а-ь = а); (сущсствуст конечный прслсл й„при и- ао). Привалом пример, показывающий отличие о-алгсбры У г+ от У г.
Пусть Т = (О, ао), и траекториями йг являются всс непрерывные функции. Положим т(щ) = (п1(Г: $г > 1) или +оо, если таких ! не существует. Событие (т ( 2) принадлежит и-алгебре У <тз (пока эта не доказано, точнее было бы говорить не собьжнс, а множество). Действительно, легко видеть, что (т(2)= П Ц (йг>1) и ! рап.! в< !=те!!н (непрерывная функция тогда и только тогда где-то на отрезке (О, 2 + 1/и) выходит за уровень 1, когда оиа болыпе ! в какой- нибудь рациональной точке этога отрезка). События (яг ) 1) здесь входит в У т >1„, значит, их счетная сумма тоже принадлежит этой а-алгебре Далее, пересечение в (1) можно взять пе от ! до са, а от л!абого натурального пч до со; тогда все события, участвующие в этом пересечении, будут принадлежать У з,! (ведь У <тз!щ г=.
У а !,„при й > и ). Итак, событие (т ( 2) приналлежит любой из а-алгебр и (зщ!лк Значит, оно принадлежит любой а-алгебре У <! при ! ) 2: ведь для любого ! > 2 можно взять и, такое, что 2+ 1/пз ( 1, и тогда имеем (т .. 2) щ Умзз,щ ~ У !. Наконец, заключаем, что (т(2)см П У ! — — У г>з Рис. 7 В то же время событие (т ( 2) не принадлежит а-алгебре У <,: наблюдая процесс только до момента 2, мы не всегда можем сказать, наступил уже момент т или нет (рис 7). Точный вариант этога наглядного соображения доказывается, что для любого события из У <з соответствующее множества траекторий вместе с каждой траекторией содержит любую другую, совпалающую с ней на отрезке (О, 2); леная траектория не принадлежит (т( 2), а правая — прнналлежит, значит, (т~(2) зоУ<а Для а-алгебр У -, Я > з мы не можем указать значений '-„! случайного процесса, которые заведомо измеримы относительно них; это дает возможность предположить, что они в каком-то смысле вырождаются в тривиальные о-алгебры.
При некоторых условиях, касающихся зависимости $! при разных 7, для о-алгебр 9 -, Я >+ выполняется закон нуля или единицы (о законах Π— 1 мы впервые говорили в в ).3, п. 2аа)). 3 ад а ч а 6 (закон Π— ! Колмогорова). Пусть йь ..., е„, независимы. Докажите, что Р (Л! = О или ! для любого события А~У> И частности, согласно задаче 5, последовательность независи- мых случайных величин либо с вероятностью 1 сходится, либо с вероятностью ! расходится; легко доказать, что зто касается и рядов с независимыми слагаемыми, среднях арифметических Я,+ +$„1/и ит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
