А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 11
Текст из файла (страница 11)
«и лФ таких, что () А„«н.4, почти и=! наверное где бесконечный ряд понимается в смысле сходимо. сти в среднем квадратическом, т. е как ь 1. й щ. ~ «(Ль) л-> Ф=! Заметим, что здесь вовсе нет никакого требования неотрицательности значений ь~(Л); так что, может быть, нужно было бы говорить не о случайной мере, а о случайной счетно-аддитивной функции множества.
Однако это было бы слишком длинно; и традиция состоит в употреблении здесь слова мера. Пример у нас уже есть: пусть л(А) — пуассоновская случайная мера со средним т, где т — мера на измеримом пространстве (Х, Я); тогда сужение ее на систему множеств гчг = (Л ~ Я': т(А) ( со) есть х.е-случайная мера. Еще раз заметим, что от реализаций случайной меры «(А) у нас ничего не требуется.
Случайная мера «(Л) называется мерой с независимыми значениями, если для любых непересекающихся множеств Ль ..., Л ~.Ф значения «(Л,), , «(Ал) независимы. Вариант этого определения <в широком смыслехс случайная мера «(А) называется мерой с некоррелированными значениями, если для любых двух непересекающихся Ль Аз ~,Ф значения «(Л1), «(Лх) некоррелированы: соч(«(Л1), «(Аз) ) = б.
Микротеорема, Пусть «(Л), Л«= ле,— й'-случайная мера с некоррелированными значениями. Тогда т,(А) = М «(А), Л «вЂ : .яе, — числовая счетно-аддитивная функция множества на Ф; тз(А) = 0«(Л), А~Ф,— мера на Ф. Часть доказательства, касающаяся математического ожидания, — тривиальное следствие непрерывности скалярного произведения: для непересекающихся А„..., Ал, ...
ен.Ф, 11 Але=л~, л=! , (и А.)=(ь $(А.), !)=(!.!.. е $(А,), !)= / л л = (пп ~ ~, $(Аь), 1) = 1пп ~ ($(Аь), 1) = ~„т! (А„); л-+ Ф=! л-+ lг — —. ! л=! это справедливо и для любой х,з-случайно!й меры, без предположения некоррелированности значений. Счетная аддитивность т, (неотрицательность проверять нечего) также получается как следствие непрерывности скалярного произведения, но уже по паре аргументов. Г1оложим $!!(А) = в(А) — ьч!(А).
Имеем: (П л.)= =м !'(О л.) -(Е ! !л.!, Е гсл.!)= = (!.'.. й г!л !, !. '.. й ! <л !)- л- ь-! 1=1 л л = м (Ь !!А), Ь !! ~Аь!)= л = 1пп Х ($0(А ), $0(А,)). л.+ м г=! В силу некоррелироваиности значений случайной меры на Агл Аь й че), здесь пропадают все слагаемые с разными значениями й, 1, и получаем Вгп ~ 01(Аь) = ~ гп,(А„). 2. В обычной теории меры и интеграла Лебега есть более элементарная часть, включающая построение интеграла Лебега по мере„заданной на о-алгебре, теоремы о предельном переходе под знаком интеграла и т.
и.; а есть более сложная часть, куда относится, в частности, теорема о продолжении меры с полукольца (или алгебры) на порожденную им (ей) о-алгебру. В тсории стохастического интеграла мы будем оечраться на ужа ицеюнг)аося теорию меры и интеграла Дебета, и один раз преодоленные трудности у нас снова не возникнут. Благодаря этой опоре мы сможем объединить теорему о построении стохастического интеграла с теоремой о продолжении; теорема, которую мы сейчас сформулируем, будет сложна нс столько для доказательства, сколько для усвоения всей мощности ее формулировки. Творе м а 1. Пусть гп — конечная мера на измеримом пространстве (Х, Я); пусть .яс — полукольцо подмножеств Х, содержащее само Х, причем о-алгебра гс порождается полукольцом М: го = о(А').
Пусть ~(Л), А ~,Ф, — конечно-аддитивная случайная функция множества (т. е. почти наверное к(А~ Ц ... РЛ.) = ~(Л,) + .. + ~(А.), если Ль, Л.— непересекающиеся множества, причем Л„Л1 () ... ... Р А„е= .яь) Пусть значения ~(А) — интегрируемые в квадрате случайные величины, причем некоррелированные для непересекаюгцихся множеств (сон(~(,'1~), с(Ат)) =О, если А|() Лт = кэ). Пусть для любого множества А из полуколы(а М~ь(А) =О, Р$(А) = т(Л). Тогда конечно-аддитивная случайная функция множества ~(А) автоматически счетно-аддитивна (т. е. это — случайная мера с некоррелированными значениями на .яФ); более того, она единственным образом продолжается до Е'-случайной меры с некоррелированнгями значениями на о-алгебре го.
Наконец, существчет единственное отображение ! пространства Ет(Х, гГ, т) =Е'(йт) функций, интегрируемых в квадрате, в пространство Ег(ьг, У, Р) = = Е' (с(Р) случайных величин, интегрируемых в квадоате, такое, что 1) отображение ! линейно; 2) для любого множества А из полукольца Т(тл) = ь(А) (разумеется, почти наверное: ведь речь идет о пространствах Ет); 3) Т вЂ” изометрическое отображение; то есть скалярное произведение l()) и !(д) совпадает со скалярным произведением (в другом пространстве) 1 и ьч МУ(1) 1(д) = — ~ )(х) д(х) т(йх).
Это отображение и есть стохастический интеграл; его обозначение: 1(1)= ~ )(х)$(бх). х (2) М5(Л)~(В) =-М(ь(А П В)+ ~(л)+ ... +~(лх)) Х Х (ь (А () В) + ~(В,) + ... + Ц (Вс)) = =М1й(ЛП В) 1'+ Х М~(Л П В) ~(В,)+ /-:! х х ! + )' М5(л)$(АПВ)+ Х Е М~(А~)~(В~). Здесь первое слагаемое — дисперсия ~(Л П В), то есть т(А П В); следующие слагаемые — ковариации значений ~ для непересекающихся множеств, и они равны О.
Продолжим доказательство теоремы. Определим отображение У сначала на простых функциях, т. е. на линейных комбинациях индикаторов множеств из м'. Совершенно очевидно, что, если мы хотим, чтобы выполнялись требования 1) и 2), нам ничего не остается Обозначение 1(1') вместо обозначения со знаком интеграла мы ввели пока что для краткости, потому что прн доказательстве теоремы нам придется его слишком часто употреблять. Д о к а з а т е льет в о теоремы. Выделим сначала единственную собственно теоретико-вероятностную часть доказательства, в которой будет использоваться то, что .ях — полукольцо.
Л ем м а. Для любых А, В е= Фимеехн МЗ(л)с(В)= =т(л Пв). Доказательство. По определению полукольца, АЙВА.зФ, а разности А;В=А ~,(АПВ), В ~ А представляются каждая в виде конечной суммы непересекающихся множествиз.Ф: А ~ В=А, () ... () Аы В~А=В,(3 ... ()Вь В силу конечной аддитивности я, почти наверное я(Л) =$(А П В)+ ь(л,) +... ..
+К(лл), 5(В) = К(А()В)+ ~(В1)+ . +К(вс) Дальше: делать, как положить Раз и ичего нс остается, та К и сделаем это. — Однако все не совсем так просто, Может быть, кроме этого ничего не остается, но и этого сделать мы не можем( Нужно еще доказать корректность определения (3). Дело в том, что, во-первых, одну и ту же функцию / мы можем представить в виде линейной л комбинации индикаторов по-разному / = — ~ с,.ул —— л' =- ~ с тл", в этом случае, чему же мы должны /-~ / положить равным l(/), сумме ~, с,в(А,) или с,'ь(А')? Нужно, чтобы они совпадали хотя бы как элементы Е."(Рц Я, Р), то есть почти наверное.
Во-вторых, если говорить точно, это должно быть отображение не нз пространства функций 1', а из /.'(Х,,Т, т) — пространства классов эквивалентных друг другу функций; так что, если ~ с,т, совпадает 1 с ~~' с'у, лишь почти всюду, случайные величины 1 л' ! с,.в(А,) и ~~' с,'6(А,'.)должны совпадать с вероятностью 1. Предлагается самостоятельно проверить эту корректность в частном случае: Задача 1.
Г!усть у +т,„==у„+2у„. Докажите, что 6(А,)+т(А,)=6(Л,')+25(Л,') почти наверное, предполасая для простоты, что полукольцо зя — алгебра. Теперь, когда вы сами решили задачу 1 (или хотя бы запутались в ее решении), самое время изложить обшее доказательство корректности. Однако мы сначала проверим равенство (!) — пока только для простых функпий 1, д. Собственно говоря, мы пока нс имеем права говорить об /(/), /(д) (нс проверена корректность построения отображения /), так что мы для /= ~' с,ти., д= ~ с//тв просто проверим / 56 равенство М ~~~~ сД (Л,) ~ г(~Д(Вг) = / с;ул, (х) ~ г(~Хв (х) т (г(х). (4) и Левая часть — это сумма ~ с;ЙгМ,"(Л;) $(В,) = с! = 2 с,Й~гп (Л, () В;) согласно доказанной лемме.
Этому ьг жс, как нетрудно видеть, равна и правая часть. Теперь верясмся к установлению коррсктяости определения (3). Пусть ~„саул (х) = ~ с',.т„(х) прн почти всех х относительно меры пь Применим равенство (4) к сумме ~, с у (х) — ~ с',1гл (х): г ! Значит, ~ с,.ь~(ЛД вЂ”,)' с,'з(Л,'.) почти наверное равно / О, и корректность доказана. Попутно проверена изометричность отображения Т па множестве простых функций (а свойства 1), 2) и проверять нечего: отображение так и строилось, чтобы они были выполнены).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
