А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Итак, у нас иместся изометрическое (а значит, и взаимно однозначное) соответствие между множеством простых функций в гильбертовом пространстве Е'(Ыт) и некоторым подмножеством пространства Е'(ЫР). Это соответствие единственным образом продолжается по непрерывности на замыкания этих множеств: функции ) е= х.~(дт), являющейся пределом в среднем квадратическом последовательности 1 простых функций, ставится в соответствие У(1) = =1. й т. ) (1„).
Этот предел существует в силу принципа Коши; чтобы доказать, что У(1) не зависит ог выбора последовательности )' — 1, берем две такие последовательности и составляем из них одну, перемежая члены. В результате каждой функции ( из замыкания множества простых функций ~ с Хх. (х), А; еп М, в Еп(г(щ) ставится в соответствие случайная величина 1 (~) = ~ ) (х) ь (ах). Но это замыкание совпадает со всем Е'(г)т) (читатель должен научиться доказывать это, пользуясь тем, что .М вЂ” полукольцо, содержащее Х!), поэтому интеграл (2) определен для всех интегрируемых в квадрате функций.
В частности, формула 8(Л) = l(Хх) доопределяет случайную функцию множества ~ на всех множествах Л, принадлежащих а-алгебре Х (на полукольце .М по построению 1(Хх) дает прежнее значение 8(А)). Из линейности отображения ! вытекает конечная аддитивность продолжения случайной функции множества Я: для Аь ..., Л,е=Ж, Ас()Аз=В ((Фу) ихеем: В(Л,() . и Л„)=~(х „„~ )=Г(х„+" +х )= =У(хА)+ .
+У(хА )=Б(А1)+ - +Ь(Л,). Из ко печной аддитивности 8 и непрерывности отображения ! легко выводится счетная аддитивность $. Линейность и изометричность отображения ! на всем пространстве Е'(г(ги) вытекает из того, что это— продолжение по непрерывности отображения, линейного и изомстричного на всюду плотном подмножестве этого пространства. Наконец, единственность такого отображения непосредственно видна из доказательства: для простых функций )". мы не могли определить 1(() по-другому, если хотели, чтобы отображение было линейно и чтобы 1(Хх) = 8(Л) для Л из полукольца,М; а из требования изометричности отображения вытекает его непрерывность, и нам ничего не оставалось, как произвести продолжение по непрерывности.
Теорема доказана. Укажем еще одно простое свойство стохастического интеграла, не вошедшее в формулировку нашей теоремы: М ~ )(х)5(дх)= 0 для любой функции (е:— Х е= Еэ(дт). Это получается также предельным переходом от простых функций. 3. Теорема 1'. Пусть >и — мера, вообще говоря, бесконечная, на измеримом пространстве (Х, го ); пусть о-алгебра У' порождается полукольцом,Ф подмножегтв Х, причем мера >п(А) конечна на множествах А а=М, и существует последовательность А> с:- =. Аз =,.А„с= ..
множеств из полукольца, дающая в сумме все пространство Х. Пусть ь(А), А е=,и>, — конечно-аддитивная случайная функция множества. Пусть значения ч(Л), А е:— ,Ф, принадлежат Те(дР), причеч они некоррелировины для непересекающихся множеств, М'(А) =О, Р-"-(А) =->п(Л). Тогда выполняется утверждение теоремы 1, за исключением того, что случайная мера ь продолжается только на те множества А из о-алгебры гс, для котовых >п(Л) ( со.
Дока з а тел ьст в о остается тем же; условие существования последовательности А, ,с: — А, ~... <: — А„с: —..., А>е—: ,4, () А,= — Х, используется при доказательстве всюду плотности множества простых функций с„с>ул,, А> е=,4, в х.'(и>п) (т. е. в той части доказательства, которую мы оставили читателю). 4. Существенной частью обычной теории меры является построение меры Лебега или, более общо, построение меры >и с данной функцией распределения Е (т.
е. такой меры, что и(>>, 1ч] = г(1е) — г(1>)). Это позволяет для неубывающей непрерывной справа функции г" определять интеграл Лебега — Стилтьеса >" (!) иг" (1) (он определяется как интеграл относил тельно соответствующей функции р меры >и). В теории стохастических интегралов соответствующий раздел тоже есть: для случайного процесса а> с некоррелированиыми приращениями определяется стохастический интеграл ~1(1)с(Е>.
При этом трудности, уже а преодоленные в обычной теории меры и интеграла, не возникают у нас вторично. Сначала займемся изучением процессов с некоррелированными приращениями. Пусть $>, г е= Т ы )х», — процесс с некоррелированными (ортогональными) приращениями. Будем для 59 простоты считать, что МРч ==О (для того чтобы в ковариациях можно было не вычитать математического ожидания). Докажем, что существует неубывающая функция Р(й), ( ив = Т, такая, что приращение й1 — й„ з» (, з, 1 ез Т, имеет дисперсию, равную г (т) — г (з).
Пусть 1е — произвольный элемент множества Т. Для 1 = — !а функцию г положим равной О; для Г ) (е положим Р(~) = М ! Б, — Й, (', для г < 1е определим Р(Р) как — М )К, — Б,('. Доказав, что МЯс — 5.Г=РИ вЂ” Р(з), (5) мы тем самым докажем и монотонность Р. Для 1е» » з» 1 имеем Р(~)=М(с,— ее, )в=М~Ц,— К, !'+ М(К,— ",,)(В,— Я,)+ + М(;,— а,.)(5,— Ь,)+ М~и,— И,~'. Обе сопряженные друг другу ковариации по предположению равны О, а М~5,— Ц, ~'=Р(з), откуда получаем (5).
Для з 1»(о выкладка точно такая же, с использованием того, что 5, — $, представляется в виде суммы двух некоррелированных приращений по меныпим промежуткам. Если з» (е» й то МР,— Ь,~'=М~5,— 5,,~'+ М'~~,,— ~,1=Р(Π— Р'(з). Легко понять, что процесс с некоррелированными приращениями тогда и только тогда непрерывен (непрерывен справа, соответственно слева), когда непрерывна (непрерывна справа, слеза) функция г".
Пределы в среднем квадратическом на +со или на — оо существуют тогда и только тогда, когда г" (+ос)» оо, соответственно г"( †) ) †, 3 ад а ч а 2. докажите, что любой процесс с некоррелированными прирашениями с нулевым математическим ожиданием имеет пределы в среднем квадратическом слева и справа в любой точке 1е ~н Т. 5. Теорема 2. Пусть св--процесс с некоррелированными приращениями с нулевым математическим ожиданием, определенный на отрезке числовой прямой от а до Ь, включая зти концы или нет (а, Ь могут быть равны — со, +оо); М)К, — К, Р= Р(1,) — г ((,). .Предположим, что в~ непрерывно справа в среднем квадратическом. Обозначим через пт конечную или и-конечную меру на рассматриваемом от- резке, соответствующую функции распределения г ПЗ (о1 (2) р ((2) з (е1) ° Тогда существует случайная мера й(А), определенная на бооеллвскихбуодмножествах А отрезка от а оо о без гевого конца с пг(А) ( оо, такая, что й ((,, ( ] =$» — ьп, и единственное линейное изометричное отображение 1 из 1а(дГ) в 1а.(с(Р) такое, что 1(х(п, о)) =ВО йн.
Для этого отображения используется обозначение Д о к а з а т ел ь с т в о — непосредственное применение теоремы Г; в качестве .Ф берется полукольцо всех полуинтервалов ((ь (з), входящих в промежуток от а до Ь. Легко видеть, что стучайная функция множества с(А), определяемая для полуинтервалов А = =((ы (а1 как р, — $,, удовлетворяет нужным условиям; в качестве отображения 1(1) берется стохастичсский интеграл относительно случайной меры с нскоррелированиыми значениями;(А). В частности, для винеровского процесса определены стохастические интегралы ~ 1(()е(гео ~ 1(()с(ю, е, о (пеРвый — длЯ 1 ен х.з((ь (з], втоРой — длЯ ( ен Е'(О, оо)) и случайная мера гв(А ), определенная на множествах конечной лебеговой меры.
Заметиьп что реализации случайной меры совершекно ве лолжны быть с ~етио-аддитивными функциями множества (зарядами). Это видно иа примере случайной меры ш(А): для почти всех ее реализапий функция ш((0, Г], ю) = щ(ы) имеет неограниченную вариацию на любом отрезке; тогда как для любого заряда ч на правой полупрямой его функция распределения т(0, (], 0 ~ ( ( оо, имеет ограниченную взриацию на любом конечном отрезке 6. Менее элементарные свойства егахаегичесхих интегралов. В следующих двух задачах $(А) — случайная мера с некоррелированными звачениями на множествах А из и-алгебры ат, дли которых га(А) ( оо; Мй (А) = О, Ов (А) = гл (А).
3 ад а ч а 3. Пусть ) — фиксированная измеримая функция (Х, гео). Определим случайную функцию множества Ч (А) = ~ 1 (х) $ (йх) па множествах А еи зо, для которых п(Л) = ~ [ [(х) (з т(г(х) < оа. А Докажите, что з)(Л) — также мера с некоррелированными значениями с нулевым математическим ожиданием и Вз) (Л) = п (Л). Если л ~ Ьз(г(п), то почти наверное ~ а ( ) Ч (Л ) = ~ й ( ) 1( )» (Л ). х Х Задача 4.
Пусть функция [(х, р) (х изменяетсн в множестве Х, у — в конечном отрезке [а, Ь)) при любом х непрерывна по у, а при любом у измерима по х; причем !пах ([(х, у) )зт(цх) < оа. а<Ь<Ь Тогда почти наверное рз Ь [ [[!!., ! ЗЬ1!<~к)-[[[!(*,Ннр*)1З Х а а ЕХ (последний интеграл понимается в среднем квадратическом). 3 а да ч а 5. Пусть з! — непрерывный справа в среднем квадратическом процесс с некоррелированными приращениями на отрезке [а, Ь), М» = О, 0 (»!, — »! ) = Г (Г ) — Г (Г ) Пусть функция [(!) непрерывна на [а, Ь). Тогда Ь а — 1 ~[(!)!(» =) ! щ ~ [(з)(е е ) ю-з при измельчении разбиения а = (а < (! « ( — ! < Г = Ь (з! — произвольная точка между й и й+!).
Из результата задачи 5 легко вывести правилоинтегрирования по частям: если [ непрерывно дифференцируема, то ~ г(!) г(»! Г(Ь) зь [(а) ьа $ ьг[ (Г) о( а а (последний интеграл — в среднем квадратическом). Глава 8 НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 5 3.1. Связанные со случайной функцией о-алгебры н пространства случайных величин 1.
Теория случайных процессов, в отличие от более элементарных разделов теории вероятностей, проникнута духом скорее функционального анализа, чем классического математического анализа: рассматриваются в первую очередь не отдельные случайные события, случайные величины, функции, а пространства функций, случайных величин, о-алгебры событий или даже целые семейства а-алгсбр, операторы в этих пространствах и т. п. Пусть на вероятностном пространстве (О, 9, Р) задана случайная функция ~п 1ен Т, Введем о-алгебру, порожденную этой случайной функцией, — наименьшую о-алгебру, содержащую все события вида (~~ ен ен В), 1я Т, В~У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
